Exercices grandeur et mesure

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1 Exercice 1 Exercices grandeur et mesure Calculer le périmètre des formes suivantes, L étant la longueur du côté du triangle équilatéral a : Exercice 2 Un enseignant voudrait utiliser le puzzle ci-dessous constitué de la manière suivante, pour explorer le concept d'aire avec ses élèves: - MPRS est un carré de côté dont la longueur est a. - E est le milieu de [MP] - K est le milieu de [SR] - MEFG est un carré et G appartient à [MS). 1) Etude géométrique de la figure: Monter que le point F est le milieu de [MR] Monter que le point G est le milieu de [MSj. c) Donner, en la justifiant, la nature de chacune des pièces et calculer son aire 2) Etude didactique et préparation de l'activité a) Comment un élève de l'école élémentaire ne connaissant pas les formules de calcul d'aires peut-il trouver les relations entre les aires des cinq pièces? b) Les activités de classement et de rangement sont préconisées dans plusieurs manuels, quel en serait l'intérêt dans ce cas?. c) Quels moyens peut utiliser un élève pour comparer deux surfaces selon leur aire? Quel est le moyen utilisé ici? d) L'enseignant pense demander aux élèves de dire quel est, à leur avis, la plus petite et la plus grande de ces cinq pièces. A quel moment serait-il intéressant qu'il pose cette question? Pourquoi? A quel moment pourrait-il poser la question suivante? «Deux pièces de formes différentes peuvent-elles avoir la même aire,» e) Quelles pièces faudrait-il choisir pour fabriquer une surface dont l'aire est la moitié du carré MPRS? Proposer plusieurs solutions? Exercice 3 Un chien est attaché par une chaîne de 9 m fixée à un coin d'un bâtiment en forme de triangle équilatéral dont le côté a pour longueur 6 m. a) Déterminez la zone dans laquelle le chien peut se déplacer. b) calculez le périmètre de cette zone au centième de mètre près. c) calculez l'aire de cette zone au m 2 près.

2 Exercice 4 1) A partir de l'aire du rectangle, déduire les aires des surfaces suivantes: - un triangle rectangle, - un triangle quelconque - un trapèze quelconque, - un parallélogramme, - un losange. 2) Soit un carré dont la mesure de la longueur du côté est a. On augmente cette dernière de 5 %. a) Parmi les trois réponses suivantes: 20 %, 5 %, 10,25 %, quelle est celle qui correspond à l'accroissement du périmètre? b) Parmi les quatre réponses suivantes: : 20 %, 5 %, 10,25 %, 25 %, quelle est celle qui correspond à l'accroissement de l'aire? Exercice 5 Le développement«48 x 16» est utilisé par un cycliste pour monter une côte. a)que signifie «48 x 16»? b)combien de tours effectue une roue à chaque tour de pédale? c) Un cycliste utilise une roue de «700». Que signifie ce renseignement? - Quel est le périmètre de la roue (au dixième de mètre près)? - Quelle est la distance parcourue par le cycliste à chaque tour de pédale (au dixième de mètre près)? Exercice 6 Deux voisins possèdent chacun un terrain dont les aires sont égales.la limite de leurs terrains est alors la ligne brisée ABCDEF. Ils s'accordent alors pour modifier leur terrain sans en modifier l'aire. La limite de leurs terrains devient alors [A'B']. Calculez la distance x entre [CD] et [A'B']. Exercice 7 Tracez un cercle de centre 0 et de rayon r (on prendra r compris entre 5 cm et 8 cm).en utilisant la règle non graduée et le compas, tracez deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD]. Tracez le cercle de centre C et de rayon [CA]. TI coupe [OD] en E. a) Quelle est la nature du triangle ABC? b) Calculez en fonction de r : - l'aire du triangle ABC, - l'aire de la lunule ADBEA

3 Exercice 8 Calculer l aire de la surface hachurée dans chacun des cas suivants (l unité de longueur étant le cm) ; sur la figure D, il manque la mesure de la longueur de la petite base du trapèze :elle vaut 7 Exercice 9 On considère un terrain en forme de parallélogramme ABCD. 1) À partir d'un point P intérieur au parallélogramme, on partage le terrain en deux terrains de forme polygonale PADC et PABC Donnez, en justifiant votre réponse, toutes les positions du point P pour que le partage se fasse à aires égales. 2) À partir d'un point M intérieur au parallélogramme, on partage cette fois le terrain de la façon suivante: une partie PI est formée des triangles AMB et DMC, l'autre, P2, des triangles AMD et BMC Comment choisir M pour que le partage se fasse à aires égales, c'est-à-dire pour que les parties PI et P2 aient même aire? Exercice 10 Quelles fractions de l aire du triangle représentent les aires des régions a,b,c? Exercice 11 Quelle est l aire de la partie hachurée (ABCD est un carré de côté 10 cm)?

4 Exercice 12 : ABC est un triangle isocèle rectangle en B. Le côté [AC] mesure 15 cm. I désigne le milieu du segment [BC] et J celui du segment [BA]. 1) Tracer, en utilisant le quadrillage de la feuille de copie, le segment [AC] puis construire à la règle et au compas le triangle ABC ainsi que les points I et J. Laisser apparents les traits de construction. 2) a) Calculer l aire du triangle ABC. b) En déduire l aire du triangle AIC. Justifier la réponse. 3) On appelle D l intersection des droites (AI) et (CJ). On nomme K le milieu du segment [AC]. a) Montrer que les points B, D et K sont alignés. b) Calculer la longueur du segment [DK]. c) Calculer l aire du triangle ADC. d) Calculer l aire du quadrilatère ABCD. Question complémentaire Cette question s'appuie sur le document proposé en annexe 3, extrait du manuel "Euromaths" CM2 (Hatier). Il s'agit d'un extrait de la leçon 55, en fin de période 3. Les fractions et les nombres décimaux ont été travaillés en période 1. 1) On s'intéresse à la question 1 du document. a) Indiquer et décrire deux procédures que peut utiliser un élève pour répondre correctement à la question 1. b) Un élève ne voit pas que les figures C, D et F ont la même aire. Indiquer une raison possible de cette difficulté. Quelle aide peut lui être apportée? c) Après cette activité, que peut faire noter le maître dans le cahier de leçon concernant deux surfaces de même aire? 2) On s intéresse à la question 3 du document. a) Décrire la procédure qu un élève peut utiliser pour répondre à la question. b) Choisir une autre unité d aire afin que les réponses des élèves à cette question ne fassent appel qu à des nombres entiers. Justifier la réponse. ANNEXE 3 55 Aires des surfaces planes et fractions Découverte Voici le puzzle appelé «tangram». Son aire est B choisie comme unité d'aire u. A G C Reproduis le tangram dans un carré de papier de 8 cm de côté et découpe soigneusement les pièces. 1. Quelles pièces ont la même aire? E F D 2. Quelle fraction de l'aire du carré représente chaque pièce? 3. Quelle est l'aire de chacune des figures dessinées ci-dessous? T V W

5 Questions complémentaires 1) A partir des exercices d'élève ci-dessus, vous répondrez aux questions suivantes : a) Quel est le niveau de classe concerné? b) Quelles compétences sont évaluées? c) Quelle a été la démarche de l'enfant? d) Quels types d'exercices proposeriez-vous pour l'aider? 2) Quel est le périmètre de la figure? Analyser les réponses de quatre élèves à cet exercice : Élève 1 : 26 Élève 2 : 22 Élève 3 : 28 Élève 4 : 40 3) Questions complémentaires Le document B est extrait du manuel "MATH ELEM." CE2 - BELIN. Les documents C, D et E sont extraits du manuel "MATH ELEM." CM1 BELIN de la même collection. Ces différents documents indiquent la progression choisie par les auteurs du manuel dans l'apprentissage du concept d'aire. ANALYSE DU DOCUMENT B. a) En quoi le titre de la fiche «Comparer des surfaces» est-il ambigu? Indiquez plusieurs façons de répondre à la question de l'exercice 1. b) Les élèves n'ont pas besoin du quadrillage pour répondre aux questions des exercices de cette page. Quelle procédure peuvent-ils alors utiliser? c) En quoi l'utilisation du quadrillage à ce stade de l'apprentissage est-elle gênante? ANALYSE DES DOCUMENTS C ET D.

6 a) Quelle distinction pouvez-vous faire entre l'aire d'une surface et sa mesure? b) En vous appuyant sur un exemple, indiquez une erreur pouvant être provoquée chez les élèves par l'association des mots «aire» et «étendue» c) Quels sont les objectifs visés par les auteurs du manuel à travers ces deux documents? d) Vous semble-t-il pertinent, à ce niveau, de faire apprendre et utiliser les formules de l'aire du rectangle et du carré? Justifiez. ANALYSE DU DOCUMENT E. a) Quel est l'objectif visé par les auteurs du manuel à travers ce document? b) Répondez aux questions 1 et 2. PROLONGEMENTS POSSIBLES. Quelles étapes manque-t-il à l'apprentissage du concept d'aire tel qu'il est présenté dans ces documents?

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