MESURE DE LONGUEUR ; PERIMETRE.

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1 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 1 MESURE DE LONGUEUR ; PERIMETRE. «L'essence des Mathématiques, c'est la Liberté.» Georg Cantor 1. I. Introduction : 2 II. Mesures des Longueurs. 2 A. Unités : 2 B. Tableau de conversion : 3 C. Conversions et opérations : 3 D. Longueurs et opérations : 4 III. Longueur d une ligne polygonale ; perimetre. 4 A. Longueur d une ligne polygonale : 4 B. Périmètre d une surface : 5 C. Périmètres des figures de base : 6 formules Périmètre du Triangle équilatéral : 5 2. Périmètre du Parallélogramme : 6 3. Périmètre du Rectangle : 6 4. Périmètre du Losange : 6 5. Périmètre du Carré : 7 6. Périmètre du Disque ( c-à-d Longueur d un cercle) : 7 1.Grand mathématicien russo-allemand du 19 ème siècle qui a travaillé sur les ensembles de nombres entre autres. Page 1

2 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 2 I. INTRODUCTION : Certaines quantités sont mesurables : les masses, l intensité du courant, les surfaces, la vitesse. Donnez d autres quantités qui sont mesurables :.. Donnez des quantités qui ne sont pas mesurables :.. Avant de mesurer une quantité mesurable, il faut «définir» une unité. Exemples : pour les masses, l unité du Système International des Mesures est le.. pour les longueurs, l unité du Système International des Mesures est le.. pour le temps, l unité du Système International des Mesures est la.. Mesurer une quantité revient à trouver «combien de fois l unité est présente» dans cette quantité. On peut estimer la mesure d une quantité «à l œil nu», «au jugé», etc mais cela n est évidemment pas très. On peut aussi approcher la mesure d une quantité à l aide par exemple d un instrument de mesure (.), ce qui sera normalement plus précis. Un calcul donnera souvent la valeur exacte de la mesure cherchée! Sévère mise en garde : Les instruments de mesure ne donnent jamais la valeur exacte de la quantité mesurée car leur précision ne peut pas être infinie! Donc un rapporteur, une règle graduée, une équerre, un thermomètre, un télémètre laser etc. ne peuvent fournir que des valeurs approchées plus ou moins précises de la mesure exacte de la quantité. Autrement dit, Mesurer n est pas Prouver! II. MESURES DES LONGUEURS. A. Unités : L Unité du Système International des Mesures pour les longueurs est le mètre. Remarques : Le mètre n est pas toujours adapté pour mesurer certaines longueurs. On a donc besoin d unités plus grandes (les multiples) ou plus petites (les sous multiples) dérivées du mètre. o des multiples : le kilomètre (km), l hectomètre ( ), le décamètre ( ) etc Que mesure-t-on habituellement en km? o des sous multiples : le décimètre (..), le centimètre (..), le millimètre ( ),le micromètre (millionième de mètre µm) etc. Que peut-on mesurer en micromètres? Il existe d autres unités de longueur dans le monde utilisées : o soit par habitude dans un pays : exemple le miles ou le yard en. o soit par habitude dans un secteur d activité : le miles marin ou le nautique en Page 2

3 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 3 B. Tableau de conversion : Le tableau de conversion des longueurs est un tableau infini à simples colonnes 2.. Nom des unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre Abréviations km hm dam m dm cm mm Exercice : convertir à l aide du tableau. 0,2 hm =.. dm 0,02 km = dm 0,5 cm = dam 2 dm = 0, mm = m 0,03 hm = 30 C. Conversions et opérations : Pour passer d une unité à l unité immédiatement inférieure (ex : des cm au mm ), on doit multiplier la mesure de la longueur par 10. Inversement, pour passer d une unité à l unité immédiatement supérieure (ex : des m au dam ), on doit diviser la mesure de la longueur par 10. Autrement dit : Pour convertir vers une unité à droite, on «agrandit» la mesure en la multipliant par 10 ou 100 ou 100 (suivant le nombre de colonnes qu on saute). Pour convertir vers une unité à gauche, on «diminue» la mesure en la divisant par 10 ou 100 ou 100 (suivant le nombre de colonnes qu on saute). Exercice : sans utiliser le tableau, mais en écrivant une opération, convertir : Exemple : 0,52 m en hm = 0,52 hm = 0,0052 hm 100 1,25 dm = 1,25.. mm =... mm 0,02 m = 0,02... dm =... dm 0,6 cm = dam =.. dam cm =.. m = m 12,5 dam = 125 5,4 cm = 0,054. 0,7 km = Ce ne sera pas le cas pour les surfaces (doubles colonnes) et les volumes (triples colonnes). Page 3

4 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 4 D. Longueurs et opérations : Le calcul suivant est il juste? 2 km + 1 hm = (2+1) km = 3 km... Pourquoi? Refaire le calcul, juste cette fois ci! 2 km + 1 hm =. Règle : Avant d additionner ou de soustraire des longueurs 3 entre elles, il faut qu elles soient toutes converties dans la même.. Exercice : calculer : Exemple : 2 m + 3 cm 1 mm = 2m + 0,03 m 0,001 m = 2,029 m = 202,9 cm = 2029 mm 2 hm 0,04 km = 5 m + 5 cm = 2 cm mm = 0,06 km + 10 m 1500 mm = R = 68,5 m III. LONGUEUR D UNE LIGNE POLYGONALE ; PERIMETRE. En général, trouver la longueur d une ligne quelconque (par exemple une route qui serpente) est un problème difficile. Dessinez une ligne dont la longueur est difficile à mesurer : A. Longueur d une ligne polygonale : On va donc se limiter au cas très simple des lignes formées de segments appelées lignes ou lignes brisées. Dessinez : une ligne brisée ouverte à 4 morceaux égaux une ligne brisée fermée à 3 morceaux dont 2 de même longueur. Nom? Une ligne brisée étant formée de.., il suffit de faire la somme des longueurs des segments composant cette ligne pour avoir la longueur totale de la ligne polygonale. Notation : la longueur de la ligne brisée ABCD se note (ABCD) Exemple : (ABCD) = AB + BC + CD Exercice : reportez au compas sur (d) la longueur totale de la ligne brisée ouverte suivante : Calculez cette longueur totale. N (d) 2,1 A 3,8 5 Z E 3 Cette règle est encore vraie pour d autres quantités mesurables. Page 4

5 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 5 Exercice : Fabriquez une ligne polygonale ouverte telle que : PA = 2cm AT = 35 mm TX = 0,4 dm XI = 0,01 m Calculez la longueur totale de cette ligne. (PATXI) = B. Périmètre d une surface : Définition : Le périmètre 4 d une surface est la longueur de la ligne fermée (ou frontière) qui délimite cette surface. Exemple : Le périmètre de cette surface n est pas facile à trouver car sa frontière n est pas une ligne.. Dessinez un patatoïde 5 dont le périmètre sera difficile à trouver. On se limitera donc, au collège, aux calculs de périmètre de surfaces simples c-à-d géométriques. C. Périmètres des figures de base : 6 formules. Notation : le périmètre d une ligne brisée fermée ABCD se note : (ABCD). 1. Périmètre du Triangle équilatéral : Soit un triangle équilatéral UNF de longueur de côté a. Son périmètre est donné par la formule : U a (UNF) = F N calculer le périmètre de UNF pour a = 1,5 cm. Soit un triangle équilatéral OIT de longueur de côté 5. Quel est son périmètre? Soit un triangle équilatéral dont le périmètre est de 24 cm. Quelle est la longueur des côtés? 4 Le préfixe péri signifie autour. Citez d autres mots avec ce préfixe péri :.. 5 Une patatoïde est une patate de l Espace! De même qu un concombroïde est un.. Page 5

6 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 6 2. Périmètre du Parallélogramme : Soit un parallélogramme OKAM de longueurs a et b. Son périmètre est donné par la formule : K O a b (OKAM) = M A calculer le périmètre de OKAM pour a = 2 cm et b = 3 cm. Calculer le périmètre de TOMA pour a = 0,25 cm et b = 4 cm. 3. Périmètre du Rectangle : Soit un rectangle ECSM de longueur L et de largeur. Son périmètre est donné par la formule : E L C (ECSM) = M S Calculer le périmètre du rectangle ECSM pour L = 4 cm et l = 2 cm 4. Périmètre du Losange : Soit un losange de longueur de côté a. Puisqu un losange est un quadrilatère avec 4 côtés de même longueur alors son périmètre est donné par la formule : A D a B (ABCD) =..... C Calculer le périmètre du losange ABCD pour a = 2,5 cm. Un losange a pour périmètre 20 cm. Quelle est la longueur des côtés? Page 6

7 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 4 page 7 5. Périmètre du Carré : Soit un carré UCEP de longueur de côté a. Puisque les carrés font partie de la famille des losanges, alors son périmètre est donné par la formule : P U a (UCEP) =..... E C calculer le périmètre de UCEP pour a = 0,25 cm. Un carré a pour périmètre 18 cm. Quelle est la longueur des côtés? (on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible) Toutes les preuves de ces formules sont à voir dans l activité 2 p Périmètre du Disque ( c-à-d Longueur d un cercle) : Soit un cercle de centre O et de rayon r. La longueur du cercle c-à-d le périmètre du disque est donnée par la formule : r (disque de rayon r) = 2 π r = 2 π r O Calculer le périmètre d un disque de rayon r = 6 cm. (on donnera la valeur exacte en gardant π dans les calculs, puis on donnera une valeur approchée à l unité) Calculer la longueur d un cercle de diamètre d = 6 cm. (on donnera la valeur exacte en gardant π dans les calculs, puis on donnera une valeur approchée à l unité) Exercice Exercice Page 7