CHAMPS DES VECTEURS VITESSE D UN SOLIDE

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1 PCSI/MPSI CHAMPS DES VECTEURS VITESSE D UN SOLIDE 1 Point lié à un solide En cinématique du solide indéformable, on s intéresse au mouvement des solides et donc des points qui les constituent. On dit qu un point M est lié à un solide S si ce point est fixe dans le repère R associé à ce solide. On peut alors étudier le mouvement d un point M lié à un solide sans que ce point appartienne physiquement au solide. Pour noter qu un point M est lié à un solide S, on écrit : Exemple : moteur thermique On peut étudier la vitesse du point B lié au solide 1 ou au solide 2 dans son mouvement par rapport au repère fixe par exemple... On notera alors respectivement: ou. 2 Champ des vitesses d un solide 2.1 Vitesse d un solide Un champ de vecteur est une fonction vectorielle qui prend une valeur vectorielle en chaque point où il est défini. Ainsi, l ensemble des vecteurs vitesses des points M liés à un solide S, à un instant t, constituent le champ des vecteurs vitesses de ce solide. J.P. 1

2 On notera la vitesse d un point M lié à un solide S dans son mouvement par rapport à un repère R 0 : L étude de la cinématique d un solide consistera à déterminer ce champ de vecteur. ou 2.2 Equiprojectivité du champ des vecteurs vitesses Soient A et B deux points liés à un solide S, on a alors la propriété suivante : On dit que le champ des vitesses est équiprojectif : les projections des vitesses d un point A et d un point B liés à un solide sur le vecteur sont égales. Cette relation est surtout utile en résolution graphique. Démonstration : Reprenons la définition d un solide indéformable : On a alors : avec d où : Exemple : illustration sur le moteur thermique. On cherche à déterminer par la seule connaissance de la vitesse de rotation du vilebrequin en utilisant la propriété d équiprojectivité. 2.3 Torseur cinématique Propriété remarquable du champ des vecteurs vitesses : Nous avons vu que d après la formule de dérivée vectorielle, la dérivée d un vecteur où A et B sont deux points liés à un solide est donnée par : J.P. 2

3 Avec : et : On obtient alors : D où : Que l on note plus fréquemment (en permutant le produit vectoriel) : Cette propriété est une propriété fondamentale qui permet de définir le champ des vecteurs vitesses d un solide indéformable. Cela signifie que pour connaître la vitesse de n importe quel point d un solide S, il suffit de connaître : Le vecteur taux de rotation du solide S dans son mouvement par rapport à un repère R 0 Le vecteur vitesse de n importe quel point M lié à S : Ces deux éléments sont des champs de vecteurs : est un champ uniforme qui ne dépend pas du point considéré, il ne dépend que du solide S et du repère R 0 Le champ des vecteurs vitesses de tous les points liés au solide S constitue ce que l on appelle un champ de moment défini par la relation : Remarque : moyen mnémotechnique BABAR. Le champ des vecteurs vitesse d un solide est donc le champ des moments d un TORSEUR. Le torseur est un outil vectoriel qui permet de représenter un champ de vecteurs présentant les propriétés que nous venons d établir. On définit ainsi le torseur cinématique d un solide S dans son mouvement par rapport au repère R 0 écrit au point M par : les vecteurs et sont les éléments de réduction du torseur : est la résultante du torseur cinématique. est le moment du torseur cinématique. J.P. 3

4 Le mouvement de S par rapport à R 0 est totalement défini par l expression du torseur. On peut changer le point où est exprimé le torseur en utilisant la propriété du champ des vitesses : On transporte le moment du point A au point B, on peut donc écrire à partir de Composition des vitesses On s intéresse aux mouvements relatifs de 3 solides notés 1,2 et 3. Nous avons vu les propriétés de composition des vecteurs rotation et des vecteurs vitesse : et on en déduit la propriété de composition sur le torseur cinématique : d où : Cette relation se généralise à n solides. Mais attention, pour être sommés, les torseurs doivent impérativement être écrits aux même points Invariants du torseur cinématique Le torseur cinématique possède d autres propriétés remarquables : les invariants. Ce sont les quantités qui ne changent pas en fonction du point considéré. Premier invariant : Il s agit simplement de la résultante cinématique (vecteur taux de rotation) qui comme nous l avons vu est un champ uniforme. J.P. 4

5 Deuxième invariant : Le produit scalaire : exprimé le torseur cinématique. est indépendant du point M où est Démonstration : Le champ des vecteurs vitesse est défini pour deux points de S par la relation : D où : Or est nul donc : 3 Accélération des points d un solide On s intéresse à présent au champ des accélérations d un solide indéformable. L accélération d un point M lié à un solide S est définie par : Reprenons la formule de transport du moment cinématique et dérivons la : soit :. Développons :, avec :, d où : Conclusion : le champ des vecteurs accélération n est pas un champ de moment de torseur. Le champ des vecteurs accélération d un solide ne présente aucune propriété particulière exploitable. J.P. 5

6 4 Mouvements particuliers 4.1 Mouvement de translation Définition : un solide S est dit animé d un mouvement de translation par rapport à un repère R 0 si pour 3 points quelconques A, B et C liés à S, les vecteurs et restent constants au cours du mouvement. Exemple : piston du système bielle manivelle dans son mouvement par rapport au bloc cylindre fixe. Propriétés remarquables : Pour un solide en translation, le vecteur taux de rotation est nul : Une condition suffisante pour qu un solide S soit animé d un mouvement de translation est que tous les points de S aient le même vecteur vitesse à un instant t : Une condition suffisante pour qu un solide S soit animé d un mouvement de translation est que tous les points de S aient le même vecteur accélération à un instant t : Il suffit donc de connaître le vecteur vitesse (ou accélération) d un seul point d un solide en translation pour connaître les vecteurs vitesse (ou accélération) de tous les points du solide. Remarque : on peut distinguer deux types de translations Translation rectiligne : La translation est dite rectiligne si les trajectoires des points du solide S dans son mouvement par rapport à un repère R 0 sont des droites. Exemple: piston du système bielle manivelle. Translation curviligne (circulaire) : La translation est dite curviligne si les trajectoires des points du solide S dans son mouvement par rapport à un repère R 0 sont des courbes (des cercles). Exemple: Nacelle d une grande roue. J.P. 6

7 Le torseur cinématique d un solide S en translation par rapport à un repère R 0 s écrit donc en un point M quelconque : Remarque : ce torseur particulier à résultante nulle est appelé torseur couple. 4.2 Mouvement de rotation Définition : un solide est animé d un mouvement de rotation par rapport à un repère R 0 autour d un axe AB si les points A et B liés à S restent fixes au cours du mouvement. L axe AB est l axe de rotation. L axe de rotation peut également être défini par un unique point (appartenant à la droite AB) et un vecteur colinéaire à. Exemple : le vilebrequin 1 du système bielle manivelle est animé d un mouvement de rotation autour de l axe par rapport à R 0. Propriétés remarquables : Tout point de l axe de rotation a une vitesse nulle. Si le point O est sur l axe de rotation, alors la vitesse de tout point M lié à S est donné par :. Ce vecteur est donc orthogonal au rayon issu de O et passant par M. Le torseur cinématique d un solide S en rotation par rapport à un repère R 0 s écrit donc en un point M quelconque (avec le point O sur l axe de rotation): { V(S / R 0 )} M =!!!!!!!!! " Ω(S / R 0 )!!!"!!!!!!!!! " MO Ω(S / R0 ) avec en O : M Remarque : ce torseur particulier à moment central nul est appelé glisseur. J.P. 7

8 Cas particulier d une simple rotation dans le plan :!!!" On note le rayon : MO = r!!!!!!!!! " On note la vitesse de rotation : Ω(S / R 0 ) = ω!!!"!!!!!!!!! " Puisque l on a : MO Ω(S / R0 )!!!!!!!!!!!! "!!!"!!!!!!!!! " On en déduit : V(M,S / R 0 ) = MO. Ω(S / R0 ) = r.ω J.P. 8