Multiplicateurs de Lagrange

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1 Analyse numérique et optimisation TD5 27/05/204 A. Ern et A. de Bouard Groupes 5 & 2 Multiplicateurs de Lagrange Exercice : optimisation quadratique sous contraintes affines On pose V = R n et on considère la fonctionnelle quadratique J : V R telle que, pour tout v V, J(v) := Av v b v, 2 avec une matrice A symétrique définie positive d ordre n et un vecteur b R n. On considère l application F : V R m telle que, pour tout v V, F(v) := Cv d, avec une matrice rectangulaire C d ordre m n et d R m. On suppose que m < n et que la matrice C est de rang maximal. L objet de cet exercice est l étude du problème de minimisation sous contraintes d égalité (cf. Exemple 9..6 du poly) inf J(v), K := {v V; F(v) = 0}. v K. Montrer que J admet un et un seul minimiseur sur K. 2. Montrer que si u est le minimiseur de J sur K, alors il existe un et un seul vecteur λ R m tel que le couple (u,λ) R n R m soit solution du système linéaire [ A C t C 0 où C t désigne la matrice transposée de C. ][ ] u = λ 3. Montrer que la matrice ci-dessus est inversible. [ ] b, d Exercice 2 : inégalité de Poincaré Soit un ouvert borné régulier de R d. On considère l espace de Hilbert V = H 0() et le sousensemble K := {v V; v 2 L 2 () = }. On s intéresse à la minimisation dans K de la fonctionnelle J : V v v 2 L 2 () d R. On sait qu il existe au moins un minimiseur global de J sur K (cf. l exercice 2, TD3). On le notera u.. Montrer l existence et l unicité du multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte u K. 2. Exprimer la constante de Poincaré en fonction de ce multiplicateur de Lagrange.

2 Exercice 3 : corde tendue avec obstacle On considère une corde élastique tendue soumise à des efforts extérieurs et dont le déplacement vertical est contraint par la présence d un obstacle ponctuel. Pour simplifier, on suppose que la corde est de longueur unité et on pose le problème sur = ]0,[. Le déplacement d équilibre de la corde est solution du problème de minimisation sous contrainte avec J(v) = 2 v (x) 2 dx f(x)v(x)dx, inf J(v), () v K K = {v V;v(x 0 ) a}, où V = H0(), f L 2 (), x 0 = 2 et a R. La fonction f représente la densité linéique des efforts extérieurs.. Montrer que le problème () admet une et une seule solution (on la notera u). 2. Écrire la condition d optimalité sous forme variationnelle et donner une interprétation physique du multiplicateur de Lagrange p. Donner également une interprétation physique de la relation des écarts complémentaires. 3. On supppose que f 0 et que a 0. Montrer que la contrainte est active en u. Résoudre explicitement u et p en fonction du paramètre a pour f et x 0 = 2. 2

3 Corrigé Exercice : optimisation quadratique sous contraintes affines. L ensemble K est fermé et non vide (car C est de rang maximal), et la fonctionnelle J est α-convexe sur V (où α est la plus petite valeur propre de A). L existence d un minimiseur sur K résulte du théorème 9..3 et son unicité de l α-convexité de J et de la convexité de K. 2. On applique le théorème La fonctionnelle J est différentiable en u K et on a J (u) v = (Au b) v, v V. Par ailleurs, l ensemble K est déterminé par les m contraintes scalaires F i (v) = 0 où F i (v) est la i-ème composante de F(v) dans la base cartésienne de R m. Les vecteurs F i (v) (de taille n) sont obtenus à partir des lignes de la matrice rectangulaire C et la famille (F i (u)) i m est libre car la matrice C est de rang maximal. Par suite (théorème 0.2.8), il existe un vecteur λ = (λ i ) i m de R m tel que ce qui s écrit encore J (u)+ m λ i F i(u) = 0, i= Au+C t λ = b. De plus, comme u K, on a Cu = d. On en déduit que le couple (u,λ) est solution du système linéaire proposé. Enfin, l unicité de λ résulte du fait que les vecteurs (F i (u)) i m sont linéairement indépendants. 3. Montrons que la matrice du système linéaire est inversible. Il suffit de montrer que son noyau est réduit à zéro. Soit (v,µ) R n R m tel que [ A C t C 0 ][ v µ] = 0. La matrice A étant inversible, on obtient à partir de la première équation v = A C t µ, et en reportant dans la deuxième équation, il vient CA C t µ = 0. En prenant le produit scalaire avec µ, on obtient A (C t µ) (C t µ) = 0. La matrice A étant définie positive, la matrice A l est également et il vient C t µ = 0. Comme Ker(C t ) = {0} (car C est de rang maximal), on déduit µ = 0, d où finalement v = A C t µ = 0. Exercice 2 : inégalité de Poincaré. On est en présence d une contrainte égalité qui s écrit F(v) = v 2 L 2 (). Pour tout w V, on a F (v),w V,V = 2 v(x)w(x)dx. 3

4 Pour appliquer le théorème 0.2.8, il faut vérifier que si u K, alors F (u) 0, ce qui est le cas puisque, en particulier, F (u),u V,V = 2 u 2 L 2 () = 2 0. On peut donc appliquer le théorème qui fournit l existence du multiplicateur de Lagrange λ R associé à la contrainte u K tel que J (u)+λf (u) = 0 ( V ). Cette identité implique l unicité du multiplicateur de Lagrange car F (u) 0 (s il y avait deux multiplicateurs, on obtiendrait (λ λ 2 )F (u) = 0 dans V, d où λ = λ 2 ). 2. L dentité ci-dessus signifie que, pour tout v V, u(x) v(x)dx+λ En appliquant cette identité à v = u, il vient u(x)v(x)dx = 0. λ = u 2 L 2 () d = J(u), car u 2 L 2 () =. Enfin, comme u minimise J sur K, on obtient, pour tout v V, Par suite, pour tout v V, v 2 L 2 () d v 2 L 2 () ( = J v v L2 () ) J(u) = λ. v L 2 () ( λ) /2 v L2 () d. La constante de Poincaré est donc égale à ( λ) /2. Exercice 3 : corde tendue avec obstacle. L ensemble K est non vide (car la fonction v(x) = 4ax( x) appartient à K) et fermé (car, en dimension un, V = H 0() s injecte continûment dans C 0 ()). L ensemble K est clairement convexe. Enfin, la fonctionnelle J est α-convexe sur l espace de Hilbert V. De par le théorème 9.2.6, le problème () admet une et une seule solution. 2. On est en présence d une contrainte inégalité de la forme F(v) 0 avec F(v) = v(x 0 )+a. La fonctionnelle F est différentiable et on a, pour tout w V, F (v),w V,V = w(x 0 ). (laformelinéairef (v)estbiencontinuesurv grâceàl injectioncontinuedev dansc 0 ().) La différentielle F (v) est égale à l opposé de la masse de Dirac au point x 0. La contrainte est qualifiée en tout point v K car affine (on peut aussi constater que F (v),w V,V = 0 pour w = x( x)(x x 0 )). On déduit du théorème l existence d un multiplicateur de Lagrange p 0 tel que J (u)+pf (u) = 0 ( V ), ce qui signifie que, pour tout w H0(), u (x)w (x)dx = 4 f(x)w(x)+pw(x 0 ).

5 Le multiplicateur de Lagrange p s interprète comme la force ponctuelle exercée en x 0 par l obstacle sur la corde. Le fait que p 0 signifie que l obstacle ne peut que repousser la corde. Enfin, on a la relation des écarts complémentaires p(u(x 0 ) a) = 0, qui implique que la réaction exercée par l obstacle est nulle si la corde ne touche pas l obstacle. 3. Si la contrainte n était pas active, on aurait u(x 0 ) > a 0 et p = 0 par la relation des écarts complémentaires, ce qui implique que u (x) = f(x) dans. Comme f 0, le principe du maximum (cf. le théorème ) fournit u 0 dans ; d où la contradiction cherchée. En testant avec w Cc (]0, 2 [) puis avec w C c (] 2,[), on obtient u (x) = f(x) = dans ]0, 2 [ ] 2,0[. (Attention, du fait de la présence de la masse de Dirac au membre de droite, la solution u n est pas dans H 2 ().) En utilisant le fait que u(0) = u() = 0 et u( 2 ) = a, on obtient facilement u ]0, 2 [ = 2x ( 4 (x 2 )+a), u ] 2,[ = 2( x) ( 4 ( 2 x)+a). Enfin, en testant maintenant avec une fonction w telle que w( 2 ) 0, on obtient u ( 2 ) u ( + 2 ) = p, ce qui fournit la réaction exercée par l obstacle, soit p = 4a+ 2. 5