Traitement du Signal Numérique pour Systèmes Embarqués. Andrei Doncescu

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1 + Traitement du Signal Numérique pour Systèmes Embarqués Andrei Doncescu

2 + CLASSEMENT DES SIGNAUX : Signal Analogique n C'est un signal dont l'amplitude peut prendre toutes les valeurs entre un minimum et un maximum (disons: 10 volts à + 10volts, par exemple). n Ce signal est continu avec le temps: on peut le dessiner d'un trait de crayon se déplaçant verticalement (axe des y) sur une feuille de papier avançant régulièrement horizontalement (axe des x).

3 + CLASSEMENT DES SIGNAUX 3 Signaux Analogiques n Les signaux périodiques x(t) = x(t+kt) n Le signal sinusoidal est le plus représentatif de ces signaux périodiques: n x(t) = A sin(2π t/t + a) = A Sin(ω t+a) ou ω = 2π /T = 2π f n Les signaux à énergie finie Les signaux à énergie finie sont ceux pour lesquels l'intégrale suivante est bornée : x(t) 2 dt < n Ces signaux sont nommés de carré intégrable (sommable), leur puissance moyenne est nulle. n Les signaux à puissance moyenne finie non-nulle

4 + La fonction sinus/cosinus 4 n sin(t) est périodique de période 2π n sin(2πt) est périodique de période 1

5 + n Signaux de durée finie 5 n Signaux de durée limitée ou "support borné" : x(t) = 0 t T n Signaux pairs et impairs Un signal est pair si x(t) = x( t) exemple : cos(ω t) Un signal est impair si x(t) = x( t) exemple : sin(ω t) Remarque Tout signal réel peut être décomposé : une partie "paire" une partie "impaire". et x(t) = xp(t) + xi(t) n Signaux causals : n Un signal est dit causal s'il est nul pour toute valeur négative du temps x(t) = 0 t< 0. On peut le rendre causal si * u(t)

6 + Signaux numériques 6 n Un signal numérique est un signal discret dont l amplitude a été quantifiée signaux à temps discret x(t)=a sin(ωt+φ) X(k)=A sin[2π/n (k+k 0 )

7 + Classement des signaux 7 n Déterministes : fonctions mathématiques réelles ou complexes n Stationnaires : probabilités n Non-stationnaires : transformée en ondelettes, transformations fractales

8 + Quelques signaux déterministes 8 n Fonction de Heaviside u(t) n La fonction signe 2u(t)-1 n La fonction porte rect(t)=u(t+t/2)-u(t-t/2)

9 Représenter : n x(t) = u(t+1)- u(t-2) u(t+1)- u(t-2) t=0 t

10 Décalage Temporel : Time Shifting n Calculer x(t) + x(2-t), where x(t) = u(t+1)- u(t-2) n x(t) est : t=0 u(t+1)- u(t-2) n x(2-t): à 1) y(t)=x[-(t-2)]; Addition temporel: x(t) + x(2-t)

11 Opérations sur l Amplitude y(t)=ax(t)+b Inverse B>0 à translation verticale + B<0 à translation verticale - Echelle A >1à Gain A <1à Attenuation A>0à Pas inverse A<0à Inverse Echelle

12 + Signaux périodiques 12 f o =1/T est la fondamentale

13 Synthèse d un signal triangulaire à partir de sa série Fourier 13

14 Effet Gibbs 14

15 15

16 + Convolution 16 n Définition: On appelle fonction de convolution du signal s 1 (t) et s 2 (t) l intégrale s + ( t) = s1( τ) s2 ( t τ ) dτ Théorème de convolution La TF du produit de convolution est le produit algébrique Des TF des signaux du produit S ( ω) =S1( ω) S2( ω)

17 + Propriétés du produit de 17 convolution n Commutativité n Associativité n Distributivité n Différentiabilité d dt df dh ( f h)( t) = h( t) = f ( t) dt dt n Convolution avec un Dirac

18 + Algorithme de Convolution 18 n Le signal y(l) est inversé pour obtenir y(-l) n Le signal y(-l) est décalé d une certaine quantité k n Le produit x(l)y(k-l) est effectué échantillon par échantillon pour tous les k n Les valeurs ainsi obtenues sont additionnées

19 + 19 convolution en temps - exemple d application de la méthode graphique de calcul de la convolution de 2 signaux x(t) et y(t) : x(t) = 2 e at e at u(t) y( t) = u( t)

20 + 20 convolution en temps - exemple d application de la méthode graphique de calcul de la convolution de 2 signaux x(t) et y(t) : e at 2 e at x( t) = u( t) y( t) = u( t) - Principe de la méthode - On garde le premier signal x(t ) - On retourne le second signal y(t ) pour obtenir y[-t ]

21 + 21 convolution en temps - exemple d application de la méthode graphique de calcul de la convolution de 2 signaux x(t) et y(t) : e at 2 e at x( t) = u( t) y( t) = u( t) t - Principe de la méthode - On garde le premier signal x(t ) - On retourne le second signal y(t ) pour obtenir y[-t ] t

22 + 22 convolution en temps - méthode graphique de calcul de la convolution de 2 signaux x(t) et y(t) : - Principe de la méthode, suite - On fait le produit x(t ).y(t-t ) là où les 2 signaux sont définis - On calcule l aire commune des 2 signaux t at' 2a( t t') 1 at 1 t< 0, x( t)* y( t) = 0 t> 0, x( t)* y( t) = 0 e e dt' = a e a e 2at t - On recommence pour t variant sur R et on obtient la convolution x(t)*y(t)

23 + 23 convolution en temps - méthode graphique de calcul de la convolution de 2 signaux x(t) et y(t) : e at 2 e at x( t) = u( t) y( t) = u( t) - Principe de la méthode - On garde le premier signal x(t ) - On retourne le second signal y(t ) pour obtenir y[-t ] - On décale y[-t ] de t pour obtenir y[-(t -t)] - On fait le produit x(t ).y(t-t ) là où les 2 signaux sont définis - On calcule l aire commune des 2 signaux - On recommence pour t variant sur R et on obtient la convolution x(t)*y(t)

24 + La distribution de Dirac δ(t) 24 n Le pic de Dirac sera défini comme ayant un poids ou une masse de 1 en x=0 δ ( t) dt = 1 R δ correspond à la «dérivée» de la fonction de Heaviside (au sens des distributions). fonction de Dirac n'est pas une fonction, elle étend la notion de fonction.

25 Impulsion Unitaire δ(t) n Impossible de réaliser similair au j=sqrt(-1) n Connu sur le nom de Dirac delta n C est une fonction generalisée n Delta Dirac est une distribution égale à zéro partout sauf en zéro où le Dirac est considéré infini. lim 1 2 x e a π a 2 a 0

26 + Distributions Fonctions 26 n Impulsion infinie pendant un intervalle de temps infiniment court δ(t) δ(t)dt =1 t n Remarque : Nous définissons l'impulsion de Dirac δ(t) au sens des distributions. Elle a pour valeur en t=0, la valeur égale à 1 de l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini d'une impulsion idéale de largeur nulle centrée en t=0. δ(t) 0 = φ(0) δ(t-to) t 0

27 + La distribution de Dirac δ(t) 27 n Un Dirac a un support réduit à t=0 et associe à une fonction continue φ sa valeur en t=0 + δ ( t) ϕ( t) dt = ϕ(0) Propriétés: + + δ ( t u) ϕ( t) dt = δ( u t) ϕ( t) dt = ϕ(0) + δ ' ( t) ϕ( t) dt = + δ( t) ϕ ' ( t) dt = ϕ ' (0)

28 + Propriétés de δ(t) 28 n Localisation [ Aδ ( x n Élément neutre a)][ Bδ ( x b)] = 0 si a b ABδ ( x a) si a = b f (x) δ(x) = f (x) f ( x) δ ( x a) = f ( x a)

29 + Application 29 Définition : La réponse impulsionnelle d'un circuit est la réponse à une impulsion de Dirac. Conclusion : 1- Un système linéaire est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle h(t). 2- La réponse du système à une excitation est égale au produit de convolution entre l'excitation et la réponse impulsionnelle.

30 + Corrélation des signaux 30 n Définition Cx, y( τ) x1 ( t+ τ) x2( t) = dt ϕ x, y l= ( k ) = x( l) y( l+ k) n Propriétés n Fonction paire n C x,y =0 les signaux sont décorrélés

31 + Algorithme 31 n Le signal y(l) est décalé d une certaine quantité k n Le produit x(l)y(l+k) est effectué échantillon par échantillon pour tous les k n Les valeurs ainsi obtenus sont additionnées

32 + Autocorrélation 32 n Définition C x,x (ττ) = - x(t)x(t+ τ)dt l= C x, x( k) = ϕx, x( k) = x( l) x( l+ k) n Propriétés n C x,x (0)= l énergie du signal

33 +Transformées : Fourier/Laplace, Z 33 Dans l étude des systèmes continus, la fréquence réelle ω ou la fréquence complexe p sont utilisées dans la fonction de transfert T(p) ou H(p) et la fonction de transfert sinusoïdale H(ω).!! Il est avantageux de décrire les systèmes continus dans l espace des fréquences ce qui permet de tirer un certain nombre de conclusions concernant leurs propriétés.!! La transformée en z, basée sur l utilisation d une fréquence complexe z, va procurer des avantages similaires pour les systèmes DLI.! La transformation en z transforme l espace du temps discret en un espace de fréquences z.!

34 + Outils mathématiques Transformée de Fourier Étude des signaux déterministes continus Représentation fréquentielle 34

35 TRANSFORMATION DE FOURIER 35 Définition La transformation de Fourier permet de décrire dans l'espace des fréquences un signal dont on connaît l'histoire au cours du temps, et réciproquement. F( ω ) = f( t) e jωt dt f( t) = F ω e π ( ) 2 1 j ω t d DUALITE TEMPS-FREQUENCES y = f (t) <=> Y =F(f) F(f) est appelée la transformée de Fourier de f(t) et sa représentation, le spectre en fréquences. ω On appelle densité spectrale d énergie F( ω) 2π 2 Remarque : On utilise les lettres minuscules pour décrire l'histoire du signal au cours du temps et les lettres majuscules pour le décrire dans le domaine des fréquences ou domaine spectral.

36 + Propriétés 36 n Réciprocité f(t) F(f) F(f) f(t) f(t) F(f) n Linéarité α f( t) + β g( t) α F( f ) + β G( f ) n Dérivation d f( t) d t j2πf F(f) n Intégration f( t) dt ( 2 1 F f j π f ) n Décalage temporel f( t τ ) j2 e πft F( f )

37 + 37 n Décalage fréquentiel F( f e j 2 πft f0 ) F( f ) n Conjugaison f(t) F(f ) f(-t) F * (f ) f( t) F( ω) F(t) 2πf(-ω) n Symétrie

38 + Propriétés 38 La transformation de Fourier est une opération biunivoque. Conséquence: il y a la même information dans f (t) que dans F(f) Définition La bande passante B d'un signal est le domaine de fréquence où se trouve l'énergie utile transportée par le signal. Exemples : Signaux Bande passante Téléphonique 300Hz < f < 3300Hz Audio haute fidélité 20 Hz < f < 20 khz Télévision 0Hz < f < 5 MHz

39 + Fourier 39 La transformée de Fourier inverse ( fˆ, f L 1 ): f ( t) 1 j = ω ω t fˆ( ) e dω 2π Parseval: * 1 f t h t dt = f ω hˆ * ( ) ( ) ˆ( ) ( ω) dω 2π Plancherel: f ( t) 2 dt 1 2 = fˆ( ω) dω 2π Et, lim ω ± fˆ(ω) = 0

40 + La Variation Totale 40 n Si f est dérivable, la variation totale est : f v = '( t) dt f n Exemple: f(t)=exp(-t 2 ) f v =2 n Relation avec la Transformée de Fourier fˆ( ω) f v ω

41 + La Phase de la TF 41 n Dans une TF, l information sur le temps est cachée dans les phases. n Il est impossible de déterminer les phases avec assez de précision pour extraire les informations sur le temps.

42 + La transformée de Fourier 42 Exemple: Soit la fonction indicateur f = 1[ T, T ] f ˆ ( ω) T = e T dt = 2sin( ωt ω jω t )

43 + 43 Analyse de la Transformée de Fourier des signaux d énergie finie Exemple de calcul de Transformée de Fourier s( t) = π θ 2 ( t) - Le spectre du signal - si θ est faible, le signal est bien localisé en temps mais 1/θ est grand et le spectre est mal localisé en fréquence» - si θ est grand, le spectre est bien localisé en fréquence mais mal localisé en temps

44 + 44 Exemple de calcul de Transformée de Fourier - calculer le spectre du signal Module du spectre Phase du spectre ) ( ) ( 0 t u t s e S at = f j a S f S 2 0 π ) ( + = f a S f S ) ( π + = ) 2 ( )) ( ( a f arctg f S π ϕ =

45 + 45 Exemple de calcul de Transformée de Fourier - tracer le spectre du signal ) ( ) ( 0 t u t s e S at = f a S f S ) ( π + = ) 2 ( )) ( ( a f arctg f S π ϕ = Transformée de Fourier des signaux d énergie finie

46 + Utilisation de la distribution de Dirac pour le calcul des Transformées Fourier 46 n A partir de la TF d une constante nous pouvons déduire : TF δ ( t) = 1 TF TF TF TF ( ) ( 2πδ( t) ) ( A) = 2πA 1 { } = 2πδ( ω ω ) jω0 e t = 1 δ ( ω) Donc la transformée Fourier de cos et de sin est : TF { cos ω t} = π [ δ ( ω ω ) + δ ( ω + ω )] 0 { sin ω t} = π [ δ ( ω ω ) δ ( ω + ω )] 0 j

47 + Échelle fréquence 47 X ( e jω ) Fréquence physique X ( jω) Fréquence normalisée π 2π ω 0 π T 2π T Ω

48 + L Intégrale de Fourier 48 F(ω ) = f(ω ˆ ) = f(t) exp( jωt ) dt ( f L 1 ): Mesure la quantité d oscillations à la fréquence ω qui est présente en f. Si f L 1 cette intégrale converge f ˆ( ω) f ( t) dt < Donc, la Transformée de Fourier est bornée et continue.

49 + Valeurs et Vecteurs Propres 49 T : V V n Soit un opérateur linéaire sur un espace vectoriel V sur un corps K. Un scalaire est appelé valeur propre de T s il existe un vecteur non nul pour lequel : T( v)= λv λ K v V n Remarque kv est aussi un vecteur propre n Exemple : l opérateur différentiel sur l espace vectoriel V. D(e 5t )=5e 5t

50 + Interprétation de la Transformée de Fourier 50 Fonction de Transfert: Les exponentielles complexes des opérateurs de convolution: j t e ω sont les vecteurs propres Les valeurs propres Le jωt = h( u) e jω ( t u) du = hˆ(ω) e jωt sont la Transformée de Fourier de h à la fréquence f. jωu hˆ( ω ) = h( u) e du Donc nous voudrions décomposer une fonction dans une somme de vecteurs propres ω

51 + Notion de système 51 n Un système fait subir une transformation à un signal d entrée x(t) et délivre un signal de sortie y(t). Filtre n n On appelle filtre, d entrée x(t) et sortie y(t), un système défini par: Réponse impulsionnelle h(t) y ( t) = x( u) h( t u) du = x( t u) h( u) du R R y( t) = x( t) h( t) n n Réponse indicielle u(t) Réponse en fréquence y(t) = u(t) h(t) Y ( f ) = X( f )H( f )

52 + Filtrage linéaire invariant en temps 52 L invariance à la translation dans le domaine temps d un opérateur L Signifie que si l entrée f (t) est retardée de τ τ, f τ (t) = f (t τ ) la sortie a aussi un retard g( t) = Lf ( t) g( t τ ) = Lf ( t) τ Réponse impulsionelle Si h( t) = Lδ ( t) nous avons : f ( t) = f ( u) δ u ( t) du Lf ( f h) ( ) ( t) = f ( u) h( t u) du = h( u) f ( t u) du = t

53 + Corrélation des signaux 53 n Définition ϕ x, y l= ( k ) = x( l) y( l+ k) n Algorithme n Le signal y(l) est décalé d une certaine quantité k n Le produit x(l)y(l+k) est effectué échantillon par échantillon pour tous les k n Les valeurs ainsi obtenus sont additionnées

54 + Propriétés 54 Φxy( f ) = e 2π jfk ϕxy ( k) = X*( f ) Y( f ) Théorème de Parseval 2 ϕ (0) = ( l) = ( f ) df k =0 x x 1/2 Φ 1/2 x La fonction d autocorrélation est une fonction paire

55 + La Densité Spectrale 55 n est obtenue par la Transformée de Fourier de la fonction d autocorrélation (théorème de Wiener-Khintcine): { } = C( p)exp( 2πjfpTe ) S( f ) = TF C(p) p Z n La loi de probabilité gaussienne est importante dans la mesure où elle garde son caratère gaussien dans toute opération linéaire : convolution, filtrage, dérivation, intégration. En d autres termes, si l entrée d un système linéaire est gaussienne, sa sortie est gaussienne.

56 + Conclusions 56 n La série de Fourier d une fonction périodique ne comporte que les sinusoïdes de fréquence égales à des multiples entiers de la fréquence fondamentale n La TF de la fonction de corrélation du signal représente la densité spectrale de l énergie = la redistribution de lénergie sur les axes de fréquences

57 + Défauts de la TF 57 n La transformée de Fourier est une représentation globale du signal. Elle ne permet pas d'analyser son comportement fréquentiel local, ni sa régularité locale. La condition de convergence sur la transformée de Fourier n'indique que le pire ordre de singularité. Elle ignore les régularités locales.

58 + Relation d incertitude de 58 Heisenberg n Le principe: Le produit de la variance de x pour f 2 et de la variance de x pour F 2 est supérieur ou égal à 1 16π 2 n La largeur du paquet d'énergie d'un signal dans le temps est inversement proportionnelle à sa largeur dans l'espace des fréquences. On ne peut pas connaître avec une égale précision la position dans le temps et en fréquences d'un signal.

59 + Défauts. 59 n Le défaut de cette transformée est d avoir une fenêtre indépendante de la fréquence que l on calcule.

60 + Transformée de Lapalace Andrei Doncescu

61 + Transformée de Laplace 61 Définition Si f(t) désigne une fonction à valeurs réelles ou complexes de la variable réelle t, définie sur le domaine et nulle pour ; on appelle Transformée de Laplace de f(t) la fonction où p est complexe - l existence de F(p) suppose la convergence de l intégrale - on dit que F(p) est " l image " de f(t)

62 Transformée de Laplace 62 n Exemples U(t) 1 0 t Echelon unité U(t)e -αt, a> t xponentielle décroissante Echelon unité U(t) Exponentielle décroissante U(t)e -at,a > 0 Exponentielle complexe Signal TL 1 p 1 p+a i t 1 U(t)e ω, ω> 0 p-iω Note: la TL n est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit être plus grande qu une valeur, l abscisse de convergence.

63 Transformée de Laplace 63 n Propriété de linéarité Théorème Si V (t) a pour TL : v (p) 1 1 et V (t) a pour TL : v (p) 2 2 alors, α et β αv (t) + β V (t) a pour TL : 1 2 αv (p) + βv (p). 1 2 Exercices. Calculer les TF de U(t)cos( ωt) et U(t)sin( ωt) Signal TL Exponentielle i t 1 complexe U(t)e ω, ω> 0 p-iω ( ω ) Cosinus U(t)cos t ( ω ) Sinus U(t)sin t p p 2 + ω 2 ω p 2 + ω 2 A. D. 19/11/2013

64 Transformée de Laplace 64 n Propriété de linéarité Signal temporel TL Exponentielle ( ) α+iω t 1 complexe U(t)e, ω> 0 p+ α iω Cosinus U(t)e αt cos ωt, α > 0 Sinus U(t)e αt sin ( ) ( ωt ) ( p+ α ) ( p+ α ) p +α 2 + ω 2 ω 2 + ω 2

65 Transformée de Laplace 65 n Propriétés 1 t 0 T Impulsion R(t) t 0 Rampe 1. Théorème du retard Si V(t) a pour TL : v(p), alors V(t - T) a pour TL : e -pt v(p), T > 0. Exercice. Montrer que la TL de l'impulsion 1-e -pt ( cf. Fig.) est :. p 2. Théorème de dérivation Si V(t) a pour TL : v(p), dv(t) alors a pour TL : p.v(p). dt Exercice. Vérifier que la TL de la 1 rampe R(t) ( cf. Fig.) est :. p 2

66 Transformée de Laplace 66 n Propriétés 3. Théorème inverse de translation Si V(t) a pour TL : v(p), alors e -at V(t) a pour TL : v(p + a), a > 0. Exercice. Retrouver les expressions des TL du tableau page précédente. 4. Théorème inverse de dérivation dv(p) Si V(t) a pour TL : v(p), alors - t.v(t) a pour TL :. dp Exercice. Calculer la TL du signal : t.u(t).e -at. 5. Théorème d'affinité - homothétie ou changement d'échelle de temps 1 p Si V(t) a pour TL : v(p), alors V(kt) a pour TL : v( ), k > 0. k k Exercice. Calculer la TL du signal : U(t)sin(3t)

67 Transformée de Laplace 67 n Convolution U(t) 1 U(t-τ) 0 τ U(t) 1 U(τ-t) 0 τ Théorème Si 0 X(t) a pour TL : x(p) et Y(t) a pour TL : y(p), alors le produit de convolution X(t)Y( τ t)dt a pour TL: x(p).y(p) ou, symboliquement : a pour TL Exercice. Montrer de deux manières différentes que U(t) U(t) = R(t)

68 Transformée de Laplace 68 n Opérateurs Opérateurs dans l'espace temps TL * (convolution entre signaux) (multiplication de leurs TL) d dt (dérivation d'un signal) p (multiplication de sa TL par p) T - périodisation 1 x 1-e -pt

69 Transformée de Laplace 69 n Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) Théorème Si E(t), qui a pour TL : e(p) est le signal d'entée H(t), la réponse percussionnelle du SLS et sa TL : S(τ) h(p), la fonction de transfert du SLS alors le signal temporel de sortie est donné par s(p) le produit de convolution et sa TL par un produit : S( τ) = E(t)H( τ t)dt a pour TL s(p)=e(p).h(p) 0

70 Transformée de Laplace 70 n Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) S(τ)=(E(t)*H(t)) τ = s(p)=e(p).h(p) 0 E(t)H( τ t)dt

71 Transformée de Laplace 71 n Déconvolution 1. Décomposition en éléments simples de première espèce 1 A B C = (p - a) (p - b) (p - a) (p - a) (p - b) Pour calculer A (resp. C), on multiplie l équation par (p-a) 2 (resp. p - b) et on fait p = a (resp. p = b). On trouve : A = p=a C = p b = = a b (p a) (b a) 2 p=b 2 Pour calculer B, on multiplie l équation par (p-a) et on fait tendre p vers l infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles.

72 Transformée de Laplace 72 n Déconvolution 2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce C est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : b 4ac b 2 2 ap +bp+c = a p+ + = a 2 ( P + A ), 2a 4a b 4ac b avec P = p + et A = 2a 2a = = 2 a ap +bp+c P +A aa P / A + 1 2

73 Transformée de Laplace 73 n Calcul opérationnel δ(t) Exercice. 1 0 t Distribution de Dirac δ(t) H(t)=? h(p)=? On définit la distribution de Dirac δ(t) de la manière suivante: 0 δ(t) a pour TL: 1. d Y dy 2 Résoudre l'équation différentielle: + 2αω ω Y = δ(t) dt 0 dt ( α et ω sont réels et positifs et ne dépendent pas du temps). Discuter brièvement la nature de la solution en fonction de α. Note La méthode présentée dans cet exercice permet de retrouver la réponse percussionnelle d'un système linéaire stationnaire lorsque l'on connait l'équation différentielle à laquelle il obéit. 2

74 Transformée de Laplace 74 n Réponses Exercice: identification d un système linéaire stationnaire Réponse: H(t) est la dérivée de S(t) Exercices. Eléments de réponse: = ; = 3 2 p(p 2)(p 1) 3 p + 3p + 2p + + p 1 2 p 1 p + p + 1 et 1 1 = p + p p 1 (p 1)(p + 1) ( ) ( )

75 + Du signal analogique au signal numérique 75

76 + La Genèse du Signal Numérique 76 n De l information cachée dans la représentation choisie n Échantillonnage n Compression n Décomposition dans un espace orthogonal Les avances en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible le expression et traitement de signaux en forme numérique. Mais pour numériser, il faut d'abord échantillonner. Nous allons voir que la passage analogique numérique implique nécessairement une perte d'information. Cette perte peut être minimiser par l'application des outils adaptés.

77 + Échelle temps 77 Séquence Temps physique x(n) x(t) n T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T t

78 + Échantillonnage 78 n Signal Analogique n Signal discret en temps n Signal numérique

79 + Modèlisation mathématique de l échantillonnage 79

80 + Échantillonnage 80 n L échantillonnage idéal prélève des échantillons à la cadence T e de façon instantanée. n Z ˆx e = x a (nt s )δ(t nt s )

81 + Spectre d un signal Echantillonné ˆx e = x a (nt s )δ(t nt s ) Xˆ ( ω ) = F x( t) δ ( t) n Z { } T s X e ( f ) = TF[x a (t)] * TF[ δ(t nt s )] n Z X e ( f ) = fex a ( f ) * TF[ δ(t nt s )] = fe Xa(f nf s ) n Z n Z

82 + Spectre du signal échantillonné 82 c(t) = δ(t nt ) ĉ(ω) = e jntω ˆδ(ω) = δ(t)e jωt dt =1 ĉ(ω) = 2π T δ(ω 2πk T ) k En utilisant la formule de Poisson ˆ 1 2π 1 2π X( ω ) = X( ω) δ ω k = X ω k Ts k= Ts Ts k= Ts L effet de la convolution avec une distribution de Dirac est la répétition périodique de la fonction respective.

83 Signaux de durée finie et signaux périodiques x(t) Transformée de Fourier X(f) 0 T t f Transformée Echantillonnage x T (t) inverse de Fourier X e (f) en fréquence 0 T 2T f T T

84 Signaux échantillonnés de durée finie [ ] x ( t) = x k δ ( t kt) e N 1 0 x e (t) Transformée de Fourier X(f) 0 NT t 0 1 f Périodisation T Transformée Echantillonnage x Te (t) de Fourier X e (f) en fréquence 0 NT 2NT f N T T

85 ˆ 1 2π X( ω ) = X ω k Ts k= Ts

86 + Théorème de Shannon 86 n Pour éviter une superposition des spectres élémentaires il est nécessaire d imposer le théorème de Shannon Fe 2f max Un signal de spectre borné ne peut pas être que de durée infinie. Il est donc erroné de considérer des signaux à la fois de durée et de spectre finis.

87 87 Signal Analogique Signal échantillonnage

88 + A la limite du théorème de 88 l'échantillonnage On peut, intuitivement, remarquer sur l'illustration précédente, que relier les échantillons à l'aide d'une ligne courbe, aussi bien choisie soit-elle, n'a que peu de chances de re p ro d u i re l e s i g n al original, bien que le t h é o r è m e d e l'échantillonnage soit, formellement, respecté.

89 + 89 Sous-échantillonnage Si l'on tente de relier les échantillons par une courbe, on ne va pas être en mesure de reconstituer le signal original, mais un autre, p e u s e m b l a b l e a u précédent. Ceci est la conséquence de la violation du théorème de l'échantillonnage.

90 + Spectre dans le cas sinusoïdal 90 Le spectre d'un signal échantillonné se compose d ' u n e s é r i e d e ra i e s réparties de part et d'autre des multiples de la f r é q u e n c e d'échantillonnage. Les raies intéressantes pour la démodulation sont celles qui se situent aux alentours de 0, puisque ce sont celles qui cor respondent au signal original.

91 Reconstruction du Signal : Ts, ω ω Hr ( ω ) = Ts p ω c ( ω ) = 0, ω>ω c c ω M ω ω ω c s M r La réponse est : r ( ) = ˆ( ) ( ) x t x t h t Le spectre est : ( ω ) = ˆ ( ω) ( ω) X X H r 1 = X ω kωs Tspω ω = X ω T c s k= r ( ) ( ) ( ) x r (t) = x(t)

92 Théorème d Echantillonnage :WKS (Whittaker, Kotelnikov, Shannon) Si le signal d énergie finie x(t) a sa bande de fréquence limité à ω M, ( X(ω)=0 for ω > ω M ), il complètement représenté par ses échantillons { x( nt s ) n Z} si la fréquence d échantillonnage est deux fois la fréquence maximum du signal ω 2ω Et le signal original peut être reconstruit à partir de ses échantillons : Si la fréquence de coupure du filtre passe-bas est : s c sin ω xr ( t) = x( kt ) ω ω M 2ω c s k= s c ( t kts ) ( t kt ) s ω M ω ω ω c s M

93 Reconstruction Le signal est reconstruit par intérpolation à partir des signaux de type sin x / x.

94 sin ωmts ( n k) ( s ) = x( kts ) k= ωmts ( n k) ω s sin π( n k) M ( s) ( ) 2 k= π( n k) x nt nk, s s nk, k= ( ) ( ) ω = x nt = x kt = x kt δ = x nt δ 1, for n = k = 0, for n k s

95 Échantillonnage et périodisation Échantillonnage idéal... x ( t) = x( t) δ ( t) = x( t) δ( t kt) = x[ kt] δ( t kt) e T + k = + k =...Transformée de Fourier... X e + 1 f T X f f 1 k ( ) = ( ) * δ 1 ( ) = X ( f ) T T... périodisation en fréquence. T k = Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle

96 + Quelques valeurs 96 n En téléphonie, on utilise une largeur de bande de 300 à 3400 Hz. Dans le cadre du réseau numérique à intégration de services (RNIS, ISDN pour les anglo-saxons), on utilise une fréquence d'échantillonnage de 8000 Hz (au lieu des 6800 théoriquement nécessaires). n La musique se satisfait de 16, voire 20 khz de largeur de bande. Un disque CD (Compact Disc) utilise une fréquence d'échantillonnage de 44 khz. n Remarque: Dans les deux cas, il est essentiel que l'on ait au préalable limité la largeur de bande du signal original : des fréquences inaudibles dans le signal original deviennent audibles par le phénomène de repliement!

97 + Encore. La Transformée de Fourier mais Discrète 97

98 + Systèmes linéaires 98 n Les systèmes linéaires sont caractérisés complètement par leur réponse à une impulsion unité y(k) = L[ x(l)δ(k l)] = x(l)l[ δ(k l)]

99 + Transformée de Fourier à temps 99 discret n Si le temps est discrétisé X( f ) = x(t) e t Z 2 jπ f t La T.F. est périodique de période 1 n Et la transformée inverse x(t) = 1/2 1/2 x(t) e 2π jft df

100 + Propriétés 100 n X(f) est périodique T 0 =1 t Z X( f +1) = x(k) t Z 2 jπ ( f +1)k e = x(k) 2 jπfk e 2 jπk e = X( f ) Remarques: 1. La transformée de Fourier de X a (t) d un signal analogique n est pas périodique 2. X(f) est périodique F 0 =1, tout intervalle de longueur unité est suffisant pour décrire complètement cette fonction

101 + Règle de construction de la TFtd à partir de la TF de x(t) x(t) continue en t x e (t = nδt ) la version échantillonnée ΔT période d 'échantillonnage + x e (nδt ) = x(t). δ(t nδt ) = x(t)δ(t nδt ) + n= n= X e ( f ) = ( x(t)δ(t nδt ))e 2π jft dt t= n= n On divise l axe des fréquence par Fe n On périodise avec la période 1 n On divise l amplitude par Te + + 2π jf (nδt ) X e ( f ) = x(nδt ). e n= 1/2ΔT x(nδt ) = ΔT X e ( f ) e +2π jf (nδt ) df 1/2ΔT conclusion : x(nδt ) X e ( f ) est unefonction périodique en f de période (1/ ΔT ) 101

102 + Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1) 102 x(t) TF continue X ( f ) x(t) séries de Fourier c n x( nδt ) échantillonnage temporel X e ( f ) x p ( nδt) TF Discrète X ( mδf ) transformée de fourier discréte

103 + Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel 103 x(t) x( nδt ) pas f max de repliement 1/ 2ΔT 1/ 2ΔT X e ( f ) 1/ 2ΔT f max + fmax x(t) x( nδt ) repliement f max 1/ 2ΔT 1/ 2ΔT X e ( f ) 1/ 2ΔT f max + fmax transformée de fourier discréte

104 + Observations spectrales 104 n Précision n Pour mesurer la fréquence d une seule sinusoïde n Résolution n La capacité de mesurer des fréquences distinctes

105 + Transformée de Fourier discrète 105 n En se limitant à un nombre fini de L valeurs de la fréquence, à savoir f=k/l, on obtient la Transformée de Fourier Discrète X( k) N = 1 n= 0 x( n) 2πjkn/ N n L est le nombre de points de calcul de Tftd et N est le nombre de points de la suite temporelle e N x( n) = 1 N n= 1 0 x( n) w nk N { 0,...,N-1} k avec wn = exp( 2jπ / N)

106 + La Transformée de Fourier Rapide 106 n Exemple N=2 p où p=3 2k 4k 6k k 2k 4k X k= ( x(0) + x(2) w + x(4) (8) ) ( (1) (3) (5) (7) 8 w + x 8 w + 8 w x + x 8 w + x 8 w + x 8 w n Ce qui donne 4k 2k ( x (0) + x(4) w ) + ( (2) (6) 8 w x + x 8 w 4k 2k ( x (1) + x(5) w ) + ( (3) (7) 8 w x + x 8 w n Une structure de papillon : addition, soustraction et multiplication 4k 8 4k 8 ) ) 6k 8 )

107 + Echantillonnage avec Blocage

108

109 + La Transformée Laplace d un bloqueur d ordre 0 G o (p) =1/ p e pt / p = (1 e pt ) / p

110

111 ωt sin s ω sin π H ( ) 2 ω s r ω = Ts = Ts ωt s ω π 2 ω s 2 2

112 Reconstruction par Extrapolation : Bloqueur d ordre zéro ωt T 2sin s ωt ω T sin s j s j s Ts ω h 2 2 ( ) 2 2 r t = pts t s 2 e = e T 2 ω ωts 2 ωt ω T sin s sin j s jπ ω π ω 2 ( ) 2 ωs ω s Hr ω = e Ts = e ωts ω π 2 ω s