Cours de Troisième / Probabilités. E. Dostal

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1 Cours de Troisième / Probabilités E. Dostal Janvier 2015

2 Table des matières 8 Probabilités Introduction Probabilités Événement et probabilité Expérience aléatoire à deux épreuves Expérience aléatoire à deux épreuves

3 Chapitre 8 Probabilités 8.1 Introduction On lance un dé à 6 faces bien équilibré et on note le résultat obtenu. Quelles sont les différentes possibilités? Quelle chance a-t-on d obtenir les différents résultats? Définition 1 une expérience est aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard et ne peut donc pas être prévu à l avance avec certitude. Définition 2 les différents résultats d une expérience aléatoire sont appelés les issues possibles. On lance maintenant, trois dés à 6 faces bien équilibrés et on note la somme obtenue en additionnant les trois résultats de chaque dé. Quelles sont les différentes issues possibles? Quelle chance a-t-on d obtenir les différents résultats? Il est plus difficile de répondre à cette question pour cette deuxième expérience aléatoire (nous étudierons cette expérience au cours d une activité utilisant un tableur) Histoire : Galilée ( ) est surtout connu pour ses travaux en astronomie, faisant suite à son invention de la lunette astronomique. Cependant, il rédigea vers 1620 un petit mémoire sur les jeux de dés pour répondre à une demande du Duc de Toscane (Galilée est alors Premier Mathématicien de l Université de Pise et Premier Philosophe du Grand Duc à Florence). Le Duc de Toscane, qui avait sans doute observé un grand nombre de parties de ce jeu, avait constaté que la somme 10 était obtenue légèrement plus souvent que la somme 9. Le paradoxe, que le Duc avait exposé à Galilée, réside dans le fait qu il y a autant de façons d?écrire 10 que 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6. 2

4 E. Dostal CHAPITRE 8. PROBABILITÉS 8.2 Probabilités Si l on considère une expérience aléatoire, on peut donc associer à chaque issue une chance d être réalisée sous forme d un nombre (exemple : 1 chance sur 6 ou 50% de chance). C est ce nombre que nous appellerons probabilité Définition 3 Pour une expérience aléatoire : la probabilité d une issue est un nombre compris entre 0 et 1 la somme des probabilités de toutes les issues possibles d une expérience aléatoire vaut exactement 1. Remarque : un nombre entre 0 et 1 peut être écrit comme un pourcentage. une expérience aléatoire est dite équiprobable si toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser. l expérience aléatoire du lancer de dé bien équilibré est équiprobable. Chaque face à la même probabilité d apparaitre, à savoir : 1 6. Il en va de même pour Pile ou Face et d autres. l arbre des possibles permet de représenter graphiquement les différentes issues d une expérience aléatoire. Pour cela on trace une branche par issue. On peut alors pondérer cet arbre en indiquant la probabilité de chaque issue sur la branche correspondante. Exemple 1 : Une expérience aléatoire consiste à faire tourner une roue partagée en six secteurs et à noter le numéro du secteur sur lequel elle s immobilise. La roue étant bien équilibré, on associe à chaque issue une probabilité proportionnelle à l angle du secteur angulaire correspondant. Représenter l arbre des possibles de cette expérience, en indiquant les probabilités de chaque branche. 3

5 E. Dostal CHAPITRE 8. PROBABILITÉS 8.3 Événement et probabilité Définition 4 Un évènement est constitué d une ou plusieurs issues d une expérience aléatoire. Dans le jeu de la roue précédent, on gagne si on obtient un nombre pair, on perd dans les autres cas. Exprimer cela sous forme d événements probabilistes, puis calculer la probabilité de chaque événement Proposition 1 la probabilité d un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose la probabilité d un événement est toujours comprise entre 0 et 1 Exemple 2 : considérons un jeu de cartes classique. Il est composé de : 4 couleurs (coeur, carreau, trèfle et pique) 8 cartes par couleur (As, R, D, V, 10, 9, 8 et 7) On a l expérience aléatoire suivante : tirer une carte au hasard. Il y a issues différentes : chacune des cartes est différente (1 valeur + 1 couleur). On a alors des événements, par exemple : P, l événement tirer un pique, dont la probabilité est p(p ) = A, l événement tirer un As, dont la probabilité est p(a) = Événements particuliers un événement est impossible s il ne peut se produire. Sa probabilité vaut 0. un événement est certain s il se produit nécessairement. Sa probabilité vaut 1. l événement tirer un 4 est impossible et l événement tirer un coeur, un carreau, un pique ou un trèfle est certain. un événement contraire d un événement A, est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note non A ou A. Proposition 2 la somme des probabilités d un événement A et de son événement contraire A est égale à 1 : p(a) + p ( A ) = 1 On en déduit une expression pour calculer p ( A ) ( en enlevant p(a) à chaque membre de l égalité) : p ( A ) = 1 p(a) l événement contraire de P (tirer un pique) est l événement P ne pas tirer de pique (sous forme de négation de P ) ou tirer un carreau, un coeur ou un trèfle. La probabilité de P est p ( P ) = 1 p(p ) = 1 8 = 24 On peut aussi calculer cela en faisant : p ( P ) = p( tirer un coeur ) + p( tirer un carreau ) + p( tirer un trèfle ) = = 24 4

6 E. Dostal CHAPITRE 8. PROBABILITÉS deux événements sont incompatibles s ils ne peuvent pas se produire en même temps. Proposition 3 si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l un ou l autre se réalise est égale à la somme de leur probabilités. Contre-exemple : quelle est le probabilité de l événement P et A ( tirer un pique et un As ) c està-dire tirer un As de Pique? p(p et A) = 1 Quelle est le probabilité de l événement P ou A ( tirer un pique ou un As )? On sait que p(p ) = et que p(a) =, on se dit donc que p(p ou A) =. Mais ceci est faux. Il y a l As de pique que l on compte deux fois (une fois comme pique une fois comme As). La probabilité n est donc que de 11. Cela est dût au fait que les événements P et A ne sont pas incompatible (il y a une carte qui est à la fois un pique et un As). les événements A et R tirer un roi, sont incompatibles (aucune carte n est un Roi et As en même temps). Donc la probabilité de A ou R est : p(a ou R) = p(a) + p(r) = = Expérience aléatoire à deux épreuves Définition 5 une expérience aléatoire est à 2 épreuves, si elle est constituée de deux épreuves indépendantes successives. Exemple 3 : On lance une pièce parfaitement équilibrée, on note le côté obtenu (Pile ou Face), puis on lance un dé octaédrique bien équilibré portant sur chacune de ses faces un chiffre entre 1 et 8, on note le chiffre ainsi obtenu. 1. Représenter l arbre des possibles de cette expérience aléatoire. 2. Quelle est la probabilté d obtenir Pile et un nombre supérieur ou égal à 6? Proposition 4 la probabilité d une issue d une expérience aléatoire à 2 épreuves est égale au produit des probabilités figurant sur la branche de l arbre conduisant à ce résultat. 5