Moteur hydraulique Samm

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1 Moteur hydraulique Samm Etude du mécanisme à came à galet Novembre Introduction 1 2 Recherche d une loi de levée 1 3 Calcul du profil de la came en fonction de la loi de levée Méthode des CIR Méthode de la condition de non pénétration Profil de la came Étude dynamique 7 5 Analyse de la pression superficielle 9 1 Introduction Le moteur Samm est un moteur hydraulique à pistons radiaux à distribution plane. La glace de distribution permet d acheminer l huile dans le barillet puis à l intérieur de chacun des 7 cylindres. La pression exerce une force sur chaque piston moteur dirigée vers l extérieur. Chaque piston est relié à un ensemble porte-galet/galet qui est en contact avec une came intérieure à 4 lobes. Typiquement ce genre de moteur hydraulique est utilisé pour réaliser la motorisation d engins de chantier. Une des caractéristiques recherchée pour éviter les à coups dans la motricité est un rapport ω/q constant, où ω est la vitesse de rotation du moteur et Q le débit d entrée. L objectif de ce TP est de comprendre comment, en choisissant un profil de came paticulié, on parvient à satisfaire cette condition. Une petite analyse dynamique du mécanisme permet ensuite de déterminer les efforts mis en jeux dans les liaisons, en particulier au niveau du contact came/galet. Ceci permettera ensuite de faire une petite étude de la pression de contact. 2 Recherche d une loi de levée Nous voulons obtenir un rapport ω/q contant, c est à dire que si ω est constant, Q le sera aussi. Cherchons alors à exprimer Q, le débit global en fonction des q i, les débit instantanés 1

2 dans chaque cylindre. Q = n i moteur Sv i où S est la section du cylindre et v i la vitesse instantannée du piston (moteur). La condition Q = cte s obtient en dérivant: dq n d = 0 i moteur dv i d = 0 La loi de levée doit donc être une fonction qui soit telle que la somme des vitesses instantannée des pistons moteur est contante. Le profil des vitesse représenté sur la figure 1 vérifie cette condition. Le repère est fixe par rapport au bâti et représente la position angulaire d un piston par rapport à la came. Seul un quart de la came est repésenté 1 sur [0; π/2]. Les pistons, au nombre de 7 sont espacés de 2π/7 et sont notés P i. Ils sont mobiles dans le repère mais toujours également espacés. Sur la figure, il ont été ramenés dans le premier lobe. Profil théorique des vitesses v0 point mort Pistons à l admission Point mort Pistons au refoulement point mort Vitesse des pistons 0 P1 P3 π/14 π/14 P5 P7 P2 P4 P6 v0 2π/7 0 pi/4 pi/2 : position angulaire sur la came Fig 1: Profil théorique de la vitesse des pistons en fonction de la position angulaire. Ce profil vérifie la condition Q(t) = k.ω(t). 1 la came présente 4 lobes périodiques. Chacun est symétrique pour permettre un fonctionnement du moteur dans les 2 sens Moteur hydraulique Samm page 2

3 Le profil des vitesses est fait de telle sorte que, à chaque instant, trois pistons soient à l admission, trois autres au refoulement et un au point mort. Le profil est symétrique par rapport au point (π/4, 0), ce qui permet une réversibilité de fonctionnement. À chaque instant, un des pistons moteur a une accélération dv i = a d 0 un autre a une accélération nulle et le dernier a une accélération qui vaut dv i = a d 0. Ceci permet de vérifier la relation n i dv i d = 0. D aute part, v 0 est telle que 2v 0 S = Q v 0 = Q/2S Ce profil n est pas le seul à vérifier la condition désirée, il en existe beaucoup d autre. La figure 2 présente un profil où les accélérations sont continues contrairement au premier profil, ce qui peut paraître a priori plus satisfaisant d un point de vue dynamique (les efforts ne seront pas discontinus). La raccordement entre les paliers est ici réalisé à l aide d un polynôme de degré 3 2. Ce profil présente un point de symétrie, ce qui permet de vérifier la condition qi = cte. En effet, lorsqu un piston se présente à un endroit de ce profil ascendant, un autre piston ce présente sur le profil descendant avec une accélération strictement opposée. Le troisième piston est sur la palier à accélération nulle. Profil à accélération continue v0 Vitesse piston 0 v0 0 pi/4 pi/2 : position angulaire sur la came Fig 2: Profil théorique de la vitesse des pistons en fonction de la position angulaire. L accélération des pistons est ici continue. L intégration de ces deux profils permet de trouver la loi de levée nommée ρ(). Deux constante sont à déterminer: la valeur de v 0 et la constante d intégration. Elles sont déterminée par la mesure sur le système réel des positions des points morts haut et bas. La figure 4 montre l allure de ρ() pour les 2 profils de vitesse théoriques et pour le profil tel qu il a été mesuré sur la came. La différence entre les 2 profils théorique apparait infime. 2 2 conditions de continuité des vitesses et 2 sur la continuité des accélérations Moteur hydraulique Samm page 3

4 0.1 Loi de levée ρ() Mesure Acc non continue Acc continue Rayon mesuré pi/56 5*pi/56 9*pi/56 13*pi/5614*pi/56 Fig 3: Loi de levée théorique comparée à la loi de levée mesurée sur le mécanisme Fig 4: Loi de levée théorique tracée en polaire 3 Calcul du profil de la came en fonction de la loi de levée. À partir de la loi de levée, nous cherchons à déterminer le profil réel de la came en tenant compte du rayon R g du galet. Pour cela il existe plusieurs méthodes : On peut chercher l enveloppe du galet lorsque son centre se déplace en suivant la loi de levée. Moteur hydraulique Samm page 4

5 On peux chercher la courbe parallèle à celle décrite par le centre du galet. On peux utiliser le théorème de Kennedy et raisonner sur les CIR des différents solides en mouvement plan. On peut exprimer la condition cinématique de non pénétration de la matière au point de contact came/galet. Parmis ces méthodes, les 2 dernières font appel à des notions de mécanique. Toutes les 2 vont être décrites. Tout d abord, paramétrons le problème. Le mécanisme est représenté figure 5. Nous cherchons à connaitre le lieu de P, point caractéristique lorsque le galet se déplace (son centre A suit la loi de levée ρ()). La détermination de l angle Ψ est suffisante pour déterminer la position de P. Came I ρ() O e Piston/Porte-galet A R g Barillet Fig 5: Schéma cinématique Ψ Galet P e r n 3.1 Méthode des CIR Le théorème de Kennedy dit que lorsqu un système de 3 solides est décrit par une cinématique plane, alors leur centres instantanés de rotation mutuels sont alignés lorsqu ils existent. Dans notre cas, nous pouvons travailler sur les trois solides que sont la came, le galet et le piston/porte-galet. Le CIR du galet et de la came est le point P si l on suppose qu il y a roulement sans glissement. Le CIR du galet et du piston porte-galet est le point A puisque c est le centre de la laison pivot qui lie les deux solides. On appelle I le CIR du piston porte-galet et de la came. On peut déterminer sa position puisque le mouvement du piston par rapport à la came est connue par l intermédiaire de la loi de levée. Pour ce faire, il faut Moteur hydraulique Samm page 5

6 déterminer le point où la vitesse relative du piston par rapport au bâti est nulle. Le torseur cinématique du mouvement piston/bâti est : { } e z { } Vp/b ez : d(ρ e r ) = ρ e r + ρ e A dt A 0 = IA e z + ρ e r + ρ e Si on note α et β les coordonnées de IA dans la base ( e r, e ), alors: 0 = (α e r + β e ) e z + ρ e r + ρ e IA = (ρ e r ρ e ) (1) D autre part Il existe 2 déterminations de Ψ: IA. e r = ρ > 0 (et donc OA e r ) (2) { e r IA = IA sin Ψ e z = ρ e z IA. e r = IA cos Ψ = ρ { Ψ = arctan(tan Ψ) Ψ = π + arctan(tan Ψ) tan Ψ = 1 dρ ρ d Ce sont les deux solutions, mais ici seule la première correspond à notre problème de came extérieure. Nous connaissons maintenant Ψ ce que nous cherchions. 3.2 Méthode de la condition de non pénétration On considère maintenant que le galet et le piston/porte-galet ne forment plus qu une pièce (on bloque la liaison pivot). Les indices p, b et c référerons respectivement au piston/galet, au barillet puis à la came. On écrit maintenant la condition de non pénétration de la matière: V (P,p/c). n = 0 (3) ( V(P,p/b) + V ) (P,b/c). n = 0 (4) ( ρ e r + ) e z (ρ e r + R g n). n = 0 (5) ρ cos Ψ + ρ sin Ψ = 0 (6) Ceci nous emmène à: tan Ψ = 1 dρ ρ d C est le même résultat que celui de la précédente méthode, ce qui nous rassure. (7) Moteur hydraulique Samm page 6

7 3.3 Profil de la came Maintenant, les équations paramétrées cartésiennes de la came tombent immédiatement: { xp = ρ cos + R g cos( + Ψ) (8) y p = ρ sin + R g sin( + Ψ) 4 Étude dynamique Avant de s attacher à calculer les pressions superficielles du contact came/galet, il faut déterminer l effort qui s exerce à la normale de celui-ci. On peut réaliser un petit calcul de dynamique en faisant les hypothèses que les liaisons sont parfaites et qu il n y a aucune perte, ni hydraulique, ni mécanique. Le Schéma 6 présente les différentes actions mécaniques qui s exercent sur le bloc piston/porte-galet isolé. Description Expression Valeur L action du galet La force hydraulique dans le piston La force centrifuge appliquée au point G (estimée) Réaction de la liaison glissère: moment Réaction de la liaison glissère: résultante R = R n? F hydro = F h e r F r =11150N F dyn = F d e r F d =250N M = M e z? L = L e? e e r ρ() R A Ψ n F dyn L O G M F hydro Fig 6: Piston/porte-galet isolé La seule grandeur dynamique est la force centrifuge (très faible devant F hydro d ailleurs, ce qui permet d en négliger les variations ou même l existance), on se ramène à un problème de statique. L application du PFS nous donne les résultats suivants. R = F h cos Ψ M = ρf h tan Ψ L = F h tan Ψ Moteur hydraulique Samm page 7

8 On remarque que d après l expression de tan Ψ, le moment M exercé par un piston sur l arbre vaut : M i = F h dρ i d Or la somme des moments excercés par les pistons moteurs s exprime ainsi: M = F h n i moteur et ceci est constant puisque c est comme ca qu a été déterminé le profil de la came. Ceci est rassurant, car si on suppose un rendement parfait, si la puissance d entrée est constante et la vitesse de sortie aussi, alors le moment sur l arbre de sortie est également constant. La figure 7 représente le moment exercé par un piston sur l arbre en fonction de sa position. La valeur maximale est de 325 N.m environ. Le moment total est de 2 fois cette valeur (à cause des propriétés de la courbe) c est à dire environ 650 N.m. La valeur indiquée par le constructeur est de 470 N.m. Ceci est cohérent avec notre hypothèse de rendement à 100% tout en ayant le même ordre de grandeur. D autre part, on cherche à déterminer l action de contact entre la came et le galet. Le galet n étant soumis qu à 2 actions mécaniques, l action du galet sur la came est un glisseur qui vaut R n en P. La figure 8 montre la valeur de R en fonction de la position du piston considéré. dρ i d 350 Moment d un piston sur l arbre (P=250 bars) Accélération continue Accélération non continue 300 Moment en N.m pi/56 5*pi/56 9*pi/56 13*pi/5614*pi/56 Fig 7: Moment exercé par un piston sur l arbre Moteur hydraulique Samm page 8

9 Force exercée sur la came à la pression maxi: P=320 bars 1.26 x 104 Force exercée sur la came (kn) Accélération continue Accélération non continue pi/56 5pi/56 9pi/56 13/pi/56 pi/4 Fig 8: Valeur de la force exercé par le galet sur la came (en phase motrice). 5 Analyse de la pression superficielle Hypothèse: On suppose que le contact est de type cylindrique/cylindrique. On suppose également que toutes les hypothèses permettant d appliquer la théorie de Hertz sont vérifiées. La théorie de Hertz donne la pression maximale sous le contact: R/b E P 0 = πr En admettant que les matériaux sont tous deux des aciers à E=210GPa, il nous reste à déterminer la courbure équivalente 1/r qui est la somme des courbures du galet et de la came. La courbure de la came peut s exprimer par l intermédiaire des coordonnées cartésiennes par la formule 3 : 1 R = y x y x (x 2 + y 2 ) 3 2 La courbure équivalente est réprésentée pour les 2 profils sur la figure 9 On constate que la courbure maximale est plus élevée pour un profil de vitesse à accélération continue. Le choix de ce profil n est pas très bon du point de vue des pressions superficielles comme en atteste la figure 10 qui représente la pression superficielle maximale pour une pression de fluide de 320 bars. On dépasse les 900 MPa. La documentation fournie précise que la came est réalisée en acier traité à 950 MPa. On serait donc très proche de la pression de matage. 3 Moteur hydraulique Samm page 9

10 Racine de la courbure equivalente Accélération continue Accélération non continue 0 0 pi/56 5*pi/56 9*pi/56 13*pi/5614*pi/56 Fig 9: Courbure équivalente 1/r Pression surperficielle à la pression hydraulique maxi: P=320 bars 10 x 108 Pression superficielle (Pa) Accélération continue Accélération non continue pi/56 5*pi/56 9*pi/56 13*pi/5614*pi/56 Fig 10: Pression superficielle maximale sous le contact came/galet Moteur hydraulique Samm page 10