Commande de systèmes avec retard incertain

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1 Commande de systèmes avec retard incertain Delphine BRESCH-PIETRI, Nicolas PETIT* Centre Automatique et Systèmes MINES ParisTech Groupe de Travail Contrôle Laboratoire Jacques-Louis Lions 6/2/2012

2 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

3 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

4 Exemple 1, la douche T moy = u 1T 1 + u 2 (t)t t 2, T out = T moy (t D(t)), V p = (u 1 + u 2 (s))ds u 1 + u 2 (t) t D(t) Souhait : atteindre une temperature désirée pour le bain, sans dépassement ni oscillations, et vite. 1 état, 1 commande, 1 retard variable, 1 mesure

5 Résultats : la douche

6 Example 2 : les mélanges en raffinerie Douches multiples et en cascade : mesures et actions sont à des endroits différents

7 Example 3 : une colonne à distiller binaire

8 Exemple 4, l hélicoptère Suivi de terrain

9 Problème général de la compensation d un retard avec X R n, U scalaire et D > 0 constant. Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) (A,B) commandable, K R 1 n A + BK Hurwitz.

10 Problème général de la compensation d un retard avec X R n, U scalaire et D > 0 constant. Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) (A,B) commandable, K R 1 n A + BK Hurwitz. Prédicteur de Smith (1959) [ t ] U(t) =KX P (t + D) = K e AD X(t) + e A(t s) BU(s)ds t D

11 Problème général de la compensation d un retard avec X R n, U scalaire et D > 0 constant. Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) (A,B) commandable, K R 1 n A + BK Hurwitz. Prédicteur de Smith (1959) [ t ] U(t) =KX P (t + D) = K e AD X(t) + e A(t s) BU(s)ds t D Réduction de Artstein (1982) changement de variables z(t) = x(t) + t t D ea(t D s) BU(s)ds représentation sans retard (commandable) ramène à une ż(t) =Az(t) + e AD Bu(t)

12 Problème général de la compensation d un retard avec X R n, U scalaire et D > 0 constant. Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) (A,B) commandable, K R 1 n A + BK Hurwitz. Prédicteur de Smith (1959) U(t) =KX P (t + D) = K [ e AD X(t) + Loi de feedback explicite stabilisante, mais : quelle est la robustesse à une incertitude sur le retard? quelle est la robustesse à une incertitude de modèle? peut-on rejeter des perturbations? peut-on travailler en retour de sortie? t e A(t s) BU(s)ds t D ]

13 Le principe de la prédiction Ẋ(t) = AX(t) + BU(t D) avec X R n, U entrée scalaire, D > 0 retard constant et commandable. Prédicteur de Smith U(t) =KX P (t + D) où X P est une prédiction de l état du système au temps t + D (dont on peut obtenir une forme explicite). Ẋ(t) = AX(t) + BKX P (t) = (A + BK )X(t) CV exponentielle

14 Le problème du retard variable Ẋ(t) = AX(t) + BU(t D(t)) avec X R n, U entrée scalaire, D(t) [D, D] retard variable. U(t) = KX P (t + D(t)) donne Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D(t)) =AX(t) + BKX P (t D(t) + D(t D(t)) ) }{{} t a priori Le contrôle par prédiction U(t) = KX P (t + D(t)) n assure pas la compensation exacte du retard.

15 Soit φ 1 (t) = t D(t), X(t) =AX(t) + BU(φ 1 (t)) stabilisable par U(t) = KX(φ(t)). Mais... φ à l instant t, la connaissance de φ 1 (t) (et même de son historique) n implique pas celle de φ(t) φ 1 t Comment réaliser U(t) = KX(φ(t))? Il faut anticiper (prédire) les évolutions futures du retard, le système est ainsi implicite : la prédiction dépend de décisions qu on a pas encore prises.

16 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

17 Commande robuste par backstepping et EDP Robustesse au retard introduction d une représentation linéaire l impact du retard Représentation comme un système EDO+EDP (Krstic, Krstic-et-al 2008) Ẋ(t) = AX(t) + Bu(0, t) Du t (x,t) = u x (x,t) u(1, t) = U(t) file d attente (état distribué) u(x,t) = U(t + D(x 1)), avec x [0;1]. U(t) u(1, t) x e U(t D) sd Ẋ = AX + BU(t D) u(0, t) direction de convection X(t) 1 0 Prédiction : X P (t + D) = e AD X(t) + D 1 0 ead(1 x) Bu(x,t)dx

18 Commande robuste par backstepping et EDP Rappel Pour les EDO, quand on a un système en cascade (commandable), on peut le rendre exponentiellement stable en lui assignant une dynamique cible. Ex : } { ẋ 1 = x1 2 + x 2 ẋ1 = x 1 + dc exp.stable ẋ 2 = u ḋc = dc Changement de variable (x 1,dc = x 1 + x x 2) et bouclage u = 2x 2 1 2x 2 x 1 2x 1 x 2 2x 3 1 Ici, on a aussi un système en cascade : EDP vers EDO Ẋ(t) = AX(t) + Bu(0, t) Du t (x,t) = u x (x,t) u(1, t) = U(t) On lui donne la dynamique cible Ẋ(t) = (A + BK )X(t) + Bw(0,t) Dw t (x,t) = w x (x,t) w(1, t) = 0 qui est asymptotiquement stable.

19 Changement de variable (X,u) (X,w) à rechercher sous la forme w(x,t) = u(x,t) x 0 q(x,y)u(y,t)dy γ(x) T X(t) Solution w(x,t) = u(x,t) KX P (t + xd) Bouclage w(x,t) =u(x,t) K =u(x,t) c est le prédicteur de Smith. [ t+xd e AxD X(t) + e A(t+xD s) BU(s D)ds t x DKe AD(x y) B U(t + D(y 1)) 0 } {{ } =q(x,y) } {{ } =u(y,t) ] dy Ke ADx }{{} =γ(x) T X(t) U(t) = u(1,t) = w(1,t) + KX P (t + D) = KX P (t + D)

20 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q

21 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0

22 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0 1 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t) w(x, t)dx 0 }{{} w x (x,t)

23 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0 1 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t) w(x, t)dx 0 }{{} w x (x,t) IPP = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + b [ (1 + x)w(x,t) 2] 1 0 b w(t) 2

24 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0 1 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t) w(x, t)dx 0 }{{} w x (x,t) IPP = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + [ b (1 + x)w(x,t) 2] 1 0 b w(t) 2 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) bw(0,t) 2 b w(t) 2

25 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0 1 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t) w(x, t)dx 0 }{{} w x (x,t) IPP = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + [ b (1 + x)w(x,t) 2] 1 0 b w(t) 2 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) bw(0,t) 2 b w(t) 2 λ min(q) X(t) 2 b 2 2 w(0,t)2 b w(t) 2

26 Preuve de stabilité (à réutiliser dans un cas plus compliqué) Fonction de Lyapounov du système cible 1 V(t) =X(t) T PX(t) + bd (1 + x)w(x,t) 2 dx 0 P solution d une équation de Lyapounov (A + BK ) P + P(A + BK ) = Q 1 V(t) = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t)w(x,t)dx 0 1 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + 2b (1 + x)dw t (x,t) w(x, t)dx 0 }{{} w x (x,t) IPP = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) + [ b (1 + x)w(x,t) 2] 1 0 b w(t) 2 = X(t) T QX(t) + 2X(t) T PBw(0,t) bw(0,t) 2 b w(t) 2 λ min(q) X(t) 2 b 2 2 w(0,t)2 b w(t) 2 ηv(t) (1) stabilité asymptotique de X et w(., t)

27 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

28 Comment traiter un retard incertain? On ne connaît que ˆD(t) estimation du vrai retard D. (éventuellement ˆD(t) = ˆD constant) Le bouclage réalisable est U(t) = KX P (t + ˆD(t)) KXP (t + D). Question Quel est l impact sur la stabilité de cette erreur dans le bouclage? Étude avec un nouveau changement de variables ŵ(x,t) = û(x,t) KX P (t + x ˆD(t)) û(x,t) = U(t + ˆD(x 1)) qui satisfait ˆD(t)û t (x,t) = û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t)

29 Calcul des équations d erreur : EDP et EDO û(x,t) = U(t + ˆD(x 1)) satisfait ˆD(t)u t (x,t) = û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t) EDP d où ŵ = û KX P (t + x ˆD) ŵ t = û t ( ) K AX(t + ˆD) ( + Bu(t + ˆD D) 1 + x ˆD ) ŵ x = û x ( ) K AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ˆD ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = u(1,t) = KX P (t + ˆD) = 0

30 Équation d erreur (suite) EDP ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = 0

31 Équation d erreur (suite) EDP ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = 0 EDO Ẋ(t) =AX(t) + Bu(0,t)

32 Équation d erreur (suite) EDP ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = 0 EDO Ẋ(t) =AX(t) + Bu(0,t) =AX(t) + Bû(0,t) + B (u(0,t) û(0,t))

33 Équation d erreur (suite) EDP ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = 0 EDO Ẋ(t) =AX(t) + Bu(0,t) =AX(t) + Bû(0,t) + B (u(0,t) û(0,t)) =AX(t) + BKX(t ˆD(t) + ˆD(t ˆD(t))) + B (u(0,t) û(0,t))

34 Équation d erreur (suite) EDP ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx K ( AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) ) x ˆD) ŵ(1,t) = 0 EDO Ẋ(t) =AX(t) + Bu(0,t) =AX(t) + Bû(0,t) + B (u(0,t) û(0,t)) =AX(t) + BKX(t ˆD(t) + ˆD(t ˆD(t))) + B (u(0,t) û(0,t)) =(A + BK )X(t)+ ˆD(c)ˆD(t)BK Ẋ(d) + B (u(0,t) û(0,t))

35 Conclusion sur l impact de l erreur Dynamique complète EDO+EDP Ẋ(t) = (A + BK )X(t)+ ˆD(c)ˆD(t)BK Ẋ(d) + B (u(0,t) û(0,t)) ˆDŵ t = ŵ x + ˆD ( (x 1)ûx ( ) K AX(t + ˆD) + Bu(t + ˆD D) x ˆD) ŵ(1,t) = 0 On a une dynamique asymptotiquement stable, avec en plus un terme perturbatif en ˆD(t) (choisi) un terme source en ˆD(t) (choisi) un terme perturbatif en u(0, t) û(0, t) (linéaire, petit autour de l équilibre) Solution imposer une contrainte de faible valeur sur ˆD(t) et énoncer un résultat local.

36 Problème général Soit une fonction de transfert retardée d un retard D > 0 incertain, a(s)y (s) = b(s)e Ds U(s) avec pour réalisation {Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) avec Y R p et p n. Y =CX(t)

37 Problème général Soit une fonction de transfert retardée d un retard D > 0 incertain, a(s)y (s) = b(s)e Ds U(s) avec pour réalisation {Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) Y =CX(t) avec Y R p et p n. Réalisation observable (A,C) observable, donc L R n p A + LC Hurwitz.

38 Problème général Soit une fonction de transfert retardée d un retard D > 0 incertain, a(s)y (s) = b(s)e Ds U(s) avec pour réalisation {Ẋ(t) =AX(t) + BU(t D) Y =CX(t) avec Y R p et p n. Réalisation observable (A,C) observable, donc L R n p A + LC Hurwitz. Point d équilibre Pour toute valeur de sortie Y r, il existe un point d équilibre (X r,u r ) tel que { 0 =AX r + BU r Y r =CX r

39 Construction d un observateur-prédicteur Obervateur ˆX(t) =AˆX(t) + Bû(0,t) L(Y (t) C ˆX(t)) ˆD(t)û t (x,t) =û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t) û(1, t) =U(t) Prédicteur-bouclage [ 1 U(t) = U r KX r + K e AˆD(t) (ˆX(t) X r ) + ˆD(t) e AˆD(t)(1 x)b(û(x,t) ] u r )dx 0

40 Résultat général Hypothèse (H) de croissance sur la mise à jour du retard estimé Il existe M > 0 et τ D C 0 ([0,+ [) tels que ˆD(t) =γ D Proj [D, D] {τ D (t)} t 0, τ D (t)(d ˆD(t)) 0 et τd (t) < M

41 Résultat général Hypothèse (H) de croissance sur la mise à jour du retard estimé Il existe M > 0 et τ D C 0 ([0,+ [) tels que ˆD(t) =γ D Proj [D, D] {τ D (t)} t 0, τ D (t)(d ˆD(t)) 0 et τd (t) < M Résultat [Bresh-Pietri, Chauvin, Petit, 11] Soit le système retardé bouclé par l observateur-prédicteur satisfaisant (H). Soit Γ(t) = X(t) X r 2 + ˆX(t) X r 2 + u(t) U r 2 + û(t) U r 2 + û x (t) 2 + (D ˆD(t)) 2 Il existe γ > 0, R > 0 et ρ > 0 tels que, si Γ(0) < ρ et si γ D < γ, alors Y (t) t Y r, t 0 Γ(t) RΓ(0) X(t) ˆX(t) 0 et U(t) U r t t

42 Élements de la preuve transformation de backstepping x ŵ(x,t) =û(x,t) u r ˆD(t)K e AˆD(t)(x y)b[û(y,t) u r ]dy Ke AˆD(t)x (ˆX(t) X r ) 0 Analyse de Lyapunov V(t) = X(t) T P 1 X(t) + ˆX(t) T P 1 ˆX(t) + b1 D 1 0 (1 + x)(u(x,t) û(x,t)) 2 dx b 2 ˆD(t) (1 + x)ŵ(x,t) 2 dx + b 2 ˆD(t) (1 + x)ŵ x (x,t) 2 2 dx + D(t) 0 0 avec X(t) = X(t) ˆX(t) et ˆX(t) = ˆX(t) X r Inégalités de Young sur les équations d erreurs introduites dans V V(t) (η D(t) γd )V 0 (t) D(0) et γd suffisamment petits V(t) µ(t)v0 (t) et donc t 0, V(t) V(0) V et Γ sont équivalentes : av(t) Γ(t) bv(t) t 0, Γ(t) b a Γ(0) conclusion par le lemme de Barbalat

43 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

44 Estimation du retard en temps réel Analyse de sensibilité de la prédiction X(t) t avec ˆX(t, ˆD) =e A(t t 0 ) X(t0 ) + t t 0 e A(t τ) BU(τ ˆD)dτ

45 Estimation du retard en temps réel Analyse de sensibilité de la prédiction X(t 0 ) X(t) t 0 t avec ˆX(t, ˆD) =e A(t t 0 ) X(t0 ) + t t 0 e A(t τ) BU(τ ˆD)dτ

46 Estimation du retard en temps réel Analyse de sensibilité de la prédiction X(t 0 ) X(t) ˆX(t, ˆD) t 0 t avec ˆX(t, ˆD) =e A(t t 0 ) X(t0 ) + t t 0 e A(t τ) BU(τ ˆD)dτ

47 Mise à jour de l estimée soit t 0 telle que X(t 0 ) est connue. Côut à minimiser pour maximiser la vraisemblance : φ : (t, ˆD) [t0 ;+ ] [D, D] YP (t, ˆD) Y (t) 2 avec t Y P (t, ˆD) =C [e A(t t 0) X(t0 ) + Y P ˆD (t, ˆD) = C t t 0 e A(t τ) B du dt (τ ˆD)dτ ] e A(t τ) BU(τ ˆD)dτ t 0

48 Mise à jour de l estimée soit t 0 telle que X(t 0 ) est connue. Côut à minimiser pour maximiser la vraisemblance : φ : (t, ˆD) [t0 ;+ ] [D, D] YP (t, ˆD) Y (t) 2 avec t Y P (t, ˆD) =C [e A(t t 0) X(t0 ) + Y t P (t, ˆD) = C e A(t τ) B du ˆD t 0 dt (τ ˆD)dτ ] e A(t τ) BU(τ ˆD)dτ t 0 Méthode de gradient : τ D (t) = γ D [ YP (t, ˆD) Y (t) ] Y P ˆD (t, ˆD)

49 Plan 1 Introduction : quelques exemples 2 Méthode de backstepping 3 Retard incertain 4 Mise à jour de l estimée du retard 5 Exemples

50 Exemple avec D = 0.5 incertain e 0.5s Y (s) = U(s) (2) (5s 1)(2s + 1)(0.5s + 1)

51 Exemple avec D = 0.5 incertain e 0.5s Y (s) = U(s) (2) (5s 1)(2s + 1)(0.5s + 1) Forme d état : (s 3 2.3s 2 0.5s + 0.2)Y (s) = 0.2U(s) A = , B = C =(1 0 0) avec X(t) = [Y (t) Ẏ (t) Ÿ (t)] T

52 Exemple avec D = 0.5 incertain e 0.5s Y (s) = U(s) (2) (5s 1)(2s + 1)(0.5s + 1) Forme d état : (s 3 2.3s 2 0.5s + 0.2)Y (s) = 0.2U(s) A = , B = C =(1 0 0) avec X(t) = [Y (t) Ẏ (t) Ÿ (t)] T observable, commandable équilibre Y r (X r,u r ) = ([X r 0 0] T,Y r )

53 Controller design Observateur-prédicteur (contient une file d attente modèle) ˆX(t) =AˆX(t) + Bû(0,t) L(Y (t) C ˆX(t)) avec L = [ ] ˆD(t)û t (x,t) =û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t) û(1, t) =U(t)

54 Controller design Observateur-prédicteur (contient une file d attente modèle) ˆX(t) =AˆX(t) + Bû(0,t) L(Y (t) C ˆX(t)) avec L = [ ] ˆD(t)û t (x,t) =û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t) û(1, t) =U(t) Predicteur-bouclage (utilise les valeurs de la file d attente) [ 1 U(t) = U r KX r + K e AˆD(t) (ˆX(t) X r ) + ˆD(t) e AˆD(t)(1 x)b(û(x,t) ] u r )dx 0

55 Controller design Observateur-prédicteur (contient une file d attente modèle) ˆX(t) =AˆX(t) + Bû(0,t) L(Y (t) C ˆX(t)) avec L = [ ] ˆD(t)û t (x,t) =û x (x,t) + ˆD(t)(x 1)ûx (x,t) û(1, t) =U(t) Predicteur-bouclage (utilise les valeurs de la file d attente) [ 1 U(t) = U r KX r + K e AˆD(t) (ˆX(t) X r ) + ˆD(t) e AˆD(t)(1 x)b(û(x,t) ] u r )dx 0 Estimation du retard avec γ D = 10 ˆD(t) =γ D Proj [D, D] {τ D (t)} τ D (t) = γ D [ YP (t, ˆD) Y (t) ] Y P ˆD (t, ˆD)

56 Y(t) Y r U(t) U r Time (s) Time (s) 0.55 hat D (t) D

57 Conclusions Système le plus général Ẋ(t) = A(θ)X(t) + B(θ)U(t D(t)) + d) Y (t) = CX(t) 1 commande, n états, m sorties, D > 0 On sait synthétiser un observateur-prédicteur stabilisant dans les cas suivants incertitude A(θ) = A 0 + p i=1 A iθ i, B(θ) = B 0 + p i=1 B iθ i, θ incertain borné d perturbation inconnue mesure incomplète m < n D variable : dépendant du temps D variable : dépendant de la commande

58 Retour sur le premier exemple La douche [Bresch-Pietri, Chauvin, Petit, 11] Le retard dépend de la commande passée : V = t t D(t) (1 + u(s))ds. Peut-on garantir Ḋ(t) petit? Réponse : oui. S il est initialement petit, et si une condition de petit gain est satisfaite, alors Ḋ(t) reste suffisamment petit grâce à une inégalité d Halanay : {ż(t) + az(t) + bh(t,zt ) = 0, t > t 0 z t0 C 0 ([ D,0]) avec a > b 0 et h(t,z t )) max z t sur un voisinage de l origine alors, localement z(t) max z t0 exp( γ(t t 0 )), γ > 0, t t 0 où z est l état d une relation implicite définissant Ḋ.