ROBOT NETTOYEUR DE PISCINE

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1 Mercredi 14 Octobre 2015 (13h30-15h30) Aucun document autorisé - Calculatrices autorisées Soigner la présentation, justifier et encadrer les résultats. Le sujet se compose d'un seul problème dont les différentes parties sont largement indépendantes. I - Présentation du système ROBOT NETTOYEUR DE PISCINE L'étude proposée concerne un robot nettoyeur de piscine publique. Ce robot est conçu pour s'adapter à tout type de bassin, et peut nettoyer aussi bien les parois que le fond. Dans le cas de revêtement de paroi très glissant (carrelage), il peut être nécessaire de remplacer les brosses d'origine par des brosses en mousse spéciale car les brosses de nettoyage assurent aussi le déplacement du robot. Elles sont pourvues d'ailettes radiales souples revêtues de matière antidérapante, et sont montées sur 4 rouleaux identiques. Chacun des rouleaux-brosses est entraîné en rotation par un moto-réducteur. Ces rouleaux entraînent également deux chenilles latérales servant à déplacer le robot lorsqu'une configuration de basculement (non envisagée dans cette étude) empêche les brosses d'agir efficacement. Une série de flotteurs montés sur un bras articulés permettent d'équilibrer le robot et d'adapter précisément sa masse en fonction du revêtement intérieur de la piscine. Une pompe aspire l'eau entre les quatre rouleaux et la refoule après filtration selon l'axe central du robot. Ces deux phénomènes d'aspiration (dépressions sous le robot) et de refoulement en partie supérieure du robot (effet de réaction) tendent à plaquer le robot sur la surface à nettoyer. Le robot est alimenté en énergie électrique et lié à l'armoire de commande par un câble qui ne gène pas son fonctionnement. MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 1/6

2 Ce robot offre trois modes de fonctionnement : automatique, manuel et programmé (pour nettoyage nocturne). Son mode déplacement est non ordonné : en mode automatique ou programmé, le robot change de direction à intervalles de temps réguliers afin de parcourir l'intégralité du bassin. Deux types de parcours sont possible : «SOL» uniquement ou «SOL+PAROIS». Dès sa mise en service en mode automatique ou programmé le robot se déplace jusqu'à la rencontre d'une paroi. Au contact de celle-ci, l'appareil se dresse et signale à l'armoire de commande sa position inclinée. Celle-ci inverse le sens de déplacement du robot si le programme «SOL» est sélectionné sinon il gravit la paroi. Le temps d'une montée de paroi est défini par une temporisation programmable. Cette faculté permet le nettoyage des fosses de plongée d'une manière automatique sans intervention humaine. II - Étude de la maîtrise de la trajectoire Pour certaines applications particulières, on souhaite maîtriser la trajectoire du robot dans la piscine, et donc la vitesse de chacun des rouleaux-brosses. A cette fin, on veut asservir la vitesse de rotation de chacun des deux moteurs à courant continu équipant le robot. On analysera les performances de l'asservissement de vitesse en fonction du correcteur. II.1 - Modélisation de la partie opérative II Fonction de transfert du variateur et du moteur Le moteur est piloté par une électronique de puissance (variateur) qui induit, au niveau de l'axe du moteur, un couple Γ(t) (en N.m) proportionnel à la tension U(t) (en V) en entrée du variateur tel que: Γ(t)= K 1.U(t) (1) avec K 1 = 0,2N.m/V On notera les transformées de Laplace : L[Γ(t)]=Γ(p) et L[U(t)]=U(p) Question 1: Transformer dans le domaine de Laplace l'équation (1) et en déduire la fonction de transfert du variateur et du moteur H ( p)= Γ ( p). U ( p) II Fonction de transfert du robot On cherche à modéliser le comportement dynamique du robot. Le principe fondamental de la dynamique appliqué au robot donne l'équation : M. d²x(t ) = C dt² 2. dx(t) +( X dt B (t )+ X C (t )) (2) Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'arbre moteur donne l'équation suivante : J. d Ω(t) =R dt b.( X B (t )+ X C (t))+γ(t) (3) La vitesse de translation du robot est liée à la vitesse de rotation du moteur par la relation : dx(t) = ρ. R dt b.ω(t) (4) Notations : R b rayon d'un rouleau (en m) ; M masse du robot (en kg) ; ρ coefficient de glissement entre les brosses et le sol (sans unité) ; MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 2/6

3 J inertie équivalente ramenée sur l'arbre moteur (en kg.m²) ; C 2 coefficient de frottement fluide (en N/(m/s)) ; X B (t ) et X C (t) projections, selon la direction du déplacement, des efforts du sol sur le robot par l intermédiaire des brosses (en N) ; x(t) position du robot (en m) ; Ω(t) vitesse angulaire de rotation d'un moteur (en rad/s). On notera les transformées de Laplace : L[ X B (t)]= X B ( p) ; L[ X C (t)]=x C ( p) ; L[ X (t)]= X ( p) et L[Ω(t )]= Question 2: En supposant les conditions initiales nulles, transformer dans le domaine de Laplace les équations (2), (3) et (4). Question 3: En déduire la fonction de transfert du robot G( p)=, la mettre sous la forme Γ( p) K canonique d'un système du premier ordre, en précisant les paramètres canoniques K 1+Tp (gain statique) et T (constante de temps) en fonction des données ainsi que leurs unités. G p =4500 Dans la suite on prendra 1 p 2 Le schéma fonctionnel ci-dessous représente la partie opérative que l'on vient de modéliser : Variateur+ moteur Robot Question 4: En déduire la fonction de transfert de l'ensemble variateur+moteur et robot T ( p)=, la mettre sous la forme canonique d'un système du premier ordre. U ( p) II.2 - Modélisation de l asservissement en vitesse Pour réaliser l'asservissement de vitesse, une dynamo tachymétrique est montée sur l'axe du moteur. Elle permet de mesurer la vitesse de rotation et délivre une tension Uv(t) (en V) proportionnelle à la vitesse de rotation Ω(t) telle que : Uv (t) = K2.Ω(t) (5) avec K2= 6V /(1000tr/min) soit environ V.s/rad. On notera la transformée de Laplace : L[Uv(t)]=Uv(p) Question 5: Transformer dans le domaine de Laplace l'équation (5) et en déduire la fonction de Uv( p) transfert de la dynamo F ( p)=. La tension de consigne Uc(t) (en V), pilotant la vitesse du moteur est comparée à la tension de mesure Uv(t), au niveau d'un comparateur qui donne en sortie le signal : ε(t) = Uc(t) - Uv(t) (6) MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 3/6

4 On notera la transformée de Laplace : L[Uc(t)]=Uc(p) et L[ε(t)]=ε(p) Question 6: Transformer dans le domaine de Laplace l'équation (6). La tension de consigne Uc(t) (en V) correspond à la traduction de la consigne Ωc(t) (en rad/s) telle que : Uc (t) = Kconv. Ωc (t) (7) On notera la transformée de Laplace : L[Ω c(t)]=ω c( p) Question 7: Transformer dans le domaine de Laplace l'équation (7) et en déduire la fonction de Uc( p) transfert du convertisseur de consigne M ( p)=. Ωc ( p) Le signal ε(t) est modulé par un correcteur de fonction de transfert C(p) pour fournir la tension U(t) aux bornes du variateur. Le schéma-bloc de l'asservissement en vitesse est alors donné ci-dessous : Ωc Uc Kconv + - ε U Γ Ω C(p) K1 G(p) 0,2 Nm/V Uv K2 6V(1000tr/min) Question 8: Justifier que le système étudié est asservi. Question 9: Exprimer l'écart en sortie du comparateur ε(p) en fonction de Ω c( p) et. En déduire Kconv pour réaliser un asservissement correct. MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 4/6

5 Le cahier des charges de l'asservissement en vitesse du robot impose d'atteindre les performances suivantes : précision : pour une entrée de type échelon : écart statique nul pour une entrée de type rampe de pente unitaire : écart de traînage inférieur à 0,1rad/s rapidité : pour une entrée de type échelon temps de réponse à 5 % inférieur à 0,5s II.3 - Etude des performances de l'asservissement en vitesse avec un correcteur Proportionnel On considère un correcteur proportionnel de fonction de transfert C(p)=K Question 10: Déterminer dans ce cas l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée FTBF ( p)=. La mettre sous la forme canonique d'un système du 1 Ω c( p) er ordre FTBF ( p)= K 3 1+T 3 p où on précisera K 3 et T 3. On considère pour la suite FTBF ( p)= Ω c( p) = K 3 1+T 3 p On prend en entrée une vitesse de consigne de type échelon unitaire : Ωc(t)=u(t ) Question 11: Donner alors l'expression de l'entrée dans le domaine de Laplace Ωc( p). Question 12: En déduire l'expression, en fonction de K 3 et T 3, de la sortie dans le domaine de Laplace. Question 13: Sans calculer la transformée inverse, en fonction de K 3 et T 3, déterminer la valeur en régime établi lim Ω(t) vérifier la valeur initiale Ω(0)=lim Ω(t ) et déterminer aussi la t t 0 valeur initiale de la dérivée Ω' (0)=lim Ω' (t). t 0 Question 14: En utilisant la décomposition en éléments simples de, déterminer la transformée inverse Ω(t), en fonction de K 3 et T 3. Vérifier les résultats de la question précédente. Question 15: Tracer sur votre copie la consigne Ωc(t) et l'allure de la réponse Ω(t) en indiquant les valeurs caractéristiques, en fonction de K 3 et T 3, notamment la valeur initiale, l'asymptote finale et la tangente à l'origine. On pourra également calculer Ω(T 3 ) et Ω(3T 3 ) Question 16: Sur ce graphe, tracer le couloir des +/-5 % autour du régime établi permettant de caractériser la rapidité du système avec son temps de réponse à 5 % T R5 % puis déterminer son expression, en fonction de K 3 et T 3, puis en fonction de K. Question 17: Sur ce graphe, tracer l'écart statique ε s = lim t + [ Ω c (t ) Ω(t )] du système puis déterminer son expression, en fonction de K 3 et T 3, puis en fonction de K. Question 18: Comment faut-il choisir K pour respecter le cahier des charges? Est-ce possible? MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 5/6

6 II.4 - Etude des performances de l'asservissement en vitesse avec un correcteur Proportionnel Intégral On considère maintenant un correcteur proportionnel intégral de fonction de transfert p C( p) = K K. 2 + = 2 p p Question 19: Donner dans ce cas l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée FTBF ( p)=. La mettre sous la forme canonique d'un système du 1 Ω c( p) er ordre FTBF ( p)= K 4 1+T 4 p où on précisera K 4 et T 4 On considère pour la suite FTBF ( p)= Ω c( p) = K 4 1+T 4 p On prend en entrée une consigne de vitesse de type échelon unitaire : Ωc(t)=u(t ) Question 20: Caractériser la rapidité du système avec son temps de réponse à 5 % T R5 %, en fonction de K 4 et T 4, puis en fonction de K. Question 21: Déterminer l'écart statique ε s = lim t + [ Ω c (t ) Ω(t )], en fonction de K4 et T 4, puis en fonction de K. Question 22: Comment faut-il choisir K pour respecter le cahier des charges? Est-ce possible? On considère toujours FTBF ( p)= Ω c( p) = K 4 1+T 4 p On prend en entrée une consigne de vitesse de type rampe de pente unitaire : Ω C (t)=t.u(t) Question 23: Donner alors l'expression de l'entrée dans le domaine de Laplace Ωc( p). Question 24: En déduire l'expression de la sortie dans le domaine de Laplace Question 25: Sans calculer la transformée inverse Ω(t), déterminer l erreur de traînage ε v = lim t + [ Ω c (t ) Ω (t )] en fonction de K 4 et T 4, puis en fonction de K. Question 26: Comment faut-il choisir K pour respecter le cahier des charges? Conclure quant au choix de K. MPSI 1 & 2 Pôle Kerichen Vauban- BREST 6/6