Mathématiques 12ème SS Production de Mathematikos La meilleure méthode du moment pour enseigner les Maths! On distingue : Remarque. Exemple.

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1 Classe : 12 ème SS CHAPITRE 6 STATISTIQUE Synthèse générale 1 Vocabulaire statistique La statistique étudie certaines caractéristiques : caractères ou variables d'un ensemble fini. Domaine : Sciences, Mathématiques et Technologies Compétences : Mettre à profit ses connaissances scientifiques Composantes : Mettre à l essai des pistes de solution et partager les informations relatives à la démarche scientifique et mathématique Manifestations : Établir les relation entre les données retenues et inventorier les pistes de solutions Ressources éducatives : Professeur, élèves, matériels didactiques Stratégies d animation : Travaux en groupe (pédagogie active). Contenu Séquence 1 : Rappels de la Statistique simple (2 heures) 1) Organisation de données statistiques Approche 1 en groupe de travail Consigne 1 Dans un groupe de jeune, les âges des jeunes sont donnés comme suit : 16, 23, 18, 2, 24, 2, 26, 2, 18, 17, 19, 23. Dénombrer le nombre de jeune dans le groupe Consigne 2 Ranger les âges des jeunes par catégorie Consigne 3 Classer les âges des jeunes par ordre croissant. Consigne 4 Coder les données à l aide des chiffres codes. Consigne 5 Résumer les quatre consignes dans le tableau suivant : Âges Codage Nombre de jeune Copy Writer SAMATE L@mine - Mathématicien Émérite Avril 214 On distingue : a)les caractères quantitatifs : numérique et fait l'objet de calcul (âge, taille, poids, notes, nombres d'heures etc...) b) Les caractères qualitatifs : c'est le contraire de quantitative, mais la variable peut très bien être numérique. c) Un caractère est discret si le caractère ne prend qu'un nombre fini de valeurs (ces valeurs sont appelées modalités et notées x i ) Remarque Le nombre 4 est codé par IIII, le 5 par IIII, etc Exemple Âges Effectif d) Un caractère est continu si la variable prend ses valeurs dans un intervalle (classe) Exemple Une série d observation concernant l âge de 15 garçons a donné le résultat suivant : Âge( x i ) en an [ ; 5[ [5 ; 7[ [7 ; 9[ [9 ; 15[ Effectif(n i ) e) Dépouillement Le dépouillement est la répartition en classe des unités statistiques suivant leurs caractères distinctifs ou l intensité de ces caractères et décompte des unités de chaque classe. f) Individu ou unité statistique Un individu est le constituant d un ensemble représenté par sa caractéristique étudiée. Dans notre cas, chaque jeune est un individu. g) Population Une population est un ensemble fini d objets partageant une ou plusieurs caractéristiques qui servent à les regrouper. Dans notre cas, la population est l ensemble des jeunes(les 12 personnes). Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 24

2 h) Modalité On nomme modalité les différentes valeurs présentées par les individus d une population relativement à une variable quantitative. Dans notre cas chaque âge est une modalité. i) Effectif L'effectif d'une classe ou d'une modalité est le nombre d'individu de cette classe ou de cette modalité. Généralement on le note par n i Dans notre cas, c est le nombre de joueur pour chaque âge. j) Effectif total L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes ou de toutes les modalités. Séquence 2 : Caractères de positions (1 H 3) 1) Moyenne Approche 2 en groupe de travail Les moyennes trimestrielles d une classe de SES au LMMS sont données par les résultats suivants : Moyenne 9,5,3 12,5 13,75 14,5 14,74 Effectif Quelle est la moyenne de cette classe? Synthèse partielle 1 On dit que l on a calculé la moyenne de la classe. Synthèse générale 2 On considère une série statistique donnée par le tableau suivant : Modalité(xi) x 1 x 2 x p Effectif(ni) n 1 n 2 n p On appelle moyenne de cette série le réel : x = n 1x 1 + n 2 x n p x p n1 + n2 + + np Si on désigne parf i la fréquence de x i alors Évaluation 1 x = f 1. x 1 + f 2. x fpx p Dans une étude sur les tailles d une classe de TSS au LMMS, on a obtenu le tableau des tailles suivant : Tailles(m) 1,55 1,6 1,65 1,75 1,8 1,9 Effectif Calculer la taille moyenne de cette classe. Remarque L effectif total de la population est :N = n 1 + n n p, f i étant la fréquence de la modalitéx i alors n 1 f 1 + n 2 f n p f p = 1. 2) Médiane Approche 3 en groupe de travail Soit la série suivante représentant la taille en centimètre de 13 enfants : 1, 1, 113, 113, 113, 115,115, 116, 117, 12, 12, 121, 121 Déterminer la taille partageant les tailles en deux groupes. Synthèse partielle 2 Cette taille se nomme médiane. Synthèse générale 3 La médiane est un paramètre de position, qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même nombre d'individus. En d autre terme la médiane d une série est la valeur partageant la population en deux groupes de même effectif. Remarque Dans certains cas la médiane est la demi- somme de deux valeurs (cas d effectif pair). Évaluation 2 1) Si la série comporte un nombre pair de terme. Soit le tableau de note d une classe Note Effectif Déterminer la médiane de cette série. 2) Si la série comporte un nombre impair de terme, Soit la série représentant l âge de 12 joueurs : 2, 2, 21, 21, 23, 23, 24, 24, 25, 26, 26, 26, 3. Trouver la médiane de cette série. 3) Mode ou dominante a) Approche 4 en groupe de travail Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 25

3 Dans un devoir de maths en SES, on a obtenu les notes suivantes : Note/ Effectif Déterminer la note ayant le plus grand effectif. Synthèse partielle 3 On dit que cette note est la mode (en grand nombre) Synthèse générale 4 On appelle mode d une série statistique la valeur du caractère correspondant au plus grand effectif. Lorsque les données sont groupées en classe, on parle de classe modale. Autrement dit, dans le cas d'une série statistique continue, la classe modale est la classe du plus grand effectif et dans le cas d'une série statistique discrète, le mode est la valeur de plus grand effectif : Évaluation 3 On considère les âges des premiers à l examen du Bac des villes du Gondwana : 16, 23, 18, 2, 24, 2, 26, 2, 18, 17, 19, 23, 2. Trouver la mode de la série statistique. 4) Quartiles a) Approche 5 en groupe de travail Soit la série représentant les chiffres d affaire en millions de 14 entreprises : 11, 12, 12, 13, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19,2, 22, 23.. a) Trouver le 25 ème % de l ordre du nombre des chiffres d affaire. b) Quel est le premier chiffre d affaire q supérieur à cet ordre? c) Trouver le 75 ème % de l ordre du nombre des chiffres d affaire. d) Quel est le premier chiffre d affaire q supérieur à cet ordre? Synthèse partielle 4 On dit que le nombre q est le 1 er quartile et q est le 3 ème quartile. Synthèse générale 5 Considérons une série statistique dont les valeurs sont ordonnées (rangées dans l ordre croissant) -On appelle 1 er quartile de la série, la plus petite valeur q des Copy Writer SAMATE L@mine - Mathématicien Émérite Copy Janvier Writer 214 SAMATE L@mine - Mathématicien Émérite Avril 214 termes de la série pour laquelle au moins un quart (25%) des données sont inférieures ou égales à q. -On appelle troisième quartile de la série la plus petite valeur q des termes de la série pour laquelle au mois trois quarts (75%) des données sont inférieures ou égales à q. -On appelle intervalle interquartile l intervalle [q ; q ] -On appelle écart interquartile le nombre q q Évaluation 4 Soit la série représentant les notes de devoir de Maths d une classe de SES: 11,11, 11, 12, 12, 13, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 19,19, 2, 2. a) Calculer le 1 er et le 3 ème quartile de la série b) Donner l intervalle interquartile c) En déduire écart interquartile. 5) Déciles a) Approche 6 en groupe de travail Soit la série : 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9,,, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 13,14, 14, 15, 15, 17, à 27 termes. a) Trouver le ème % terme d de cette série b) Trouver le 9 ème % terme d de cette série Synthèse partielle 5 Le terme d est le 1 er décile et le nombre d est le 9 ème décile de cette série. Synthèse générale 6 -On appelle 1 er décile de la série, la plus petite valeur d des termes de la série pour laquelle au moins un dixième (%) des données sont inférieures ou égale à d. -On appelle neuvième décile de la série la plus petite valeur d des termes de la série pour laquelle au moins neuf dixièmes (9%) des données sont inférieures ou égaleà d. -On appelle intervalle inter décile l intervalle [d ; d ] On appelle écart inter décile l amplitude de l intervalle [d ; d ] c'est-à-dire le nombre d d. Évaluation 5 Soit la série de poids de 3 enfants: 3,3,3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9,,, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 13,14, 14, 15, 15, 17. a) Trouver le 1 er et le 9 ème décile de la série statistique. Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 26

4 b) Trouver l intervalle inter décile. c) Quelle est l écart inter décile? Séquence 3 : Représentation graphique Voir cours de Statistique 11 ème SES Séquence 4 : Série statistique double ou série à double variable (2 heures) Synthèse générale 7 1. On nomme série statistique double (ou série statistique à double entrée), toute série dont les valeurs sont données par les couples de réels (x ; y). Cette série est représentée graphiquement dans un repère par les points de coordonnées (x, y). Les caractères sont désignés par X et Y. Les valeurs du caractère X sont x 1, x 2, x 3, x p et celles du caractère Y sont y 1, y 2, y 3, y p. 2.Notation L effectif relatif à la valeur x i de X et à la valeur y j de Y se note n ij. La série statistique double de caractère X, Y est p q notée (x i, y i, n ij ). L effectif total est noté N = n ij j=1 Présentations d une série statistique double par un tableau à double entrée Dans une classe de terminale SH au lycée MGR de Sikasso, une étude statistique portant sur élèves a donné le résultat suivant : On a relève l âge (en ans) et la taille (en centimètre) de élèves. i=1 y j n j Reconstitution de deux séries statistique marginales On désigne par X et Y les ensembles suivants : X = {17, 18, 19, 2, 21, 22} et Y = {15, 16, 165, 17, 175, 18 } À chaque couple (x i, y j ) de l ensemble XxY (produit cartésien), on associe le nombre d élève ayant l âge x i et la taille y j. On note n ij ce nombre. n ij est l effectif de la modalité (x i, y j ) de la série statistique à deux caractères. On a la représentation suivante de la série statistique à double entrée. y j x i Total Total Les effectifs en marge c'est-à-dire pour la série statistique (x i, n i ) (pour le total des lignes du tableau) et (y j, n j ) (pour le total des colonnes du tableau) se nomment séries statistiques marginales de la série statistique double (x i, y j, n ij ) Représentation du nuage de points associé d une série statistique double a) Nuage de points Âge (X) Taille (Y) Organisation de données statistiques On peut ranger ces données en deux séries statistiques à un caractère (x i, n i ) et (y j, n j ) telles que : Pour les âges x i n j Pour les tailles On appelle nuage de points associé à la série statistique à deux caractères quantitatifs (x i, y j, n ij ), l ensemble des points M ij de coordonnées (x i, y j ) d une série à deux variables dans un repère orthogonal. b) Représentation On distingue deux types de représentation lorsque l effectif des modalités (x i, y j ) ne sont pas égaux. 1 er type La représentation de points pondérés dans laquelle, on indique près de chaque point M ij l effectif n ij. 2 ème type La représentation par tâches dans laquelle chaque points M ij est remplacé par un disque dont la surface (aire) est proportionnelle à n ij. Désignons par R le rayon du disque du couple de point de Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 27

5 coordonnées à effectif maximum E, l aire de ce disque est proportionnelle à l effectif du couple. Alors le rayon r du disque centré au point dont le couple de coordonnées à l effectif e est tel que : π r2 4 = e π R2 E r2 = e E R2 r = R e E 4 Exemple pratique 1 Soit la série de série représentant l âge et la taille de élèves de la TSS6. On représente le nuage de points des élèves (âge et taille) ainsi : 1 er type On désigne par R =,5 cm le rayon du disque du couple de point à effectif E = 6 (maximum). On chercher le rayon r du couple de point à effectif e tel que r = R e E, soit r =,5. e 6 On a le tableau de valeurs suivant e(effectifs) R,2,28,35,4,45,5 On a la représentation suivante : ème type Exemple pratique 2 Représentons par tâches la série statistique double suivant : X Y Détermination du point moyen d une série statistique Étant donnée une série statistique double (x i, y j, n ij ). On nomme point moyen du nuage de point représentant cette série statistique, le point de coordonnées (x, y ) où x et y sont les moyennes des séries marginales (x i, ni) et (y j, nj). On a : x = 1 n n ij i=1 x i n i et y = 1 Exemple pratique 3 n n j=1 ij y j n j Dans la série statistique de l âge et de la taille des élèves de la classe de TSS, on avait : x i n i et y j n j Les moyennes des séries marginales sont : x = 1 n ij i=1 x i n i avec n ij = soit x = 1 (17x1 + 18x2 + 19x3 + 2x2 + 21x1 + 22x1) Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 28

6 x = 19,3 et y = 1 y n j n j ij j=1 y = 1 (15x2 + 16x x1 + 17x x3 + 18x1) y = 167. Alors le point moyen du nuage associé à cette série est le P(x, y ) soit P(19,3 ; 167) On pourra représenter ce point sur le repère orthogonal. Décision d ajustement d une série statistique à 2 caractères Soit une statistique telle que l effectif de chacune des modalités est égal à 1 et on note une telle série (x i, y i ) pour 1 i N avec N l effectif total de la série. La construction du nuage de point associé à la série statistique double peut prendre les allures suivantes : allongées, curvilignes ou très dispersées. 1 er cas Cette forme se rapproche d une droite d équation réduite y = ax + b ( a ) 2 ème cas Cette forme se rapproche d une parabole d équation y = ax² + bx + c ( a ) 3 ème cas Copy Writer SAMATE L@mine - Mathématicien Émérite Février 213 Cette forme ne se rapproche ni du graphique d une droite, ni du graphique d une parabole. L ajustement consiste à déterminer une courbe (ou graphique) simple passant le plus près possible des points du nuage. Si la courbe obtenue est une droite, on dit que l ajustement est linéaire ou affine. On s intéresse à l ajustement linaire. Ajustement affine ou linéaire Considérons la représentation du nuage de point d une série statistique double. Soient (D) la droite d équation réduite y = ax + b et P i (x i, y i ) des points de (D) avec i {1, N} La distance des points P i aux points M i est M i P i. Alors la somme des carrées de ces distances est : N (M i P i ) 2 N = (y i (ax i + b))² i=1 i=1 Soit P le point moyen de coordonnées x et y On a : y = ax + b alors b = y ax. Par suite a = 1 N N N i=1 j=1 n ijx i y j x y 1 N N = α i=1 n ijx i ² x ² β Le réel α se nomme covariance de x et y et on note Cov(x, y) et le réel β se nomme variance de x et se note Var(x) ou V(x) On a ainsi N N i=1 j=1 et Cov(x, y) = 1 N n ijx i y j x y Var(x) = 1 N n N i=1 ijx i ² x ² de même Var(y) = 1 N M 1 N j=1 P 1 n ijy j ² y ² La droite de régression de y en x passe par le point moyen du nuage associé à la série et a pour équation : y = Cov(x,y) (x x ) + y Var(x) P 2 M 2 M 3 P 3 P 4 M 4 (D) Le réel Cov(x,y) Var(x) s appelle coefficient directeur de la droite. Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 29

7 De même la droite de régression de x en y passe par le point moyen et a pour équation x = Cov(x,y) (y y ) + x. Var(y) Ces deux méthodes se nomment méthodes des moindres carrées ordinaires. Exemple pratique 4 Le relevé suivant fournit les notes de élèves de la SHT6 au lycée Monseigneur dans les devoirs de Maths et d Anglais Maths(x) Anglais(y) Cette série étant ajustable par ajustement linéaire. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x Méthode L équation de la droite de régression est y = Cov(x,y) (x x ) + y Var(x) On a le tableau suivant : x i y j x i y j x i ² On sait que cov(x, y) = 1 N x iy j x y et Var(x) = 1 N x i² x ² on a le pont moyen P(x, y ) tel que x = 3+5+2x6+2x9+2x12+2x14 x = 9 y = 5+2x8+2x+2x13+2x y = 11,6 d où cov(x, y) = ,6 cov(x, y) = 13,6 Var(x) = 948 9² = 13,8 par suite l équation de la droite de 2 régression de y en x est (D) : y = 13,6 (x 9) + 11,6 13,8 On pourra tracer cette droite dans le repère. Ajustement linéaire classique par la méthode de Mayer Évaluation 7 Une étude statistique portant sur un cireur donnant le chiffre d affaire réalisé au cours des 6 derniers mois en fonction du nombre de chaussures cirées. Nombre de chaussures (x i ) Chiffre d affaire mensuel (y j ) (F CFA) ) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique. On partage le nuage de points en deux groupes de même effectifs suivant les valeurs croissantes de x i 2) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de cette série. 3) Calculer les coordonnées des points G 1 et G 2 ( respectivement points moyens des nuages partiels obtenus) 4) Tracer la droite (G 1 G 2 ) 5) Déterminer une équation de la droite de régression de y et x. 6) Vérifier que G appartient à (G 1 G 2 ) 7) Si le cireur a ciré 5 chaussures au 7 ème mois, trouver le chiffre d affaire du cireur au 7 ème mois. 8) Trouver le nombre de chaussures cirées s il gagne F CFA au 8 ème mois. Histoire des mathématiciens Mayer Johann Tobias Mayer Johann Tobias Mayer ( ) était un physicien allemand. Il a été principalement connu pour ses manuels de mathématiques et de sciences naturelles. Après avoir été diplômé en 1773, Mayer a travaillé comme chargé de cours en Mathématiques et en Astronomie. Le 17 Novembre 1779, il fut appelé à l Université d Altdorf où il a travaillé de 178 à Plus tard il a enseigné les Mathématiques et la Physique à l Université de Friedrich Alexander. Mention légale Mathematikos 213/214 (D) : y =,986x + 2,73 Polycopié de cours Chapitre 5 : Statistique 12 ème SS4 /12 ème SS6 LMMS Page 3