Divisibilité - Division euclidienne

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1 Divisibilité - Division euclidienne I Ensembles IN et ZZ L'ensemble des entiers {0 ; 1 ; 2 ; 3 ;... } est appelé ensemble des entiers naturels et noté IN. L'ensemble des entiers {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;... } est appelé ensemble des entiers relatifs, il est noté ZZ. IN est une partie de ZZ : IN ZZ. La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels. La somme et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs. Propriété (admise) Toute partie non vide de IN a un plus petit élément. s Soit A = { 8 ; 12 ; 14 ; 21 }. A est une partie de IN. Le plus petit élément de A est 8. Soit B l'ensemble des entiers naturels impairs. B est une partie de IN. Le plus petit élément de B est 1. Une partie non vide de ZZ n'a pas nécessairement de plus petit élément. II Divisibilité Définition Soient a et b deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif k tel que b = k x a, on dit que b est un multiple de a ou que a est un diviseur de b. (on dit aussi que b est divisible par a, que a divise b, mais on ne dit jamais que b multiplie a) Pour indiquer que a divise b, on écrit parfois a b. De l'égalité 54 = 6 x 9, on peut déduire : 6 est un diviseur de 54, 9 est un diviseur de 54 (9 et 6 divisent 54), 54 est un multiple de 6, 54 est un multiple de 9. L'ensemble des multiples de 3 est l'ensemble des nombres de la forme 3 x k avec k ZZ. L'ensemble des multiples de 3 est parfois noté 3ZZ. TS Divisibilité Division euclidienne page 1 / 5

2 Exercice 01 Démontrer que l'ensemble des multiples de 5 est égal à l'ensemble des multiples de -5. Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux, on peut démontrer que : si x E alors x F, c'est-à-dire que E F et si x F alors x E, c'est-à-dire que F E Propriété (voir démonstration 01) Soient a et b deux entiers relatifs. Si a divise b et si b 0, alors a b. Tout entier relatif b 0 a un nombre fini de diviseurs. On peut traduire cette propriété en termes de multiples : Si n est un multiple non nul de p, alors n ³ p. Exercice 02 Écrire tous les diviseurs de 36. Quel est leur nombre? Exercice 03 Compléter : Un multiple de 0 est un entier relatif b tel que... Quel est l'ensemble des multiples de 0? Compléter : Un diviseur de 0 est un entier relatif b tel que... Quel est l'ensemble des diviseurs de 0? Quel est l'ensemble des multiples de 1? Quel est l'ensemble des diviseurs de 1? Propriété (voir démonstration 02) Soient a, b et c trois entiers relatifs. On peut traduire la propriété en termes de multiples : Si b est un multiple de a, alors bc est un multiple de a. Tout multiple d'un multiple de a est un multiple de a. Si a divise b, alors a divise bc. Propriété (voir démonstration 03) Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b et si a divise c alors a divise b + c et a divise b - c. Plus généralement si a divise b et si a divise c alors a divise tout nombre de la forme bu + cv où u et v sont des entiers relatifs. On peut traduire la propriété en termes de multiples : Si b et c sont des multiples de a, alors bu + cv est un multiple de a. Exercice 04 En décomposant sous la forme , montrer que 111 divise Démontrer que 111 divise Démontrer que 111 divise Exercice est un nombre de trois chiffres dont le chiffre médian 7, est la somme des chiffres extrêmes 5 et 2. Vérifier que 572 s'écrit En déduire que 572 est divisible par 11. Donner trois autres nombres de 3 chiffres, divisibles par 11 et constitués de la même façon. TS Divisibilité Division euclidienne page 2 / 5

3 Propriétés Soient a, b, c des entiers relatifs. 1, -1, a, -a sont des diviseurs de a. Si a divise b alors -a divise b, a divise -b et -a divise -b. Si a divise b et si b divise a, alors a = b ou a = -b. (c'est-à-dire que a = b ) Si a divise b et si b divise c, alors a divise c. Si a divise b alors pour tout entier relatif c, ac divise bc. Exercice 06 Écrire ces propriétés en termes de multiples. Exercice 07 Écrire les démonstrations des propriétés précédentes. Exercice 08 Calculer et En déduire que divise Démontrer de même que divise Exercice 09 Soit n IN. Rappeler l'expression de la somme S = n-1 En déduire que 5 n + 19 est divisible par 4, pour tout n IN. Exercice 10 Soit p ZZ. Démontrer que p(p 2-1) est un mutiple de 2 Exercice 11 Soit p ZZ. Démontrer que p(p 2-1) est un mutiple de 3. En déduire que p(p + 1)(2p + 1) est un multiple de 3 III Division euclidienne Propriété d'archimède (voir démonstration 04) Soit b un entier naturel non nul. Pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb. Cela revient à dire que l'ensemble des multiples de b (b 0) n'est pas majoré par a, et ceci pour tout a IN. L'ensemble des multiples de b (b 0) n'est pas majoré. b = 3 ; a = 52 pour n ³ 18, on a < nb. Rappel : Technique de la division d'entiers naturels Poser la division de 43 par 5. On peut écrire 43 = 8 x s'appelle le dividende, 5 le diviseur, 8 le quotient et 3 le reste. On a 3 < 5, le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur TS Divisibilité Division euclidienne page 3 / 5

4 Les multiples de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et on choisit 40 = 8 x 5 car 45 > 43. Pour chercher le quotient d'une division, on cherche en pratique les multiples du diviseur et on choisit celui qui précède immédiatemment le multiple supérieur au dividende. Division euclidienne dans IN (voir démonstration 05) Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ; r) d'entiers naturels tel que : a = bq + r et r < b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b. Si r = 0, alors a est divisible par b. Division euclidienne de 31 par 7: 31 = 7 x Pour faire avec une calculatrice la division euclidienne de 1715 par 71 Avec une TI 89 Le quotient est obtenu par intdiv(1715,71) (en français divent(1715,71) ) Le reste est obtenu par remain(1715,71) (en français reste(1715,71) ) Avec une TI 82 (qui ne connaît pas la division euclidienne) On utilisera la fonction INT (partie entière) Le quotient est obtenu par int (1715/71) Une fois le quotient connu, on pourra trouver le reste en calculant x 71 Avec un tableur Le quotient est obtenu par ENT() (partie entière) Le reste est obtenu par MOD( ; ) Le reste d'une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1. Tout nombre pair s'écrit sous la forme 2k avec k ZZ. Tout nombre impair s'écrit sous la forme 2k + 1 avec k ZZ. Exercice 12 Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n 2-1 est divisible par 8. TS Divisibilité Division euclidienne page 4 / 5

5 Exercice 13 Quel est le reste possible dans la division euclidienne d'un entier naturel n par 3. En déduire que tout entier relatif peut s'écrire sous l'une des formes 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 avec k ZZ. Exercice 14 Le 4 septembre 2002 est un mercredi, quel jour de la semaine sera le 4 septembre 2045? Exercice 15 Écrire la division euclidienne de 728 par 17. En déduire qu'il existe un couple unique (q ; r) tel que q ZZ, r IN, r < 17 et -728 = 17q + r Division euclidienne d'un entier relatif (voir démonstration 06) Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ; r), q ZZ et r IN tel que : a = bq + r et r < b a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b. La division euclidienne de -514 par 35 s'écrit : -514 = 35 x (-15) + 11 Attention, dans le cas d'entiers négatifs, les fonctions des calculatrices ne donnent pas toujours les résultats attendus, elles peuvent donner un reste positif. Il faudra donc faire preuve de vigilance dans leur utilisation et savoir rétablir le résultat correct. Exercice 16 Soit x est un entier relatif. tel que le reste de la division euclidienne de x par 7 est 2. Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 7 de x 2 et de x 3? Exercice 17 Programmation d'une calculatrice, pour faire la division euclidienne d'un entier relatif. Exercice 18 Quel est le reste dans la division euclidienne par 11 de 10 ; 100 ; ; Quelle conjecture peut-on faire sur le reste dans la division euclidienne par 11 de 10 n lorsque n IN TS Divisibilité Division euclidienne page 5 / 5