CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES

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1 EXERCICE N 1 (5 points) QCM CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES =2 1) La suite définie par = vérifie : = = = 2) La suite définie pour tout entier par =6 1 est : arithmétique géométrique arithmétique de raison 1 et de 1 er de raison 6 et de 1 er de raison 6 et de 1 er terme =6 terme = 1 terme = 1 3) La suite définie pour tout entier par = est : géométrique géométrique géométrique de raison 3 et de 1 er de raison et de 1er de raison 3 et de 1 er terme = terme = terme = 4) est convexe sur [-2 ;1] puis concave sur [1 ; 4] et admet un point d inflexion au point d abscisse 1 donc on a : (1)=0 (0)=0 (1)=0 5) On a : positive sur [ 2;1] négative sur [ 2;0] positive sur [ 2;3,5]. EXERCICE N 2 : Convexité d une fonction (3 points) 1 f(x) :=10*x/(x+2)^2 x -> 10.( 2 g(x) :=deriver(f(x)) ()² ) x ->.() () 3 h(x) :=deriver(g(x)) Soit la fonction définie sur l intervalle [0 ;10] par ()= 10 (+2)². x ->.() () Certains élèves ont été gênés par le tableau de calcul formel. En ligne 1, on entre la fonction. En ligne 2, on dérive la fonction, le logiciel affiche ()= ()= () (). En ligne 2, on dérive la fonction, le logiciel affiche h()= ()= () (). 1) Sur [0;10], étude du signe de h()= () pour tout de [0 ;10], ()= () (), comme (+2) >0 alors est du signe ( 4) d où le tableau de signes : (1 point) () 0 +

2 2) Etude de la convexité de la fonction :(1 point) est négative sur [0;4] donc est décroissante donc est concave cave sur [;]. est positive sur [4;10] donc est croissante donc est convexe sur [;]. 3) s annule en 4 en changeant de signe donc la courbe de admet un point d inflexion au point d abscisse 4. (0,5 point) Ce point a pour coordonnées (4;(4)) or (4)= () ==. Le point d inflexion a pour coordonnées ;. (0,5 point) EXERCICE N 3 : Position relative (4 points) Soit la fonction définie sur [1;5] par ()= 6²+11 8, de courbe représentative. 1) Equation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation = (2)( 2)+(2). Or pour tout de [1;5], ()=3² donc (2)= 1. (2)= = 2. Donc = ( 2) 2 soit =. a pour équation =. (1 point) 2) a. Pour tout de [1;5],()=() ( ). ()= 6² ()= 6²+12 8 Or ( 2) =( 2)( 2)²=( 2)(² 4+4)= 6²+12 8 Donc pour tout de [;],()=( ).(1 point) b. Etude du signe de () sur [1;5]:(0,5 point) Pour tout de [1;5],() est du signe de 2, d'où le tableau : () 0 + c. Position relative de par rapport à sur [1;5] (1 point) Pour [ ;], () 0 () est en-dessous de. Pour [ ;], () 0 () est en-dessus de. 3) Comme la tangente au point d abscisse 2 coupe la courbe en la traversant alors le point d abscisse 2 est un point d inflexion pour la courbe.(0,5 point) PROBLEME : Etude d une fonction coût total (8 points) L entreprise chinoise Shishi produit du tissu en coton qu elle conditionne en «roules» de m de long et 1,5 m de large. Elle peut fabriquer au maximum 10 km en continu.

3 Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur, en km, par la formule : ()= ²++ où [;] PARTIE A : Etude du bénéfice On a tracé sur la feuille annexe, la courbe de et la droite d équation =400. 1) Au vu du graphique, la courbe de est toujours au-dessus de la droite donc pour tout de [0;10], ()>400 donc le coût est supérieur à la recette. Donc l entreprise Shishi ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix du marché est égal à 400 par km. (0,5 point) 2) Dans cette question, on suppose que le prix du marché est égal à 680 le km. a. La droite d équation =680 passe par l origine et le point de coordonnées (0;3400). Déterminer pour quelles quantité produites et vendues, l entreprise Shishi réalise un bénéfice c est résoudre graphiquement ()>680. (1 point) L entreprise Shishi réalise un bénéfice si elle fabrique et vend entre 2,1 km et 8,7 km de tissu. b. Soit la fonction définie sur [0;10] par : ()=680 (). Pour tout de[0 ;10],()= ² = ² Donc ()= ²++. (0,5 point) c. Etude des variations de sur [0;10] (1,5 point) est un polynôme de degré 2. =240² 4 ( 45) 180=90 000=300² Deux racines = =6 et = est positive sur [0 ;6] et négative sur [6 ;10]. = () + 0 () 2160 L entreprise Shishi réalise un bénéfice maximum avec un prix du marché de 680 le km pour 6 km de tissu vendu. (0,5 point) PARTIE B : Etude du coût marginal Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total donc on pose, pour tout de [0 ;10], ()= (). 1) Etudier des variations de sur [0;10]:(1 point) ()= ()=45² Donc ()= et ()=0 = = on en déduit le tableau :

4 () 0 + () admet un minimum en. 2) Etude de la convexité de :(0,5 point) = est décroissante sur0 ; donc est concave sur 0 ;. = est croissante sur ;10 donc est convexe sur ;10. Donc la courbe admet un point d inflexion en en valeur en laquelle admet un minimum. PARTIE C : Etude du coût moyen Le coût moyen mesure le coût par unité produite. Donc pour tout de [0 ;10], ()= (). 1) Prouver que pour tout de [0;10], ()= =15² Donc ()= = ² ² ² Or 30( 5)( ++5)=(30 150)(²++5)=30 120² 750 Donc ()= ()( ).(1 point) ² 2) a. Pour quelle longueur de tissu produite le coût moyen est-il minimum? Pour tout de ]0 ;10], () est du signe de 5 (²++5>0 et ²>0). Donc est négative sur ]0 ;5] et positive sur [5 ;10] donc admet un minimum en 5. Le coût moyen est donc minimum pour = 5 km de tissu vendu. (0,5 point) Que valent dans ce cas le coût moyen, le coût total et le coût marginal? (0,75 point) (5)= () =425 (5)=2125 (5)=425 Donc le coût moyen est de 425 par km de tissu, le coût total est de 2125 et le coût marginal est de 425. b. Si le prix du marché est de 680 le km, quel est le bénéfice réalisé par l entreprise si elle fabrique et vend une longueur de tissu de km?(0,25 point) (5)=1275 Donc le bénéfice réalisé est de 1275.

5 Voici l annexe :