Cours 11 26/03/ Introduction à la mécanique analytique. 9.1 Principe de d Alembert et équation de Lagrange

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1 Cours 11 26/03/ Introduction à la mécaniue analytiue 9.2 Illustrations du formalisme Lagrangien d T U T U 0 9. Introduction à la mécaniue analytiue Introduction Formalisme - La mécaniue analytiue permet d obtenir très rapidement les éuations du mouvement en fonction des forces appliuées - On considère les liaisons entre les différentes parties d un système complexe comme parfaites les forces de liaison ne travaillent pas - On introduit des coordonnées dites «généralisées» car elles peuvent représenter à la fois des déplacements linéaires et angulaires 1 Ennoncé du Principe : Soit un système uelconue composé de n points matériels (repérés par l indice i) soumis à des forces de contraintes ou de liaisons parfaites, Rem: on se limite au cas où les contraintes ne dépendent pas des vitesses liaisons holonômes alors ces forces de contraintes imposent ue le système ait degrés de liberté avec < 3n et 3n le nombre de coordonnées décrivant les n points Les 3n coordonnées ne sont pas indépendantes mais reliées par 3n- éuations On appelle liaisons holonômes des relations entre les points du système de la forme f( i,t) = 0 Le nombre de degrés de liberté d'un système mécaniue avec n éléments est égal à la différence entre le nombre de coordonnées cartésiennes 3n et le nombre de liaisons holonômes m On peut alors définir de nouvelles coordonnées 1,.. décrivant entièrement le système, de sorte ue

2 Exemple 1: Le pendule oscillant dans un plan l Nombre de points matériels? n = 1 Forces de «contraintes» ou liaison holonôme? i) mouvement dans le plan x = 0 ii) Longueur du fil l constante y² + (l-z)² = l² Nombre de degrés de liberté? Nous avons 2 liaisons holônomes imposées par les forces de contraintes, soit d après le principe 3n - 2 = 1 d où = 1 degré de liberté Quelle est la coordonnée généralisée? l angle Exemple 2 z y Liaison (s) holônome (s)? x² + y² + z² - l² = 0 degré de liberté: 3 n 1 = 2 Coordonnées généralisées: x et y ou (y,z) ou (x,z) ( et en coord. sphériues) Exemple 3 Liaison (s) holônomes (s)? Si la particule suit la traectoire d une ellipse dans un plan alors (x/a)² + (y/b)² - 1 = 0 Exemple 3 Liaison (s) holônomes (s) et degré de liberté? 4 masses ui se déplacent verticalement donc une seule coordonnée x et deux liaisons holonômes sur y et z z = 0 degré de liberté: 3 n 2 = 1 2 autres liaisons avec les deux fils car conservation des longueurs Traectoire sur un guide en forme d ellipse Coordonnée généralisée: Ensemble de masses et poulies degré de liberté: 4x3 4x2 2 = 2 Coordonnées généralisées: x 1 et X 1

3 Principe d Alembert Principe d Alembert 1) Dans un premier temps on décompose les forces en Jean le Rond, dit d'alembert (Paris ): Mathématicien et philosophe Célèbre pour sa participation à l'encyclopédie avec Diderot - forces de contraintes F c - forces appliuées F a 2) Puis on considère un déplacement virtuel r du point d application de ces forces Comme les forces de contraintes sont supposées parfaites, elles ne travaillent pas, d où W = F c.r = 0 Nous pouvons simplifier le problème en réduisant le nombre d éuations de n à. Pour cela on exprime la relation précédente en fonction des coordonnées généralisées Expressions de v et r en fonction des coordonnées généralisées: (on passe par les dérivées partielles) Admettre

4 On remplace v et r dans Pour n points matériels les forces généralisées sont Pour le premier terme, nous avons (pour un seul point, n = 1) Et le principe d Alembert s écrit: avec Q r Fa force généralisée associée à la coordonnée u v = (uv) uv où T = 1/2 mv² est l énergie cinétiue pour un point matériel Pour n points matériels, le principe d Alembert s écrit: Admettre avec T n 1 2 2mivi i1 Les par définition ne sont pas nuls donc Finalement éuations

5 Si les forces F a,i sont conservatives alors elles dérivent d un potentiel U(r 1,.,r n ) Pour un point matériel U(x,y,z) avec x,y,z fonction des coordonnées généralisées tel ue d T T Q U Nous avons la propriété U 0 ce ui permet d écrire: d T U T U 0 d L L 0 Euations (au nombre de ) avec L = T U appelé Lagrangien 9.1 éuation Joseph Louis, comte ( ) est un mathématicien italien Résumé 9.1 éuation Pour un système formé de n points, avec degrés de liberté, il existe coordonnées généralisées Nous pouvons alors décrire le système par éuations telle ue d L L 0 Euation pour des forces conservatives L = T U est le Lagrangien U est le potentiel dont dérivent les forces T est l énergie cinétiue T T 1 2 mv² n i1 1 2 pour1point mv pour n points 2 i 20

6 9.2 Illustrations du formalisme Lagrangien Comment traiter un problème avec le formalisme Choix d un système de coordonnées généralisées 1,..., Calculer le Lagrangien L en exprimant T et U en fonction des variables { 1,...,, 1,...,, t} 9.2 Illustrations du formalisme Lagrangien Exemple 1: Mouvement rectiligne d un point matériel n = 1 Forces de contraintes: 2 (y = 0 et z = 0) d où 3n 2 = 1 soit = 1 degré de liberté 1 coordonnée généralisée: x Calcul du Lagrangien: Euation : L = T U d L L 0 x x Impulsion généralisée (ou té de mouvement) Ecrire les éuations pour chaue coordonnée Etudier leurs solutions 21 Et finalement d ( mx ) F 0 mx F On retrouve la 2 nd loi de Newton 22