Correction du contrôle 2 Mathématiques classe de 3e

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1 Correction du contrôle 2 Mathématiques classe de 3e I. COURS: (2 points) 1) Propriété permettant d'expliquer comment trouver le PGCD de 2 nombres par un algorithme des soustractions successives. Soient a et b deux nombres positifs avec a> b, le PGCD(a ; b) = PGCD ( b ; a-b) 2) Propriété concernant 2 nombres premiers entre eux. Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1 II. APPLICATIONS NUMERIQUES ( 19 points) Exercice 1: (6 points) J'observe, je réfléchis et j'entoure la bonne réponse sur ce sujet! Pour répondre au questionnaire à choix multiples ci-dessous, aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte (et rapporte 1 point). L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. questions Réponse A Réponse B Réponse C 1 ) Le PGCD de 12 et 30 est égal à ) Quelle est l'expression développée de: 2x(2x 3) 2x² -6x x² - 3 x² - 6x 3 ) Quels sont les nombres premiers entre eux? 77 et et 1035 et 77 ) Le plus petit dénominateur commun de est ) à quelle autre expression est égale l'expression: : 5 2? 3 3 : ) Le nombre,25 est égal à ,25 Réponse 1: On a 12 = 6 2 et 30 = 5 6 et 2 et 5 sont premiers entre eux donc 6 est le PGCD de 12 et 30; Réponse 2: pour obtenir la réponse il faut développer le produit et attention 2x 2x = x² Réponse 3: 77 et 338 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par et 77 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par 9 car la somme de leurs chiffres est divisibles par 9 donc la seule réponse est 63 et on a 63 = 9 7 et = 11 Réponse : Le plus petit multiple de 6 et 9 est 18 car 6 3 = 18 et 9 2 = 18 Réponse 5: La réponse est la réponse C car il faut d'abord effectuer le quotient et donc multiplier 3 par

2 l'inverse de 5 2 soit puis soustraire ce résultat à 7 3 Réponse 6:,25 = + 0,25 or 0,25 c'est 1 et dans unités on a 16 et 1 16 =17 Exercice 2: (6 points) a) Je calcule l'expression A sous forme irréductible, en montrant les étapes de calcul. A= 5 : A= A= A= A= A= b) Pour calculer B= 8 3, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches 1 2 1,5 suivantes: : ,5. J'explique pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. L'élève n'a pas mis les parenthèses et donc n'a pas respecter les priorités de calcul. Il devait écrire le programme suivant: ,5 Exercice 3: (7 points) On considère les nombres suivants: 1) Je développe et réduis B. B = ( x +1)(x -1) - ( x 1)² A= ² et B= x 1 x 1 x 1 ² où x 1 Je reconnais (a +b)(a-b) = a² b² et (a b)² = a² + b² 2ab B = x² 1 - (x² x) Je supprime les parenthèses B = x² 1 x² 1 + 2x B = 2x - 2 2) Sans utiliser la calculette et sans poser les calculs, je donne la valeur de A. ( Indiquer la méthode sur votre feuille). A= ²

3 A = ( ) ( ) - ( )² On reconnaît l'expression B avec x = 1000 donc A= = ) Je factoriserb. Soit je me sers de l'expression du texte et je remarque qu'il y a un facteur commun (x -1) B = ( x-1)(x +1) - ( x -1) ( x 1) B = ( x 1 ) [ ( x +1 ) - ( x 1)] B = ( x 1) ( x + 1 x + 1) B= x 1 2 Ou je me sers de l'expression développée B = 2 x 2 B=2 x 2 1 B=2 x 1 Applications géométriques, Exercice 1: ( 11 points) Données : On a un cercle de centre O et de diamètre IJ = 8 cm. Et K un point du cercle tel que JK = cm. 1) Je trace la figure et la compléter au cours de l'exercice

4 Rappel de cours: A - Pour démontrer qu'un triangle est rectangle Théorème Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Exemple 1 : Trace le cercle de diamètre [SR] tel que SR = 7 cm puis place sur ce cercle un point H tel que RH = cm. Démontre que le triangle RHS est rectangle en H. Données Le point H appartient au cercle de diamètre [SR]. Propriété Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Conclusion Le triangle RHS est rectangle en H. Réponse à la question 2 Je cherche la nature du triangle IJK On a : [IJ} le diamètre du cercle et K un point du cercle Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Donc le triangle IJK est rectangle en K 3) Je cherche un tiangle équilatéral? Je donne son nom en utilisant les lettres du texte et je justifie avec soin. Le cercle a pour centre O et pour diamètre [IJ] or le diamètre est 8 cm donc le rayon est cm. Comme [OJ] et [OK] sont des rayons: OJ = OK = cm De plus JK = cm donc le triangle OJK a trois côtés égaux c'est un triangle équilatéral Rappels de cours Voir dans votre livre pages 28 et 29 les rappels des propriétés sur les parallèlogrammes ) Soit R le symétrique de K par rapport au point O. Nature du quadrilatère JKIR? Je justifie avec soin. Le point R est le symétrique du point K dans la symétrie de centre O donc [KR] est un diamètre du cercle [IJ] est aussi un diamètre du cercle de centre O Donc le quadrilatère JKRI a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur c'est un rectangle.. Pour la rédaction des questions 1 et 2 de l'exercice 2, vous reporter à votre livre : p 162 pour la question calcul d'une longueur et pour la question 2 livre p 163 méthode 3

5 Exercice 2 : (8 points) Le dessin n'est pas réalisé en vraie grandeur et n'est pas à reproduire. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles On donne: AB =,5 cm ; AC = 3 cm; AN =,8 cm ; MN = 6, cm ; AE = 5 cm et AF = 7,5 cm 1) Je calcule BC Les droites (MB) et (NC) se coupent en A Les droites (BC) et MN) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès AM AB = AN AC = MN BC On se sert de : AN AC = MN BC,8 3 = 6, BC D'où BC= 6, 3,8 Donc BC= ou encore BC= = en multipliant le numérateur et le dénominateur par 10 2) Les droites (EF) et (BC) sont-elles parallèles? J'ai envie d'utiliser soit la contraposée de la propriété de Thalès soit le réciproque de la propriété de Thalès. Les droites (BF) et (CE) se coupent en A et les points B, A et F sont alignés dans le même ordre que AF les points C, A et E. Je vérifie si : AB = AE AC Je calcule AF AB = 7,5,5 = 75 5 = =5 3 AE AC =5 3 On a l'égalité donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (BC) et (EF) sont parallèles. Problème: ( 6 points) Une piscine de forme rectangulaire est entourée d'une bande de gazon. Cette piscine a pour longueur 12 mètres et pour largeur 5 mètres. La bande de gazon a toujours le même largeur.

6 On souhaite mettre une clôture autour de la bande de gazon. 1) La largeur de la bande de gazon est 2,5 mètres. Je calculer, dans ce cas, la longueur de la clôture. Le longueur de la clôture est égale au périmètre du gazon Longueur du gazon : L = ,5 = 17 Largeur du gazon l = 5 2 2,5 = 10 Longueur de la clôture: L l 2= =5 La longueur de la clôture est de 5 m 2) La clôture s'achète en rouleaux de 10 mètres de longueur. Quelle doit être la largeur de la bande de gazon si on souhaite utiliser en totalité les six rouleaux pour la clôture? On cherche la largeur de la bande pour que la clôture mesure 60 m Soit x la largeur de la bande de gazon L = x et l = 5 + 2x Donc la longueur de la clôture est de : 12 2x 5 2x 2 = 17 x 2=3 8x Or 3 + 8x = 60 d'où 8x = x = 26 x = 26 8 x = 3,25 Je vérifie: , ,25 2= 18,5 11,5 2=30 2=60 La bande de gazon mesure 3,25 m On pouvait travailler avec le demi périmètre On pouvait aussi travailler de la manière suivante: Si la largeur du gazon est de 2,5 m, la longueur de la clôture est de 5 n donc il reste 6 m à repartir 2 fois sur chaque longueur et 2 fois sur chaque largeur donc au total on a 8 fois la longueur 6 =0,75 Il faut ajouter 0,75 m à la largeur du gazon 8 La largeur du gazon est de 2,5 + 0,75 = 3,25 La largeur du gazon 3,25 m