CHAPITRE 12 LE DÉVELOPPEMENT DES MARCHÉS DE TAUX ET INSTRUMENTS DÉRIVÉS

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1 CHAPITRE LE DÉVELOPPEMENT DES MARCHÉS DE TAUX ET INSTRUMENTS DÉRIVÉS TESTEZ VOS CONNAISSANCES Comment définir un contrat à terme? Comment se dénoue un contrat à terme? Quelle est la définition d'une option d'achat? d'une option de vente? Quels sont les actifs pouvant servir de supports à une option? Quels sont les éléments caractéristiques d'une option? Comment peut-on les définir? Comment peut-on qualifier le développement des marchés de contrats à terme sur devises? des marchés de contrats à terme de tau d'intérêt? des marchés de contrats à terme sur indices boursiers? des marchés d'options de change? des marchés d'options de tau d'intérêt? des marchés d'options sur actions? des marchés d'options sur indices boursiers? Quelles sont la définition et la finalité d'un forward-forward? d'un forward rate agreement? d'un swap de tau d'intérêt? d'un swap de devises? Quelles sont les spécificités des options négociées sur les marchés de gré à gré par rapport à celles qui sont échangées sur les marchés organisés? Quelles sont les principales options de deuième génération? Quelles sont la définition et la finalité d'un call warrant? d'un put warrant? Quelles sont les différences entre un warrant et une option négociée sur un marché de gré à gré? Quelles sont la définition et la finalité d'un cap? d'un floor? d'un collar? d'une option sur swap? Les marchés dérivés organisés et les marchés dérivés de gré à gré sont-ils complémentaires ou concurrents? Pourquoi? ANNEXE. LES CONTRATS À TERME SUR LA VOLATILITÉ Cette annee décrit le nouveau futures contract créé par le CBOE. Il eplique également l indice de volatilité implicite sur le S&P500.. Le VIX, un produit dérivé sur la volatilité implicite.. La volatilité implicite À l inverse de la volatilité historique, qui représente une mesure statistique des mouvements passés du pri d'un actif financier, la volatilité implicite mesure l amplitude de variations de court terme du cours d un sous-jacent, anticipée par le marché. C est un paramètre essentiel pour l'évaluation des produits dérivés, qui s'obtient à partir du pri de marché des options. La volatilité implicite s'interprète comme indicateur avancé des mouvements futurs de l'actif support de l'option. La volatilité implicite se déduit des pri observés des options, à partir d un modèle d options et, en particulier, celui de Black et Scholes. La volatilité étant un indicateur de risque, la volatilité implicite est aussi considérée comme un indicateur de risque reflétant les sentiments des investisseurs.

2 .. L indice VIX L indice VIX constitue un moyen de mesure des anticipations de la volatilité à court terme à partir des pri des options sur l indice S&P500. Depuis sa création en 993, le VIX est considéré par les opérateurs comme un ecellent baromètre reflétant les anticipations des investisseurs. En effet, les périodes d aniété et de doute se traduisent par une plus forte volatilité sur les marchés financiers. De plus, il est très largement suivi par les investisseurs. La méthode de calcul du VIX a été réactualisée en 004 pour que l indice corresponde plus eactement encore à la volatilité pouvant être observée sur le S&P500. Les dispositifs fondamentau du VIX demeurent les mêmes : l indice VIX donne en instantané la volatilité prévue sur le S&P 500 au cours des 30 jours suivants. La méthode de calcul du VIX repose sur le pri des options sur l indice S&P500 (la volatilité implicite de cet indice). En outre, le nouveau VIX n est plus calculé à partir du modèle d évaluation de Black & Scholes. Le VIX utilise désormais une nouvelle formule dérivée de la volatilité attendue en faisant une moyenne pondérée des pri out of the money des puts et des calls. Le nouveau calcul de la volatilité VIX se conforme plus étroitement à la pratique de l'industrie. T : temps jusqu à l échéance F : indice de pri à terme, dérivé d un indice des pri des options F = pri d eercice + e R.T (pri du call pri du put) K 0 : Premier pri d eercice au-dessous du niveau de l indice de pri à terme (F) R : tau d intérêt sans risque jusqu à échéance Q(Ki) : valeur médiane de la fourchette pour chaque option de pri d eercice Ki Ki : pri d eercice d une option out of the money. Une société d analyse financière peut se servir des valeurs du VIX au cours des processus de management du risque et dans ses modèles d allocation des pri. La valeur affichée du VIX est égale à la volatilité implicite multipliée par cent. Plus la valeur de l indice est faible entre 0 et 0 - et plus le marché est «calme». En revanche, une forte valeur du VIX entre 40 et 50 signifie que le marché subit des tensions. Rappelons que le VIX mesure la volatilité implicite à mois du S&P500. Cela signifie que l on se place dans une perspective à court terme et qu il repose sur les anticipations des opérateurs. L indice VIX est tourné vers le futur proche et utilise les sentiments et les perceptions de variations des opérateurs. C est un indice très sensible au réactions humaines..3. Le contrat à terme sur VIX (VX) Les caractéristiques du contrat à terme sur la volatilité, future sur VIX, introduit le 6 mars 004 au CBOE sont : Symbole : VX Sous-jacent : VIX Négociation de 8h30 à 5h5 (heures de Chicago) Valeur du contrat = VIX * $000 Tick ou variation minimale de l indice = 0 dollars Echéances : les deu mois les plus proches et deu mois du cycle trimestriel de février. Dernier jour de négociation : mardi avant le troisième vendredi du mois Date de règlement : mercredi avant le troisième vendredi du mois Le sous-jacent étant immatériel, la compensation s effectue par un règlement en espèces, mécanisme du cash settlement.

3 .. Spéculer sur une variation de la volatilité implicite Le VX permet au investisseurs de tirer parti de leurs anticipations sur la volatilité future du marché. Cela leur permet de diversifier un portefeuille de contrats futures ; ce qui est utile pour les fonds spéculatifs. Le contrat évite de mettre en place une stratégie à base d options, qui induisent une perte de valeur temps pour l acheteur (théta négatif). Mais il eiste un décalage temporel qui limite les possibilités de spéculation. Le contrat VX peut aider les gérants de fonds et les investisseurs à couvrir le risque de volatilité de leurs portefeuilles, mais ne permet pas à un investisseur de couvrir un événement risquant d avoir lieu avant son échéance. De plus, il ne permet pas de se couvrir contre le risque gamma de l option (la dérivée du ratio de couverture de l option par rapport au support). En effet le contrat VX couvre sur le Véga à deu mois, mais pas sur le Gamma des options, c est-à-dire la variation du pri de l option par rapport à une variation du pri de l actif sous-jacent..3. Arbitrer l indice boursier et sa volatilité implicite En général, la volatilité implicite évolue dans le sens inverse du marché : dans un marché haussier, les opérateurs ont tendance à sous-évaluer les risques ; ce qui induit une baisse de la volatilité implicite. à l inverse, pendant les phases de baisse du marché, les opérateurs sont nerveu et la volatilité anticipée augmente. Théoriquement, il est possible de jouer cette corrélation en achetant l indice et en se couvrant sur le VX. Mais la corrélation n est pas systématique : elle dépend de la psychologie des opérateurs. Ainsi, l arbitrage peut se révéler risqué. QUESTIONS D APPROFONDISSEMENT Eercice Le banquier propose deu crédits à tau d intérêt variable. Le tau d intérêt nominal mensuel pour chaque crédit est égal au tau moyen du marché monétaire du mois, augmenté d une marge de 0,3 %. Vous anticipez pour les quatre mois à venir un tau mensuel sur le marché monétaire de 0,7 %, %, 0,9 % et 0,6 %. a) Le banquier propose comme valeurs des amortissements du capital celles du crédit à tau fie (crédit ). Combien prévoyez-vous de rembourser lors des quatre premières échéances? b) Le banquier propose la possibilité de rembourser chaque mois la même mensualité que celle du crédit à tau fie. Combien de capital prévoyez-vous d amortir en quatre mois? Réponse Emprunt = 0 M, N = 4 mois Pour le Crédit : Annuités (mensualités) constantes ra = %d'où rm = % FM a/ = FM ,7 4 0,0 = (,0)

4 solde intérêts capital mensualité b/ Capital remboursé après 5 mois = 89 c/ Montant de capital à être remboursé après 6 mois = capital = = intérêts après 4 mois = Pour le crédit : tau nominal : r = % ; r =,3% ; r 3 =, % ; r 4 = 0,9% a / solde intérêts capital mensualité FM = ; FM = ; FM 3 = ; FM 4 = b/ solde intérêts capital mensualité Capital amorti après 4 mois =

5 CHAPITRE 3 LES CONTRATS À TERME SUR TAUX D INTÉRÊT À COURT ET À LONG TERME ET LES OPTIONS TESTEZ VOS CONNAISSANCES Quels sont les tau d'intérêt conventionnels sur le marché monétaire? Quelles sont les relations entre les tau d'intérêt au comptant et les tau d'intérêt forward? Analysez les contrats futures de tau à court terme et les FRA. Comment peut-on évaluer les contrats futures sur tau d'intérêt à court terme et les FRA? Quelles sont les caractéristiques des contrats à terme sur les bons du Trésor? Comment les contrats à terme sur tau d'intérêt sont-ils utilisés dans la gestion du risque de tau d'intérêt? Comment peut-on couvrir le risque de tau d'intérêt sur un flu de fonds? Qu'est-ce qu'une obligation notionnelle et quelles sont ses caractéristiques? Qu'est-ce qu'un facteur de conversion? Comment peut-on déterminer l'équivalent en trésorerie du montant du contrat future? Quelles sont les différentes étapes d'évaluation d'un contrat future sur obligations? Comment peut-on déterminer le pri théorique d'équilibre du contrat future et de l'obligation la moins chère à livrer? Quel est l'effet du coût de portage sur le pri du contrat future? Quelles sont les caractéristiques du contrat future Bund négocié sur le Liffe? QUESTIONS D APPROFONDISSEMENT Quelles sont les options implicites du pri future? Comment peut-on gérer le risque de tau par les contrats à terme sur l'obligation notionnelle? Comment peut-on immuniser un portefeuille obligataire avec les contrats à terme sur obligations? Comment peut-on évaluer une option européenne sur contrat forward, une option européenne sur contrat future, une option américaine sur contrat forward et une option américaine sur contrat future? Comment peut-on évaluer une option à court terme sur des obligations à long terme et une option sur contrats à terme d'obligations à moyen et long terme? Présentez quelques applications des options à la gestion des risques de tau d'intérêt. Analysez les options implicites dans les instruments de la dette.

6 CHAPITRE 4 LES MODÈLES D'ÉVALUATION: L'APPROCHE DISCRÈTE TESTEZ VOS CONNAISSANCES Qu'est-ce qu'un portefeuille d'arbitrage? Qu'est-ce qu'un portefeuille de couverture? Comment fonctionne le modèle binomial de Co, Ross et Rubinstein à une période, à deu périodes et à N périodes? Qu'est-ce qu'une probabilité neutre au risque? Commet peut-on évaluer une option d'achat à la date d'échéance? Comment fonctionne le modèle binomial de Rendleman et Bartter à une période, à deu périodes et à N périodes? Commet peut-on évaluer une obligation sans coupons et une obligation à coupons dans ce modèle à la date d'échéance? QUESTIONS D APPROFONDISSEMENT Comment fonctionne le modèle binomial de Ho et Lee à une période, à deu périodes et à N périodes? Commet peut-on évaluer une obligation à coupons et une option sur obligations sans coupons dans ce modèle à la date d'échéance? Qu'est-ce qu'une probabilité implicite? Décrire le fonctionnement du modèle trinomial de Hull et White. ANNEXE 3. APPLICATION DU MODÈLE BINOMIAL Considérons les données suivantes pour l évaluation des options d achat et de vente européennes et américaines : S = 0, Volatilité = 40 %, E = 00, r = 0,, T = 5 mois, t = mois, d où : p 0,5073 D'où (-p) = 0,497 d 0,8909 u,4 Évolution du pri de l'actif support sur cinq périodes

7 Construction de l'arbre de l'option de vente européenne Construction de l'arbre de l'option de vente américaine Construction de l'arbre de l'option d'achat européenne

8 Construction de l'arbre de l'option d'achat américaine

9 CHAPITRE 5 LES MODÈLES D'ÉVALUATION : LA MÉTHODE EN TEMPS CONTINU TESTEZ VOS CONNAISSANCES Qu'est-ce qu'un processus de Wiener général? Comment Vasicek décrit-il la dynamique des tau d'intérêt? Comment se présente la dynamique des tau d'intérêt dans le modèle de Co, Ingersoll et Ross? Comment peut-on évaluer une option? Quel est l'argument de base utilisé par Black et Scholes? QUESTIONS D APPROFONDISSEMENT Dans quelles conditions le modèle de Black et Scholes s'applique-t-il au options de tau d'intérêt? Dans quelles conditions le modèle de Black s'applique-t-il au options de tau d'intérêt? Dans quelles conditions le modèle de Black s'applique au options sur contrat à terme de tau d'intérêt? Décrire le fonctionnement du modèle de Heath, Jarrow et Morton. Quelles sont les similitudes entre ce modèle et celui de Black et Scholes? Qu'est-ce qu'un cap de tau d'intérêt? Qu'est-ce qu'une ligne de crédit? Quelle est l'epression du tau variable plafonné? Quel est le modèle approprié pour l'évaluation des caps américains? ANNEXE 4. L ÉVALUATION DES OPTIONS EUROPÉENNES ET LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES. Le Lemme d Itô Considérons une fonction f continue et dérivable deu fois, dépendant des deu variables S et t. Soit ΔS et Δt les variations de S et t, et Δf la variation correspondante de f. Un développement de Taylor adapté au fonctions de deu variables permet d écrire : f f ² f ² f ² f Δ f = Δ S + Δ t+ Δ S² + ΔSΔ t+ Δ t² +... S t S² S t t² Comme ds suit un processus de Wiener, on peut écrire sous une forme discrète : Δ S = Sµ Δ t+ Sσ Δ X dx peut s écrire dans le cadre d un processus de Wiener comme suit : dx =Φ où Φ est une variable aléatoire liée à la loi normale de probabilités (de moyenne égale à zéro et de variance unitaire). Le résultat suivant est très souvent utilisé : dx ² = dt dt

10 La forme discrète du processus de Wiener devient : Δ S = Sµ Δ t+ Sσ Δ t Nous effectuons un développement limité au premier ordre en Δt du développement de Taylor de f. Notons que : d où : Δ S² = S² σ ² Δ t+ ο( Δ t) avec ΔSΔ t = ο( Δ t) f ² [ ] f Δ f = Sµ Δ t + SσΔ X + Δ t + f S² σ² Δ t +ο( Δ t) S t S² En séparant les termes en Δt et les termes en ΔX, et en faisant tendre Δt vers 0 (et donc ΔX aussi), ceci conduit à une formulation du lemme d Itô : ² df Sµ f f S² σ² f = dt Sσ f dx S t S² S Ce lemme s applique au pri d une option d achat, call C(S,t), ou au pri d une option de vente, put P(S,t). Il peut aussi être appliqué directement au sous-jacent en considérant la variation de S donnée par /(t-t 0 )*ln(s/s 0 ), c est-à-dire à f(s)=ln(s). L application du lemme à la fonction f(s) = ln(s) est simple. Calculons les dérivées partielles de f : f ² f f =, =, = 0 S S S² S² t d où l epression de la différentielle de f en fonction de dt et de dx : σ ² df = µ dt + σ dx Cette équation montre que les variations des cours spot suivent un processus de Wiener de tendance (µ - σ²/) et de variance σ². Si S suit un processus de Wiener, alors les variations de S également. Cette équation indique que le cours S est lié à une distribution de probabilités lognormale (car ln(s) suit une distribution normale).. Résolution de l équation et valeur de l option dans le modèle de Black et Scholes La résolution de l équation de Black et Scholes pour le pri d une option d achat européenne : s effectue sous les conditions suivantes : - C(0, t ) = 0 - CSt (, ) ~ S S - CST (, ) = ma( S E,0) LB& SC( S, t ) = 0 La première condition montre qu une option d achat sur un sous-jacent sans valeur est elle-même sans valeur. La deuième condition montre que le pri d eercice E devient alors négligeable par rapport à S.

11 Les changements de variables suivants sont utilisés : S = Ee, Calculons successivement : En substituant dans l équation, il vient : il vient : soit : τ t = T, C = Ev(, τ ) / σ ² C C τ v σ ² = = E t τ t τ C C v = = E S S S ² C E v E v E v E ² v v = = + = S² S S S² S S S² ² C ² C C LB& SC( S, t) = + σ ² S² + rs rc = 0 t S² S Eσ ² v ² v v v σ ² E + re r 0 τ + ² Ev= v ² v v r r = + + = 0 ² ² v τ σ σ ² En posant k=r/σ², on obtient une équation proche d une équation de diffusion du type : d où w : ² w τ = ² v ² v v = + ( k ) kv= 0 τ ² On se ramène à la forme classique de l équation de diffusion par le changement de variable cidessous : α + βτ v (, τ ) = e u (, τ ) On ajuste les coefficients α et β. La substitution de v dans l epression ci-dessus et la simplification par l eponentielle donne : u ² ² u u βu α u α ( k ) αu u + = τ ² ku Pour éliminer les termes en u, on choisit : β = α² + ( k ) α k Pour supprimer les termes en u/, on fie : 0= α + ( k ) D où : α = ( k ) et β = ( k )² ( k )² k = ( k + )² 4 4 Le changement de variables est : ( ) ( )² k 4 k + τ v (, τ ) = e u (, τ ) d où l équation de diffusion classique vérifiée par u :

12 u ² u = τ ² pour + ], [ et τ > 0 avec la condition initiale : 0 ( ) ( ) k + k u (,0) = u( ) = ma( e e,0) La condition initiale sur C(S,T) était la suivante : CST (, ) = ma( S E,0) Comme S = Ee et que C Ev(, τ ) ( k ) =, la condition initiale sur v est : v (,0) = ma( e,0) ( k + ) ( k ) Or v (,0) = e u (,0), donc : u (,0) = u( ) = ma( e e,0) La forme générale de la solution de l équation est : + 0 ( s)² (, ) 4 τ uτ = u0 ( se ) ds où u 0 est la condition initiale u(,τ=0) πτ En utilisant le changement de variable s' = ( s )/ τ et donc ds ' = ds / τ : ( k + ) ( k ) + s '² u (, τ) = u 0 ( s' τ + e ) ds' π Or u ( ) = ma( e e,0), ce qui peut s écrire comme : 0 En effet, k R, ( k+ ) > ( k ) et en posant ( k+ ) ( k ) u0 ( ) = e e pour > 0 u0 ( ) = 0 pour 0 g ( ) = e e Notons que pour > 0, ( k + ) > ( k ), et donc g( ) > 0 pour = 0, g( ) = 0 pour < 0, ( k + ) < ( k ), et donc g( ) < 0 /( k+ ) /( k ) Comme u 0 ( ) = ma( g ( ),0), on en déduit ce résultat, permettant de restreindre l intervalle d intégration à / τ, + car u ( s' τ + ) = 0pour s' < / τ. 0 Ainsi : + + s'² s'² /( k+ )( + s' τ ) /( k )( + s' τ ) u(, τ ) = e e ds' e e ds ' = I I π π / τ / τ

13 Les deu intégrales I et I se calculent: + /( k+ ) + s '² /( k+ )( + s' τ ) e / s' /( k+ ) τ ² + /4( k+ )² τ I = e e ds' = e π π ds / τ / τ + /( k+ ) + /4( k+ )² τ e / s' /( k ) τ + ² I = e ds ' π / τ ' Avec le changement de variable : y = s' + /( k + ) τ et il vient : dy = ds ' /( k+ ) + /4( k+ )² τ / τ + /( k+ ) τ e y² = e dy π I Cette intégrale montre la fonction de distribution cumulative de la loi normale. I e N d /( k+ ) + /4( k+ )² τ = ( ) I s écrit : ou encore: d N( d) = e π avec d = + ( k + ) τ y² + /( k ) + s '² /( k )( + s' τ ) e / s' /( k ) τ ² + /4( k )² τ dy τ I = e e ds' = e π π ds / τ / τ I I + /( k ) + /4( k )² τ e / s' /( k ) τ ² = e ds ' π / τ /( k ) + /4( k )² τ / τ + /( k ) τ e y² = e dy π I = e N d avec /( k ) + /4( k )² τ ( ) Revenons au variables du problème initial : d N( d) = e π d = + ( k ) τ ( ) ( )² k 4 k + τ CSt (, ) = Ev (, τ ) = Ee u (, τ ) Substituons les valeurs suivantes : ln S = E, τ = σ ²( T t ), r k = σ ² ( ) CSt Ee e Nd e Nd /( k ) /4( k )² /( k ) /4( k )² /( k ) /4( k )² (, ) = + τ τ ( ) + τ ( ) CSt (, ) = EeNd ( ) Ee Nd ( ) kτ r σ ²( T t ) ln( S/ E) σ ² CSt (, ) = Ee Nd ( ) Ee Nd ( ) d où le pri du call européen : CSt (, ) = SNd ( ) Ee Nd ( ) avec : rt ( t) y² dy τ '

14 r ln( S/ E) + ( + ) σ ²( T t) ln( / ) ( ² ln( / ) ² S E r σ S E r )( T t) d ( ) ²( T t) σ + + = + + σ = = σ²( T t) σ ² σ T t σ T t r ln( S/ E) + ( ) σ ²( T t) ln( / ) ( ² ln( / ) ² S E r σ S E r )( T t) d ( ) ²( T t) σ + = + σ = = σ²( T t) σ ² σ T t σ T t Le pri du put européen s obtient à partir de la relation entre les pri du call, du put, du support et du pri d eercice. Les pri du call et du put européens à partir du modèle de Black & Scholes sont : avec : CSt SNd Ee Nd rt ( t) (, ) = ( ) ( ) P S t SN d Ee N d ( ) (, ) ( ) rt t = + ( ) ln( S/ E) + ( r+ σ ² )( T t) d = σ T t ln( S/ E) + ( r σ ² )( T t) d = σ T t et N( ) y² = e dy π