ECOULEMENT D UN FLUIDE PARFAIT

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1 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - ECOULEMENT D UN FLUIDE PARFAIT Dans cette expérience, nous étudions l écoulement stationnaire laminaire d un fluide (l eau) à travers un orifice circulaire, en nélieant la viscosité du fluide et en supposant ce fluide incompressible. Dans ces conditions, l écoulement de ce fluide dit "parfait" peut être décrit par le théorème de Bernoulli (décrit au..). Un écoulement est dit stationnaire ou permanent si en chaque point de l espace occupé par le fluide la vitesse d écoulement reste constante au cours du temps. Dans ce cas, on peut tracer des "lines de courant" qui sont tanentes en chaque point à la vitesse du fluide et qui représentent les trajectoires fixes suivies par les particules du fluide. Si on considère une petite surface da normale à la direction du courant, en traçant les lines de courant qui passent par le contour de cette surface, on délimite un tube de courant de section droite da. Tubes de courant Dans le cas d un écoulement stationnaire, le fluide coule dans ces tubes de courant comme si ces tubes avaient des parois fixes. THEORIE. Equation de continuité : conservation du débit. Soit la situation présentée à la fiure a, où de l eau s écoule à travers un orifice percé dans une face d un réservoir. L écoulement par l orifice met tout le liquide en mouvement dans le réservoir et on peut diviser le liquide en lines de courant (fi..a). Mais ceci est assez compliqué à faire de façon précise, même pour un réservoir de forme simple. En fait, on n a pas besoin de connaître le trajet suivi par ces lines de courant, il suffit de savoir que toutes les lines de courant prennent naissance à la surface libre du liquide et aboutissent à l orifice du réservoir. La fiure b montre l écoulement avec plus de détails. Fiure a Fiure b Les lines en pointillé sont des lines de courant. Considérons alors le tube de courant (en trait plein) de la fiure b et deux sections A et A de ce tube. Lorsque le fluide avance, au point, d une distance ds et pendant le même temps, au point, d une distance ds, et que le fluide est incompressible, les volumes de liquide correspondants (parties hachurées sur la fiure b) sont éaux, c est-à-dire :

2 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - A ds= A ds () A v = A v A ds A ds = dt dt ce qui exprime la conservation du débit d écoulement (aussi appelée équation de continuité).. Théorème de Bernoulli Ce théorème établit la relation qui lie la vitesse d écoulement d un fluide à la pression dans ce fluide / Le travail dw effectué durant le déplacement du fluide du point au point est : dw = p A ds = p A ds () où p et p sont les pressions aux extrémités du tube considéré. Ce travail est éal à la variation d énerie (potentielle + cinétique) du fluide dans le tube. L énerie cinétique du fluide qui entre dans le tube par la section A est : m v = ρ Adsv où v est la vitesse du fluide au point et sa masse volumique. L énerie cinétique du fluide quittant le tube par la section A est donnée par une expression analoue en fonction de sa vitesse v en ce point. La variation d énerie cinétique du fluide est donc : de = dk = cin A ds v ρ ρ Adsv (3) De façon similaire, la variation d énerie potentielle due à la variation de la coordonnée verticale y du fluide entre les points et est donnée par : de pot = du = m y m y b = (4) ρ A ds y A ds y La variation totale d énerie dk + du est éale au travail effectué dw exprimé par (). Utilisant l équation () pour éliminer les termes A i ds i (i = ou ), on obtient : p p = ρv ρv + ρy ρ y ou encore p + ρv + ρy = p + ρv + ρy (5) De façon énérale, ce résultat qui constitue le théorème de Bernoulli indique que la quantité p+ ρv + ρy est constante le lon d une line de courant. Rappelons que le théorème de Bernoulli s applique à l écoulement stationnaire laminaire d un fluide "parfait" à travers un tube de section relativement lare (comparé à un tube capillaire).

3 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl Trajectoire : détermination de la vitesse de sortie. Appliquons le théorème de Bernoulli à la situation schématisée à la fiure : F dy p + y p v y H G I ρ dt K J + ρ = + ρ + ρ (7) où est un point de la surface horizontale du liquide p est la pression atmosphérique = p atm. y x Fiure L équation (7) nous permet de déterminer la vitesse du fluide sortant du réservoir en considérant que le point est le point central de l orifice de sortie du réservoir, qui est, comme la surface horizontale du liquide, exposé à la pression atmosphérique. F dy patm + H G I ρ y patm v y dt K J + ρ = + ρ + ρ où v est la vitesse du fluide à la sortie de l orifice d ordonnée y. On obtient ainsi l équation : F dyi y v HG dt K J + = + y ou encore dy v y y (8) = b F + H G I dt K J L équation (8) traduit la conservation de l énerie : l énerie potentielle (y -y ) s est complètement transformée en énerie cinétique à hauteur de l orifice. D autre part, à la sortie du réservoir, l eau qui jaillit du trou est accélérée par la pesanteur. Mais cette dernière ait de la même manière sur toutes les outtelettes qui constituent le jet et la trajectoire qu elles suivent est dès lors celle d un objet en chute libre. La vitesse initiale de ce mouvement est celle du jet à la sortie du réservoir, elle est donc horizontale, et les équations du t mouvement sont : x= x+ vt y= y v Eliminant le temps t entre ces deux équations, on obtient : b x x + by y = (9) soit l équation d une parabole. Cette équation réécrite sous la forme b L N M O by yq P v = x x permet de déterminer la vitesse v du fluide à la sortie de l orifice, connaissant les coordonnées (x y ) de celui-ci et les coordonnées d un point (x,y) choisi arbitrairement sur la trajectoire parabolique du fluide. / ()

4 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - 4 MANIPULATION ECOULEMENT D UN FLUIDE PARFAIT. DISPOSITIF EXPERIMENTAL Vous avez à votre disposition deux réservoirs en plexilass dont les dimensions sont approximativement (vérifiez-le) : (hauteur lonueur lareur) = (4 cm cm cm) pour le réservoir, appelé réservoir de stockae, et ( cm cm cm) pour le réservoir, appelé réservoir récepteur. Ils seront placés comme montré sur la fiure 3a. Sur une face du réservoir de stockae est percé un trou T, sur lequel on peut placer une capsule C à l aide d un écrou E (fiure 3b). (Attention de placer la capsule dans le sens indiqué sur la fiure 3b : partie protubérante diriée vers l extérieur du réservoir). Placez les deux réservoirs de façon à ce que la face externe de la capsule coïncide avec la face interne du réservoir récepteur. Fiure 3(a) (b) Vous disposez de 8 capsules différentes. Chacune est percée d un trou d un certain diamètre dont la valeur (en mm) est indiquée sur celle-ci. Sur les réservoirs, vous placerez des bandes de papier millimétrique qui vous permettront de mesurer y et y respectivement, l ordonnée du centre du trou par lequel le liquide s écoule et l ordonnée du liquide dans le réservoir de stockae. En écrivant l équation (9), on a tenu compte que le jet de fluide est horizontal à la sortie du trou puisque v n a pas de composante suivant y. Pour déterminer v, il suffit dès lors de mesurer les coordonnées (x,y) d un point quelconque de la trajectoire. On peut par exemple prendre le point d impact du liquide dans le réservoir récepteur, soit sur la paroi verticale que le jet vient frapper (au début de l écoulement), soit à la surface de l eau. Vous utiliserez une équerre pour suivre le déplacement du point. Pour être cohérent, il faut choisir comme oriine des coordonnées le point du réservoir de stockae, et comme oriine des abscisses le point x = du réservoir de récepteur (Fiure 4).

5 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - 5 Fiure 4 Vous utiliserez comme liquide de l eau colorée. La méthode de remplissae sera la suivante: après avoir fixé une capsule sur le trou du réservoir de stockae, vous remplirez celui-ci jusqu'au niveau y initial (y ). ATTENTION : Durant cette opération, et jusqu au moment où vous débuterez l expérience, vous boucherez le trou de la capsule à l aide du doit!!!. DETERMINATION DE LA TRAJECTOIRE Calculez les valeurs de vitesse de sortie v, attendues suivant le théorème de Bernoulli pour les valeurs de y -y données dans le tableau I (théorème de Bernoulli : relation (8) de l introduction). Il est à noter que, pour calculer théoriquement v à partir de (8), la vitesse d écoulement dans le dy réservoir de stockae peut être néliée, soit : = dt Justifier cette approximation à partir de la conservation du débit. Déterminez expérimentalement les valeurs de x et y correspondant à ces valeurs y -y. Complétez le tableau, en utilisant successivement les capsules de et 3 mm de diamètre. Mesurez l ordonnée y du centre du trou de la capsule qui est repéré sur le réservoir de stockae. y =... ±... cm

6 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - 6 y -y v D = mm D = 3 mm théorique x y v x y v Tableau I En appliquant l équation (), calculez v et portez en raphique sur papier millimétrique les valeurs de v prédites théoriquement et obtenues expérimentalement en fonction de y - y. Comparez ainsi sur le même raphique les valeurs expérimentales de v aux prédictions théoriques. Que peut-on en conclure? (Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques). Pourquoi? Quelle est l influence de l aire A de l orifice? 3. RELAXATION - TEMPS DE DEMI-VIE L équation (8) de la partie théorique est aussi appelée "loi de Torricelli". Elle peut être vérifiée en étudiant le temps de relaxation T du fluide dans le réservoir de stockae. Pour toute hauteur y de liquide dans ce réservoir, la vitesse initiale v de sortie du fluide est d après l équation (8) de la partie théorique : dy v = by y avec = car A>> A. dt En insérant cette valeur v dans l équation de conservation du débit () de la partie théorique, on a : dy A = y y dt A b ()

7 Fluide parfait théorème de Bernoulli Fl - 7 L intération de cette équation donne la variation de la hauteur y de liquide dans le réservoir de stockae en fonction du temps : y y = A y y A t () où (y y ) est la hauteur de liquide à l'instant initial. Vous pouvez vérifier (exercice) que l expression () est bien solution de l équation (). Le temps de demi-vie T, défini comme le temps nécessaire pour que la hauteur (y y ) diminue de moitié sera donc : Démontrer la relation (3) Après avoir mesuré A : A = cm² calculez les valeurs théoriques de T pour (y y ) = 6 cm. Complétez le tableau II pour les différentes valeurs de A. A y y T = d i (3) A Déterminez pour les différentes capsules mises à votre disposition le temps de demi-vie en prenant (y y ) = 6 cm. Complétez le tableau II et portez en raphique sur papier millimétrique les valeurs de T obtenues en fonction des valeurs de l aire A. D (mm) A (cm ) T expérimental T théorique, ,7,6,96,83,385,53,636 TABLEAU II Comparez, sur le même raphique, les prédictions théoriques de T à vos résultats expérimentaux. Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques. Que pouvez-vous conclure de la comparaison entre la courbe théorique et les valeurs expérimentales? Déterminez les principales sources d erreurs dans la détermination de v et de T.