p. Commissariat à l'energie Atomique - Fr;.nce

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1 CEA-R L]VOLANT Michel, JEANPIERRE Françoise AUTO PROTECT ION DES RESONANCES DANS LES REACTEURS NUCLEAIRES. APPLICATION AUX ISOTOPES LOURDS Sommaire. - En présence de noyaux dont les sections efficaces de reactions avec les neutrons présentent des résonances, comme les noyaux lourds des isotopes fissiles et fertiles utilises dans les réacteurs nucléaires, le flux neutronique varie très rapidement avec l'énergie. L'objet de ce rapport est de présenter les méthodes employées pour résoudre ce problème, méthodes basées essentiellement sur une séparation des effets "locaux" (en énergie) des résonances, qui créent une structure fine du dux, des effets "globaux" se traduisant par une variation lente de ce même flux. L'élude détaillée el le calcul de la structure fine permettent de définir correctement une intégrale effective, des sections "effectives' 1 et des sections multigroupes autoprotégées qui conservent les taux de réaction et sont utilisées sous forme de tables pour les calculs multigroupes de cellules prenant en compte les effets globaux. Le rapport montre que les sections "effectives" peuvent être calculées en milieu homogène, à condition de définir correctement un paramètre d'équivalence, et présente une méthode originale de calcul de ce paramètre utilisant les probabilités de première collision et l'histogramme de la section totale de l'isotope étudié. De nombreux exemples de tests et d'applica- CEA-R LIVOLANT Michel, JEANPIERRE Françoise RESONANCE SELF-SHIELDING IN NUCLEAR REACTORS. APPLICATION TO HEAVY ISOTOPES Summary. - In reritor cells, neutron cross sections of heavy isotopes have many resonances and the neutron flux varies very rapidly with energy. This report presents the methods used to solve that problem, methods generally based on a separation of the local effects of the resonances which create a fine structure of the flux, and the global effects corresponding to a slow variation. A detailed study and a calculation of the fine structure allows us to define and tabulate effective cross section and self-shielded multigroup cross sections which give correct reaction rates and are used in eel's calculations. The effective cross section can be calculated in an homogeneous medium, if the "équivalence" with the heterogeneous geometry is defir.ed cor rectly. An original calculation method of this equivalence parameter is presented, using the first collision probability and an histogram of the total cross section. Many examples of tests and applications of the above methods to different isotopes and various geometries (rods, clusters, HTR grains)

2 tions des méthodes indiquées ci-dessus à différents isotopes et différentes géométr-ies de cellules (barreaux, grappes, grains) et de réseaux sont présentés. Pour les réseaux à hétérogénéités multiples, type HTR ou eau lourde, des formules approchées de calcul des probabilités de première collision ont été établies et testées p. Commissariat à l'energie Atomique - Fr;.nce arc given. Approximated formulas have been established for the first collision probabilities in multi-cells with multiple heterogeneities. Commissariat à l'energie Atomique - Prance

3 gj 2 COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE CEA-R-4533 E30 AUTOPROTECTION DES RESONANCES DANS LES REACTEURS NUCLEAIRES APPLICATION AUX ISOTOPES LOURDS par Michol Ll VOLANT, Françoise JEANPIERRE DIVISION D'ETUDE ET DE DEVELOPPEMENT DES REACTEURS Centre d'etudes Nucléaires de Saclay Rapport CEA-R La* SERVICE DE DOCUMENTATION C.E.N SACLAY B.P. n' 2, GIF-sur YVETTE - France

4 - Papport CEA-R Centre d'etudes Nucléaires de Saclay Division d'etude et de Développement des Réacteurs Dépanement de Physique des Réacteurs et de Mathématiques Appliquées Service d'etudes de Réacteurs et de Mathématiques Appliquées AUTOPROTECTION DES RESONANCES DANS LES REACTEURS NUCLEAIRES APPLICATION AUX ISOTOPES LOURDS Michel LIVOLANT, Françoise JEANPIERRE (actuellement au Service des Etudes Mécaniques et Thermiques) Février

5 TABLE DES MATIERES - CHAPITRE I - ETUDE THEORIQUE - Notion de structure fine fondamentale et de section effective - Etude de m et cp o 1 - Sections multigroupes - Etude de la section équivalente - Problème de l'équivalence - Mélange d'isotopes résonnants - Un isotope résonnant dans plusieurs zones géométriques " CHAPITRE II - TABULATION DE SECTIONS EFFECTIVES A) Uranium Comparaison des intégrales effectives avec celles de Wims. Température ordinaire. Effets en température 2 - Vérification de la loi linéaire en \' T 3 - Influence de certains paramètres. Autoprotection des ondes p. Largeur d'absorption dans le domaine non résolu. Largeur moyenne d'absorption dans le domaine résolu 4 - Conclusion

6 - 2 - B) Uranium Comparaison avec la tabulation de Wims 2 - Variation des intégrales effectives avec la température 3 - Conclusion - CHAPITRE m - COMPARAISON DES TAUX DE REACTION EXACTS A CEUX OBTENUS A PARTIR DES SECTIONS EFFECTIVES A) Un seul isotope régonnant 1 - Milieu homogène 2 - Milieu hétérogène - Combustible Uranium Milieu hétérogène - Combustible oxyde d'uranium 4 - Conclusion B)Mélange de deux isotopes résonnants C)Un isotope résonnant réparti dans plusieurs zones géométriques Conclusions - CHAPITRE IV - CALCUL DES PROBABILITES DE COLLISION ET DE LA SECTION EQUIVALENTE ASYMPTOTIQUE A) Geometries possédant une hétérogénéité B) Milieu infini de grains 0 Milieu fini de grains D) Plusieurs hétérogénéités - CHAPITRE V - CALCUL D'UN FACTEUR DE BELL A) Principe du calcul de a dans Jezabel B) Calcul d'un facteur de Bell pour l'uranium 238

7 - :i - C) Facteur de Bell de l'uranium 235 D) Conclusion ANNEXE I - Formalisme BIEFF - ANNEXE II - SECOL ANNEXE m - Données JEZABEL ANNEXE ANNEXE IV - Probabilité de collision dans un réseau infini de grains V - Comparaison des deux méthodes de calcul de probabilités de choc.

8 - 4 - CHAPITRE I ETUDE THEORIQUE NOTION DE STRUCTURE FINE FONDAMENTALE ET DE SECTION EFFECTIVE Le premier problème posé par le traitement des sections résonnantes est celui de la séparation des effets locaux des résonances créant une structure fine du flux et des effets globaux se traduisant par une variation moyenne du flux, en général une diminution par absorption lorsque la léthargie croît. Nous allons effectuer cette séparation dans 1 e cas d'une situation physique simple, mais suffisamment représentative pour permettre une extension de la méthode au cas général. Considérons donc le cas d'un réseau uniforme composé de cellules identiques à deux milieux : un milieu "combustible" composé d'un isotope à sections d'absorption et de diffusion résonnantes, un milieu "modérateur" à section totale constante ou lentement variable. Dans l'hypothèse du choc isotrope, et avec l'approximation de flux plat dans chacun des milieux, le flux dans cette cellule peut être calculé par le système suivant :

9 - 5 - v o z o*o - v o p o 0 \ i o + v i v io % i *i (1> V I 4 ' V P *9K. $ + V P % 5 (2} v i i n l oi o o l n -^î 9 i avec les notations suivantes : K } Indice 0 pour le combustibie, 1 pour le modérateur. Section macroscopique totale, Z. section d'absorption. Y.. section de diffusion si V. Volume par cellule et par unité de hauteur du milieu i < {,. Opérateur de ralentissement *i*i / E. (u1 - u) J. (u') du 1 SI 1 u-«! où e. est le gain maximum de léthargie par choc. P.. probabilité pour un neutron né dans le milieu i de subir sa première collision dans le milieu j Relation de réciprocité :. V. P.. - Z. V, P.. Relation de conservation : Z P.. = 1 Cette dernière relation n'est valable bien entendu que dans les systèmes sans fuites. Il s'agit maintenant de définir une structure fine de flux associée à l'isotope résonnant, et indépendante dans la mesure du possible du modérateur.

10 - 6 - comme solution de : Pour cela, on peut définir la fonction de Green tp (u, u ) Z (u) ip (u, u ) >= P 51 cp (u, u ) + (1 - P ) E (u ) 6 (3) o o oo o o oo o o u o où 6 représente r une source d'intensité unité localisée à la léthargie u. u o o En combinant (1) et (3), on obtient (4 f o (u) = / du en (u, u ) f (u ) en posant i- = (4) o o o E, t a une structure fine, mais l'application de l'opérateur R sur # joue le rôle d'un lissage très efficace, car l'intervalle d'intégration e* est d'un ordre de grandeur très supérieur aux largeurs de résonance, et la fonction (u 1 u) est régulière. Par conséquent, la fonction s l t (u) peut être considérée comme une fonction à variation lente, et on peut au premier ordre la représenter dans un intervalle entourant u sous la forme : * (u Q ) = * (u) - (u - U Q) f (u) (5) ( I I (u) n'étant pas une dérivée "locale", mais plutôt une dérivée moyenne dans l'intervalle ). (4) et (5) donnent alors : t> 0 (u) = i r (u) ep o (u) - ' (u) tpj (u) (6) en posant : <f. (u) = 1 <p(u, u ) du (7) J- oo O O l' u cp, (u) = I cp (u, u ) (u - u ) du (8) 1 J o o

11 - 7 - En intégrant l'équation (3) sur (1) et u, on obtient les équations vérifiées par cp (u) et cp. (u) : <p (u) = P % cp + S (1 - P ) o o oo o o o oo (9) 2 cp, (u) = P % cp, (u 1 ) + (u - u') cp (u«) O 1 00 O I O (10) qu'on peut écrire sous la forme (11) TT*o *l " <CT o + 0 e) «>1 + TT *o {< u - u '! <"o ( U '' ] = ( 1 2 ) en posant (u) a (1 - P ) _ o oo f étant une fonction régulière, la forme (8) montre que la structure fine du flux * est prise en compte essentiellement par cp, avec un terme correctif lié à la décroissance moyenne de flux et de structure fine cp,. Par définition on appellera cp le flux fondamental de structure fine pour l'isotope résonnant dans la géométrie considérée. La forme (11) de l'équation de cp montre que cp ne dépend de la géométrie et des autres isotopes en présence que par l'intermédiaire de la fonction

12 - 8 - a appelée section équivalente, et oar suite de la rprobabilité P, ellee ^ oo même fonction uniquement lorsque les sections des autres isotopes sont constantes, et pour une géométrie donnée, de o", section totale mio croscopique de l'isotope résonnant, ETUDE DE ET DE v, *o 1 L'équation de cp sous la forme (11) est une équation de ralentissement en milieu infini avec absorption résonnante et source. On peut lui appliquer les méthodes habituelles de îésolution approximative pour avoir une idée de l'allure de cp (sans préjuger de la façon dont seront faits les calculs définitifs). Entre les résonances : cp = 1 o - En approximation résonance étroite : ( N"^o "o " % > a + a 0 étant la section potentielle de l'isotope 0. p o - En approximation résonance large ( jc cp = o cp ) " N o ^o o <?_ + o - Entre les résonances, et en approximation résonance étroite, on obtient pour cp 1

13 n 5 o o (o ) o ç étant le g&in moyen en léthargie par- choc sur l'isotope 0. Dana les situations usuelles, pour les réacteurs thermiques 238 < 0,01 (U 238 ) = 10 barns <j (a ) > 5 barns e P~ (5 barns correspondent à un barreau de rayon 2 cm 238 pour I'U métallique) Soit cp. < 0,02 cp De plus, le rapport -* (c'est-à-dire sensiblement la pente moyenne relative du flux) est faible, de l'ordre de quelques pour cent au maximum. Le terme correctif de structure fine est par suite toujours négligeable dane ce type de réacteurs ; il y a pratiquement un découplage complet entre la structure fine du flux et sa variation macroscopique. (u) = i< ( i) m (u) Pour 1er» réacteurs rapides, la section équivalente est en général plus élevée, 50 barns), mais le rapport * peut atteindre et même dépasser 1. Dans ces conditions, le terme correctif peut ne pas

14 être complètement négligeable. H faut noter toutefois que pour les corps résonnants lourds, les résonances sont étroites vis-à-vis du ralentissement, et par suite cp est sensiblement proportionnel à cp. Soit # (u) = ( 1 V -) f (u) ce (u) (14) Ce qui correspond à une diminution d'ensemble du niveau de la structure fine lorsque le flux est croissant en moyenne, et une augmentation lorsque le flux est décroissant, sans changement de forme. - Conclusion Pour les isotopes lourds résonnants, le flux fondamental de structure fine cp, solution de l'équation (1*1) est représentatif de la structure fine réelle. Une variation moyenne importante du flux en fonction de îa léthargie peut modifier légèrement le niveau de la structure fine, mais pas la forme. Une étude plus approfondie serait nécessaire avant d'appliquer strictement la même règle aux isotopes résonnants légers dans les réacteurs rapides (Fe, O, Ni, Na ). - Remarque Le flux de structure fine cp peut être considéré comme la o solution du système d'équations (1), (2) lorsque l'isotope 1 est remplacé par un isotope purement absorbant de section d'absorption y, auquel serait associé une source d'intensité.

15 L'intérêt de cette remarque est de permettre de poser une définition générale de la structure fine fondamentale à associer à un isotope donné dans une géométrie donnée, indépendante de la forme particulière de l'équation de Boltzmann utilisée. - Définition Le flux fondamental de structure fine à -ssocier à un isotope résonnant dans une région et pour une situation physique déterminée est le flux que l'on obtiendrait dans cette région si tous les autres isotopes étaient remplacés par des isotopes purement absorbants, de secti' n d'absorption égale à leur section totale, auxquels seraient associés des sources isotropes d'intensité égale à cette même section totale. La situation physique particulière ainsi créée est appelée situation physique fondamentale pour l'isotope considéré. Le flux fondamental de structure fine est variable en fonction de l'espace dans la zone de l'isotope résonnant. L'approximation de flux plat dans cette zone permet de retrouver immédiatement l'équation (11). Cette équation eet donc générale : c'est l'équation de base de toute la théorie des sections effectives. La définition du flux fondamental nécessite en fait quelques règles d'interprétation supplémentaires dans certains cas ; notamment lorsque plusieurs isotopes résonnantssont en présence. Ce cas sera étudié ultérieurement de façon plus approfondie. Le code SECOL a été spécialement mis au point pour calculer la structure fine, sans approximations sur les opérateurs de ralentissement avec deux odtions :

16 OPTION CYLINDRIQUE La seule contrainte imposée est que la géométrie soit cylindrique infinie, l'isotope résonnant pouvant être sous forir.e de barreau, ou de cylindre annulaire avec ou sans modérateur interne, et mélangé ou non ft d'autres isotopes. Le code calcule lui-même ses probabilités de collision. La variation spatiale du flux v prise en compte [l]. OPTION GENERALE peut être Cette option résout l'équation ( 11) ; les probabilités de collision P oo étant fournies en données, en fonction de la section totale de l'isotope résonnant étudié. Temps de calcul : 1 à 2 mn pour ui.e structure fine complète de 0, 5 ev à 50 kev sur IBM Taux de réaction Pour une section quelconque <r (u), le taux de réaction microscopique dans un intervalle de léthargie Tu., u ~j suffisamment petit pour que vc-puisse être considéré comme linéaire dans cet intervalle, est défini par : w 2 a (u) <t> (u) du obtient finalement : En utilisant (6) et ta linéarité de y* dans Tu u "], on U 2 T = ((u) I a (u) v (u) du + i'!u ) I o (u) Ru-u )«(ui -v>an)\ du r o f r o o j r L o ^o 1 J (15)

17 On définit la section effective par "eff u,-u, J o r M^Mdn 2 1 u 1 (16) Cette section effective prend en compte pour la section considérée l'essentiel de l'effet de structure fine. Elle dépend de la situation physique par l'intermédiaire de o (u}. Le premier terme de l'expression de T donne alors le terme principal du taux de réaction sous la forme : = (u "eff &u avec ûu La deuxième partie de l'expression de T permet de distinguer deux termes correctifs en présence d'un gradient moyen de flux : - Un terme de dissymétrie du taux de réaction dans le g- oupe caractérisé par 1 eff (u 2 - Uj ) C 2 I o (u) (u - u ) cp (u) du "1 ^ r o o Ce terme correctif peut être important lorsque l'allure de cp (u) ou de Q (u) varie notablement de u, à u (par exemple lorsque o r 1 2 a (u) a une forte résonance au voisinage de u_ et une forme régulière ailleurs) ceci d'autant plus que l'intervalle de léthargie est grand. On peut en obtenir une borne supérieure très pessimiste en supposant que la densité de réaction est concentrée à une limite, u par exemple. On obtie-it alors : 0 -- M. eff < 2 0 eff

18 En pratique, pour les isotopes lourds, dans les réacteurs rapides, il faut envisager de prendre ce terme en compte lorsque la largeur des groupes utilisés dépasse 0, 5 en léthargie. En toute rigueur, il faudrait alors disposer d'une tabulation de a', f et itérer sur '. On se contente en général de postuler a priori une forme moyenne de flux f qu'on utilise pour redéfinir les sections effectives u eff L U 2 f 2 a (u) cp (u) 'Ji (u) du I t (u) du / o Cette méthode a naturellement le gros inconvénient d'associer la tabulation à un type donné de flux moyen. On supposera dars la suite que les groupes sont suffisamment petits pour que ce terme soit négligeable. - Le deuxième terme correctif est lié à la modification de structure fine. Compte tenu de l'approximation sur cp précédemment étudiée, ce terme conduit à prendre le taux de réaction sous la forme : T r " H - ~ ^ -V-3 (u o )a elti u (17) Nous verrons ultérieurement que ce terme correctif est bien pris en compte par le calcul multigroupe avec ralentissement sur les isotopes résonnants. Les sections effectives sont calculées par le code SECOL.

19 Intégrale effective L'intégrale effective est par définition : X eff = J U th u o a r (u) Tcp (u) du o u o u th étant la léthargie correspondant à l'énergie maximum utile (= 10 MeV), la léthargie correspondant à une coupure thermique déterminée. SECTIONS MULTIGROUPES Le problème se présente comme suit : Etant donné une situation physique déterminée contenant un isotope résonnant, il s'agit de déterminer les sections à utiliser dans un calcul multigroupe de transport à groupes larges devant la largeur moyenne des résonances pour obtenir des taux de réaction et des niveaux moyens de flux corrects. Il arrive fréquemment qu'en plus de la structure fine en énergie il existe une structure fine en espace qui n'est pas facile à prendre en compte au niveau du calcul multigroupe large (grappes dans les réacteurs à eau lourde, grains dans le cas des réacteurs HTR). Il est donc souhaitable que les sections multigroupes ainsi définies permettent d'obtenir des taux de réaction corrects dans une géométrie qui ne correspond pas à la géométrie exacte du problème physique. Par définition, on prend comme sections multigroupes les sections qui permettent de retrouver dans la situation physique fondamentale définie précédamment les mêmes taux de réaction pour l'isotope

20 considéré dans le calcul multigroupe et dans le calcul fin (avec leurs geometries respectives). Avec les mêmes hypothèses que pour le calcul fin : choc isotrope et flux plat dans la zone contenant l'isotope, on obtient alors pour le flux multigroupe "fondamental" le système d'équations multigroupe s : 1 groupe 1 : o cp P»u - j ip + o (<j ) (1 - cp,) = 0 (18) ", s o m - l m e T oi e l ol m = 1 m m La forme du premier terme suppose qu'on a fait l'approximation : = o, a P m - 1 s m -» 1 m P étant la probabilité de transfert du groupe m au groupe 1 sans tenir compte de l'autoprotection. Dans l'équation (18), les inconnues sont les sections g si et a et le flux cp.. Mais par définition, pour que les taux de réactions 1 ol soient les mêmes, on doit avoir : "8 1 "Ol - ( «B > eff 1 < 1 9 ) 1 % = <*eff'l < 2 0 ) où (o ) et (a -,) sont respectivement les sections effectives de 8 eff 1 e f f 2 diffusion et totales calculées en structure fine.

21 L'expression de cp devient alors E P, <". > -,- ( e«) 1.. m - 1 eff m m->l cp o e (oj) ou encore v 1 - (o a > eff 1 % (o l> o e (aj) [ (o eff _, s _ m-h m n = 1 eff m (21) Cette forme met en évidence l'importance de la Gection effective d'absorption o, le terme entre crochets lié au ralentissea eff ment étant en général très faibls devant a & (Négliger ce terme équivaut à faire l'hypothèse "résonance large" pour la résolution de l'équation 18). Le système des équations (20) et (21) permet de calculer tp (résolution Dn par itération) et par suite d'obtenir les sections multi- groupes cherchées par : (a a ' eff 1 ( o s eff ' 1 et de même pour les autres types de sections efficaces.

22 Justification Dans le cas simple à deux zones étudié initialement, on peut montrer que les sections efficaces multigroupes obtenues fournissent dos taux de réaction corrects même en présence d'un gradient de flux moyen important, car le terme correctif de structure fine dû au ralentissement est correctement pris en compte par le calcul multigroupe. - Remarque Une méthode couramment utilisée dans les réacteur rapides consiste à définir directement les sections multigroupes à partir du calcul fin par une relation du type : 1 < 0 ^1» f, ) du ta 1 *o {u Cette méthode est plus facile à mettre en oeuvre au niveau du calcul utilisateur, puisqu'elle permet d'obtenir directement par interpolation dans une table les sections multigroupes. Mais elle ne respecte pas rigoureusement les taux de réaction. L'erreur commise est en général assez faible (~ 1 %.) lorsque la géométrie du calcul multigroupe est la même que la géométrie du calcul fin qui a fo irni la tabulation, et que les groupes sont larges vis-à-vis des résonances. Elle peut devenir importante lorsqu'on utilise une méthode d'équivalence avec des valeurs usuelles pour le facteur de Bell surtout lorsque les résonances ne sont pas étroites vis-à-vis des groupes. Par ailleurs, cette méthode ne permet pas simplement d'obtenir les bonnes sections multigroupes lorsque la géométrie du calcul multigroupe est différente de la géométrie réelle.

23 ETUDE DE LA SECTION EQUIVALENTE l'expression 1A section équivalente est définie de façon générale par (1 - P oo )»e ««o 1 Cas homogène : l'isotope résonnant de section totale a est mélangé à un ou plusieurs isotopes non résonnants de section totale E Z soit : o e N (N : nombre de noyaux de l'isotope résonnant). homogène. La section équivalente est donc constante dans un milieu Cas hétérogène : La section équivalente dépend de la géométrie particulière du cas considéré. Dans la plupart des cas usuels, elle a sensiblement l'allure suivante : o (o) Le rapport est de 16 pour une sphère isolée, de 1, 5 pour un cylindre isolé. L'ensemble de la courbe se rapproche de l'asymptote lorsque le caractère hétérogène de la géométrie diminue (grappes, grains, efwt de barreaux voisins).

24 / I La section équivalente infini'/ s'exprime simplement dans le cas d'un réseau de barreaux ou de sphères identiques, par exemple, en fonction de grandeurs classiques, telles que la corde moyenne et le facteur Dancoff (1 - c) N 1 (Rappel T = - ) - Remarque L'approximation rationnelle de P sous la forme : P = conduit à une section équivalente constante : Q = " I e N 1 PROBLEME DE L'EQUIVALENCE La variation de a avec o dans le cas hétérogène fait e o qu'il est impossible de trouver une géométrie homogène strictement équivalente à une géométrie hétérogène donnée. Or, si on ne veut pas avoir à multiplier les tabulations en fonction de la géométrie, il est souhaitable de disposer d'une règle permettant d'utiliser dans tous les cas une tabulation de référence, par exemple la tabulation correspondant au cas homogène, en fonction du paramètre a En général, on définit la section équivalente homogène vraie g correspondant à une géométrie hétérogène donnée ( caractérisée en particulier par la valeur de c e façon à obtenir la même intégrale effective dans les deux cas. Cette méthode est très justifiée dans les réacteurs thermiques, où le respect de l'intégrale effective est la condition nécessaire et pratiquement suffisante pour obtenir un facteur antitrappe correct. On peut l'appliquer aussi aux réacteurs rapides, en limitant l'intégrale effective au domaine utile de léthargie, ou mieux, en pondérant les taux de réaction dans ) de

25 chaque zone de léthargie par un flux moyen semblable au flux du réacteur. Le résultat de cet ajustement, qui doit se faire au niveau du calcul de structure fine est généralement présenté sous la forme d'un paramètre sans dimension, le facteur de Bell. Pour définir le facteur de Bell de façon suffisamment générale, on utilise la situation suivante : - L'isotope résonnant findice 0, concentration N ) est intimement mélangé à d'autres isotopes de section totale F dans un milieu physique d'indice 1. D'autres isotopes composent un milieu physique 2 géométriquement séparé du milieu 1 et de section totale. On démontre dans ce cas que l'on a : "e 1 E 2> ^ ^ e C ^ o ^ r ^»] <a o - r " étant la section équivalente du milieu 2 pour l'ensemble du milieu 1. Cette forme conduit naturellement à poser : *v = kb + a F eg_ ( V Cette expression définit le facteur de Bell a, et permet de le déterminer à partir de o En pratique, la détermination ne peut e v se faire simplement que pour. et E 9 constants sur l'intervalle de léthargie délimitant l'intégrale effective utilisé», comme critère d'ajustement. Rappelons qu'il suffit dans ce cas pour obtenir a de e v résoudre J H < e > = '

26 I étant l'intégrale de résonance dans la géométrie réelle, et I l'intégrale de résonance calculée en homogène, fonction du paramètre 0 On peut ainsi obtenir pour un isotope résonnant dans une géométrie donnée, une tabulation du facteur de Bell en fonction de TT" e t d e eg " Une méthode très rapide de détermination approchée du facteur de Bell dans une géométrie quelconque, utilisant l'histogramme des sections totales et d'absorption de l'isotope étudié, a été mise au point et est programmée dans le code jezabel (cf. Chapitre V). M ELANGES D'ISOTOPES RESONNANTS En toute rigueur, la méthode exposée dans la première partie est eu défaut lorsque plusieurs isotopes résonnants sont en présence. En effet, si dans le système simple de départ la section E est Ri *i résonnante, le terme présente une structure fine et lt sépara- E l tion structure fine contenue dans cp et variation lente représentée par a *i t = n'est plus possible. l E En fait, on peut distinguer deux types d'effets dans l'action d'un isotope résonnant (indice 1) sur un autre (indice 0). - Un effet global, sans interaction de structure fine, qu'on peut déterminer approximativement en remplaçant dans chaque groupe les sections résonnantes de l'isotope 1 par ses sections moyennes autoprotégées dans le groupe.

27 Un effet fin d'interaction de structure fine. La prise en compte rigoureuse d'un tel effet nécessite l'utilisation d'une tabulation composée, fonction de ia proportion relative des deux isotopes. On peut toutefois faire deux remarques : Au-dessus de quelques centaines d'électrons-volts, on n'a plus qu'une connaissance statstique de la structure résonnante d'isotopes tels que U et Pu ; en particulier, l'énergie exacte des résonances est inconnue : il est par conséquent impossible de calculer sûrement l'effet de l'interaction de structure fine de ces isotopes avec 238 l'u ou entre eux. Une étude faite à Cadarache [ 2 ] en déplaçant deux échantillons tirés au hasard l'un par rapport à l'autre, a montré que l'effet moyen d'interaction était assez bien pris en compte dans ce cas par la section moyenne autoprotégée. Cette remarque règle pratiquement le cas des réacteurs rapides. - A basse énergie, les résonances sont plus larges (en léthargie). Par conséquent, un calcul multigroupe avec un maillage assez fin (~ 0, 1 en léthargie) reproduit à peu près la forme des résonances 2*38 basses de l'u, de telle sorte que l'interaction qui n'a pas été faite sur la structure fine se fait approximativement au niveau du calcul multigroupe. UN ISOTOPE KSSONNANT DANS PLUSIEURS ZONES GEOMETRIQUES milieu combustible. Prenons le cas simplifié où il n'y a qu'un isotope dans chaque Les équations fondamentales de structure fine s'écrivent :

28 i =!, N ïv Z. :p. = y. P.. n cr. + 2? V. P.. E. (22) 3 " " où N est le nombre de zones combustibles et L le nombre de zones modératrices. Le système (22) peut s'écrire I i = l. N V. t, cp. =., V. P.. -r *- R cp. + E. V.. ~ P.. L i oi 'oi j = l,n '. i] F Q i o oj oi i ] = 1,L IJ t. - -Ç N P. -zp- Rcf. = r. c p. + I. [ l - P.. J (23) I j = l,n IJ I. o oj oioi oi " 3 = 1,N ' J 1, N Soit l'hypothèse R ce. R tp. o oj E. _ o oi E. oj oi Cette hypothèse est vérifiée dans l'approximation résonance étroite. Le système (23) s'écrit : p IR -i.. V.. P.. - Z ce. + E. (1 - i = i > N L oi J = l.n ij oi oi oi. = ^ N i.) = 0 Si l'on définit P. par îc P. = i d P.. 1 C j = l,n 'J

29 RH).-(E.+r.)tp. +. = 0 i = 1,N ei oi ei (1-P ) ^ = ISei oi P. ic Dans le calcul de la section équivalente il faut considérer pour un neutron né dans la zone combustible i, les chocs sur l'isotope résonnant dans toutes les zones combustibles. On peut définir dans chaque zone combustible des sections effectives : soit pour l'absorption dans un groupe 1. a.- I a. (u) tp. (u) du U "l " u l - 1 ' 0 1 / "l-l - Sections multigroupes La même hypothèse que précédemment, soit en multigroupe : 1 1 a s tp P m, Lu E a. tp. P, Au - i ; i _ *! - i si J m 01 m».l m m = 1 i m,m m = 1 'm ^ permet d'obtenir une formule identique à celle du cas à jn isotope, avec P. remplaçant P dans la définition de. pour la zone i. îc " oo e i On peut noter toutefois que cette hypothèse n'est pas très justifiée pour la détermination des sections multigroupes. Une ineilleure solution dans ce cas consisterait à résoudre le système des équations multigroupes relatives à l'isotope considéré dans la situation fondamentale.

30 CHAPITRE II TABULATION DE SECTIONS EFFECTIVES Le flux ç obtenu par la résolution de l'équation : o ^o o e ^o e permet le calcul des sections effectives de réaction, pour un isotope résonnant lourd. On définira les quantités suivantes : 1 - F E * E~ < e "o ' P oo - P étant la probabilité pour un neutron né dans le combustible de oo subir son premier choc sur l'isotope résonnant - H <p = / T s (u- - u) (p (u') du' *'u - t f f cv du' dv >o.mu f... aett * section effective du> dv L Âa

31 Le code SECOL, à partir de sections efficaces très détaillées en énergie, résoud cette équation dans une géométrie quelconque : - si la géométrie est cylindrique, sphérique ou plane, les P sont calculés par le sous-programme ALCOLL [3] (le calcul est alors identique à un calcul RACOLE habituel). - dans le cas de geometries plus complexes on peut introduire les P, calculées par ailleurs, en fonction de z ' - URANIUM 238 Lee sections efficaces sont calculées par un formalisme Breit et Wigner à un niveau [4] à partir des paramètres de Ravier [5], Les intégrales sur la léthargie des sections effectives, ou intégrales effectives, obtenues pour plusieurs valeurs de la section de modérateur par atome d'uranium 238 (en milieu homogène) sont directement comparables à celles de la tabulation du code WIMS. Noue verrons l'influence sur ces intégrales effectives de certains paramètres tels que la valeur moyenne de la largeur d'absorption, l'autoproîection des ondes p. 1 - Comparaison, des intégrales effectives avec celles de WIMS Le domaine résonnant du code WIMS est compris entre 4 ev et 9,12 kev : comparons donc les intégrales obtenues dans ce domaine, en milieu homogène, à celles interpolées dans la tabulations de WIMS. La section équivalente <j eat par définition la section de modérateur e» par atome d'uranium 236.

32 Dans la tabulation de WIMS nous trouvons deux valeurs pour l'intégrale effective : l'une I ( a ) calculée pour un mélange homogène d'u g et d'hydrogène, l'autre I (o ), ajustée. Ces deux valeurs sont reliées par la formule suivante, obtenue après ajustement : 3I(r ) I (a ) I (a ) - 0,2 (ûu - a e* en ) e«p po u étant la section potentielle de l'u R X étant une constante égale à 0,188 ûu étant la largeur de l'intervalle en léthargie. a 'Z e.î5ei- r 5ÎHi' ^ < ÎJI^iilÇ. (courbe n 1) e- I I Wins Ecart en "/<, I a Wims GO 274, , 60 1,5 269, ,168 0,9 77, ,801 56,474 0,6 54, ,367 40,2 77 0,2 38, , ,041-0,2 24, ,920 12, ,939-1,4 li,s ,1005 3,4867 6, 0069 Les deux dernières valeurs de la section équivalente sortent du domaine des sections tabulées par Wims.

33 - 29 On peut constater le bon accord avec les valeurs calculées pour Wims, mais les écarts plus importants avec les valeurs ajustées. b) Efje_te_en_te^mp_érature_ Comparons à 500 C les intégrales effectives calculées, à celles interpolées dans la tabulation de Wims(tabulation faible à 300 K. 600 K, 900"K) et les coefficients de température obtenus entre 20 C et 500 C. On définit le coefficient de température par : 8 I (T) - I (T ) I (T ) (T) et I (T ) sorties intégrales effectives à T et T o o T et T sont exprimées en degrés Kelvin J est ]' intégrale sur la léthargie dans le domaine considérée, de la section en 1 /v. Le coefficient de température est un paramètre important pour les effets en température puisqu'il est directement relié aux écarts relatifs sur l'intégrale effective.

34 e- I I Wims Ecart 7. I a Wims (voir la courbe n" 2). Les écarts sont du même ordre de grandeur qu'à 20 degrés Comparons les coefficients de température calculés entre 500 C et 20 C, dans le domaine résonnant de Wims (courbe n" 3). e», 2 SX 10 6 x 10 2 Wims Ecart en "/» ex îo 2 Wims (ajusté)

35 On peut constater que si les écarts sur les intégrales effectués à 500 sont faibles, sur les coefficients de température ils sont plus importants. On constate que les coefficients de température obtenus sont plus faibles que ceux de Wims sur tout le domaine des sections équivalentes, alors que les intégrales effectives sont inférieures à celles de Wims pour les faibles sections équivalentes et supérieures pour les grandes sections. Cet écart sur les coefficients de température peut être du à l 1 autoprotection des ondes p dont nous ne tenons pas compte ou à la valeur moyenne de la largeur d'absorption ; nous verrons plus loin que ces paramètres, s'ils ont uns influence très faible sur les intégrales effectives en ont une plus importante sur les coefficients de température. 2 - Vérification de la loi linéaire en\t Ayant calculé des intégrales effectives à 1000, noue pouvons étudier les variations en fonction de (T étant la température en degrés Kelvin) pour les différentes sections équivalentes. Afin de vérifier la loi : ûl «I (T) - I (T ) = p ( VT~- \TT~) (I (T ) - 6) o o o La courbe n 4 représente âl en fonction de

36 e I (20 C) I (500 C) I (1 000 C) I (500"C) I (20 C) I (1 000 C) I (20 C) Un paramètre plus fin est le coefficient de température. Nous pouvons voir sa variation entre les trois calculs suivants : l'un entre 20"C et 500"C, l'autre entre 20*C et C, et le dernier entre 500*C et Ç C. Dans le tableau suivant sont portés les coefficients de température obtenus dans les deux calculs cités précédemment, entre 4 ev et 9.12 kev. "e P » X l 0 0 S X l 0 e x l

37 On peut constater que la loi linéaire en \ T n'est pas rigoureusement exacte. Cette loi, qui est une loi approchée puisque l'intégrale effective ne peut pas croître indéfiniment avec la température, est valable en interpolation entre 20 C et 500 C, puis entre 500'C et C. Au-delà de C il faudrait étudier la variation des intégrales avec la température. 3 - Influence de certains paramètres L'autoprotection des ondes p n'est pas prise en compte dans nos calculs au-dessus de 1.66 kev. Cette hypothèse est faite parce que les résonances p sont moins hautes et moins larges que les résonances s. Nous avons calculé pour un milieu homogène de section équivalente égale à barns les intégrales effectives à 20 C et 500 C en traitant l'autoprotection des résonances p ; nous avons comparé ces intégrales et le coefficient de température à ceux obtenus sans autoprotection 0. 5 ev et 10 MeV. Avec autoprotection des résonances p Sans autoprotection des résonances p Ecart en"/, (2-1) / 1 I(T o ) I (T) S x x 10" 2-2,8

38 J On peut noter l'influence plus importante de l'autoprotection des résonances p sur le coefficient de température que sur les intégrales effectives : lorsque la température augmente l'autoprotection diminue et l'erreur faite en négligeant l'autoprotection des résonances p est plus faible qu'à la température ordinaire. Le coefficient de température, étant proportionnel à l'écart entre les intégrales effectives à deux températures, est sensible à une erreur variant avec la température. L'autoprotection des ondes p augmentant le coefficient de température, nous rapproche des valeurs tabulées par Wims (et ceci d'autant plus que la section équivalente est plus faible car l'importance relative du domaine supérieur au kev augmente quand la section équivalente diminue). b) Largeur d'absorption dans le domaine non résolu La largeur d'absorption est considérée comme constante sur tout le domaine non résolu, et cette valeur est une moyenne des largeurs mesurées à basse énergie. Comparons les intégrales effectives et les coefficients de température ainsi obtenus de 0. 5 ev à 10 MeV : pour un milieu homogène de section équivalente égale à , en faisant varier la largeur moyenne d'absorption de 10 %, en passant de McV (valeur donnée par Ravier) à 26 MeV. r = 26 MeV Y dans le domaine non résolu F = MeV Ecart en / 0 Y dans domaine non (1-2) / 2 résolu I(T 0 ) T =20 o ,06 I(T) T=500" x 10" x 10" + 0.3

39 c) Largeur moyenne d'absorption dans le domaine résolu Dans le domaine résolu les largeurs d'absorption sont mesurées pour un certain nombre de résonances, pour les autres cette largeur est prise égale à la largeur moyenne : qui est égale à MeV dans les données Ravier. Si l'on modifie cette largeur moyenne de 4 %, en lui donnant la valeur de 24.6 MeV, les intégrales effectives obtenues entre 2.5 et 512 ev sont inchangées pour des sections équivalentes égales respectivement à 100, 500 et barns. Dans ce domaine les résonances donnant les taux effectifs les plus élevés, ont des paramètres qui ont été mesurés et par conséquent leur capture n'a pas été modifiée, ce qui explique le résultat obtenu. Examinons dans le tableau suivant les intégrales effectives et les coefficients de température obtenus entre 0. 5 ev et 10 MeV en prenant les largeurs d'absorption égales à puis à MeV dans le domaine de 502 à ev, pour des sections équivalentes valant 100 et 500 barns.

40 ! J Section équivalente = 100 barns T = 24.6 MeV r * MeV Y Y de 502 ev à ev Ecart en / (l)-<2)/(2) 1 (T ) T» 20* o o ,02 I (T) T = , ,07 Section équivalente 500 barna T =24.6 MeV r =23.6 MeV Ecart en / Y Y de 502 ev à ev d)-(2) /(2) I (T ) T = ,02 O 0 I(T) T = ,02 Sxl L'influence de la variation de r dans ce domaine compris Y entre 2. 5 et kev est donc très faible sur les intégrales effectives et sur le coefficient de température. Dans ce cas l'écart relatif entre les deux calculs est semblable, que l'on étudie les intégrales effectives ou les coefficients de température. Dans ce domaine une modification des largeurs d'absorption conduit à une variation de la section efficace non autoprotégée, variation qui ne change pas d'ordre de grandeur quand la température s'élève.

41 Lorsque nous nous intéressons au domaine non."ésolu nous calculons des autoprotections pour certaines valeurs moyennes de la léthargie que nous appliquons à des sections non autoprotégées, qui, elles n'ont pas été modifiées, ceci explique que nous puissions avoir' un effet différentiel donc une influence différente sur les intégrales effectives et sur les coefficients de température. 4 - Conclusion Les sections effectives calculées par cette méthode donnent des intégrales effectives en bon accord avec celles obtenues à partir de la tabulation de Wims. Les coefficients de température sont plus faibles que ceux de Wims, ceci est dû en partie à l'hypothèse de non autoprotection des ondes p nj&is ceci ne suffit pas à expliquer l'écart. En modifiant les paramètres moyens d'absorption on augmente le coefficient de température mais cet effet est assez faible. B - URANIUM Comparaison avec la tabulation de Wims Comparojî dans le tableau suivant les intégrales effectives calculées en milieu homogène à celles interpolées dans la bibliothèque de Wims (de 4 ev à 9.12 tev). Seules les sections de production ( u o f ) ont été ajustées dans cette bibliothèque, les sections d'absorption n'ont pas été mod fiées. Les intégrales effectives de production ajustées sont reliées aux intégrales effectives calculées par la formule suivante :

42 V Of ajus (o ) = I,, (o, (v a f ) 0e ) x I-, (a) (^e (, ) La gamme des sections équivalentes tabulées dans Wims est comprise entre barns et la dilution infime. Intégrales effectives d'abborption e. I a a Wims Ecart en %> S Voir la courbe n 5. Intégrales effectives de production "e- (v aj V o, Wims v o, Wims (ajusté) » i Voir la courbe n 6.

43 L'accord entre les intégrales d'absorption est bon. Sur les intégrales de production il est difficile d'émettre une conclusion, étant donnée l'influence de l'ajustement (57.5 barns pour une section équivalente de barns, soit 18 / ), L'ajustement avait pour but de donner un or épithermique de Variation des intégrales effectives avec la température Comparons les intégrales effectives obtenues entre ev et 2, 485 kev à 20 C et à 500 C pour des milieux homogènes de sections équivalentes égales à 100, 400, 1 000, 2 000, et e Absorption Production I(T) - I (T ) 0 I(T O )(VT.V? O I (T) - I (T ) O I(T O KV7_V^) x 10~ x 10" x 10" x 10" , x 10" x 10" x 10" 2 207, x 10" x 10" x 10~ x 10" x 10" 2 Lorsque la section équivalente devient grande, l'uranium tend à être infiniment dilué, l'écart avec la température tend donc à diminuer (courbe n 7).

44 Il faudrait calculer un coefficient de température prenant en compte toute la gamme d'énergie car le domaine situé en dessous de 30 ev donne une contribution importante aux intégrales effectives. 3 - Conclusion Les sections effectives d'absorption obtenues pour l'uranium 235 sont en bon accord avec celles de la tabulation de Wims, tabulation faite pour des grandes sections équivalentes {ne recouvrant donc pas le domaine des rapides). Lee taux de production sont compris entre ceux calculés pour Wims et ceux ajustés, il faudrait donc comparer le a épithermique obtenu dans nos calculs à celui fourni par des mesures.

45 CHAPITRE m COMPARAISON DES TAUX DE REACTION EXACTS A CEUX OBTENUS A PARTIR DES SECTIONS EFFECTIVES Dans cette méthode nous avons fait l'hypothèse de la séparation du flux en flux rapidement variable et lentement variable. En comparant des taux de réaction obtenus à partir de sections de base identiques par la méthode des sections effectives aux taux de réaction exacts, nous pouvons alors vérifier la validité de cette hypothèse. Cette comparaison est faite dans les cas suivants : - Un seul isotope résonnant (U 238). milieu homogène. barreau métallique. barreau oxyde - Mélange d'isotopes résonnants (U 238, U 235). effets d'interférence fine - Isotope résonnant réparti dans plusieurs zones géométriques Les taux de réaction dits exacts sont ceux obtenus par le code RACOLE [6J avec une description trè6 fine en léthargie des sections efficaces (plus de 40 points par résonance), un traitement exact

46 du ralentissement, et une résolution spatiale par méthode des probabilités de collision avec éventuellement découpage en zones fines du combustible et du modérateur. A - UN SEUL ISOTOPE RESONNANT L'isotope résonnant considéré est l'uranium 238. La comparaison est faite sur le taux de réaction (1 - p) entre 2, 5 et 502 ev (domaine des fortes résonances) pour une densité de ralentissement unité à 502 ev /" X E a i du a au Au intervalle en léthargie correspond à l'intervalle de 2. 5 à 502 ev en énergie. 1 - Milieu homogène Soit un milieu homogène composé d'uranium 238 et d'un modérateur de masse atomique égale à 1. D'après le Chapitre I, la section équivalente d'un tel milieu est la section de modérateur associée à un atome d'uranium 238 : N n N 8 Les taux de capture sont calculés de trois manières différentes : 1 - Calcul fin tenant compte du ralentissement du modérateur 2 - Calcul des sections effectives et utilisation dans un calcul multigroupe 3 - Formule exponentielle :

47 I N R V R f * off d u ) EaMudV = 1-exp- V c t I m m m m 7 e 1 - P (1) (2) (3) Dans le cas d'un milieu homogène avec un modérateur de masse 1 les trois calculs donnent des résultats très proches, car il n'y a pas d'effet de répartition spatiale du flux. 2 - Milieu hétérogène - combustible Uranium 238 Considérons un barreau duranium 238 entouré d'un modérateur (graphite) et comparons les taux de capture obtenus : 1 - par un calcul prenant en compte le ralentissement du modérateur, le maillage en léthargie représentant correctement les résonances. 2 - par un calcul multigroupe utilisant des sections effectives obtenues pour des barreaux. 3 - par l'application de la formule exponentielle. On supposera dans un premier temps les flux plats spatialement dans le modérateur et dans le combustible. Il y a donc deux zones d'espace, une pour le combustible, et une pour le modérateur.

48 Hayon en cm 1 - P (1) (2) (3) L'écart est maximum pour le barreau de 3 cm de rayon, mais celui-ci est un cas extrême : il conduit à un écart de 0, 45 / 0 sur 1 - p donc de 0, 21 / sur le facteur antitrappe dans ce domaine. Ce calcul de toute manière n'est pas réaliste puisqu'il suppose un flux plat dans les deux zones. Reprenons le barreau de rayon 1.46 cm et étudions l'effet de variation spatiale fine de flux. Le calcul (1) (exact est fait en découpant le combustible et le modérateur en plusieurs zones. Par ailleurs un calcul du flux fondamental de structure fine effectué avec découpage du combustible en plusieurs zones a permis d'obtenir des sections effectives et des sections moyennes par groupe définies par : f a qj du dv = -'g "a J g / cp du dv g Les résultats (2) et (3) sont obtenus par un calcul multigroupe utilisant respectivement les sections multigroupes définies au Chapitre I et les sections moyennes définies comme ci-dessus, avec une

49 zone dans le combustible, et un découpage du modérateur identique à celui du calcul (1). Rayon 1 -p (1) (2) (3) On constate donc que les sections multigroupes définies au Chapitre I permettent d'obtenir un résultat très proche du résultat exact, ce qui n'est pas le cas des sections moyennes. D'autres calculs ont montré que le résultat (2) est pratiquement indépendant du nombre de zones de découpage du combustible dans le calcul multigroupe. 3 - Milieu hétérogène - combustible oxyde d'uranium Soit un barreau d'oxyde d'uranium entouré d'un modérateur (graphite) : comparons les taux de capture obtenus : 1 ) par un calcul exact 2 ) par un calcul utilisant les sections effectives 3 ) par l'application de la formule exponentielle : 1 - p = 1 - exp - [ N, V c / c du a eff 3 c c m o o c

50 Dans un premier temps, supposons le flux plat dans le modérateur, et dans le combustible. Nous avons donc un calcul à deux zones d'espace. Rayon 1 - p cm (1) <2) P) Ecart en*/, (2)-(D /(l) Reprenons les mêmes barreaux et étudions l'influence de la variation spatiale du flux dans le modérateur. Le flux est supposé plat dans le combustible. Rayon 1 - p (1) <2) Ecart en % (2)-(l) /(2) pas 0,6 /. Dans tous les cas les erreurs sur 1 - p ne dépassent 4 - Conclusion Dans tous les cas étudiés, le calcul par la méthode des sections effectives a permis d'obtenir les taux de réaction avec une erreur intérieure à 1 / 0. L'erreur correspondant sur p est inférieure à 0, 2 /.

51 B - MELANGE DE DEUX ISOTOPES RESONNANTS Il a été indiqué au chapitre I que le formalisme présenté permettait de prendre en compte certains effets globaux d'interaction dans le cas du mélange d'isotopes résonnants. Ces effets sont étudiés plus précisément dans ce paragraphe, sur le cas particulier d'un mélange homogène d'uranium 238 et d'uranium 235 d'un modérateur. Pour simplifier la présentation, le modérateur est traité en isotope absorbant et source. Solution exacte. L'équation fondamentale à résoudre dans le cas de deux Isotopes résonnants est : 1 o Z o 1 & m o m 2 étant la section microscopique du modérateur et les sections effectives sont du type :. î"\ ^o ^ff" /du du L'utilisation de cette solution exacte nécessiterait la tabulation à priori de sections effectives pour chaque isotope en fonction du pourcentage des autres isotopes en présence. Ce travail n'est pas Impossible et peut même être nécessaire dans certaine cas. Il est malgré tout souhaitable de disposer de méthodes approchées permettant d'estimer cette interaction en utilisant des tabulations faites séparément pour chaque isotope. Solutions approchées Soient <?,' et»' les sections effectives des isotopes l eff z eff résonnants, tabulées séparément en fonction de sections équivalentes. Le but de ce chapitre est en particulier de déterminer les sections équivalentes a et a à prendre pour chaque Isotope dans chaque groupe de façon a retrouver de bons taux de réaction.