Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé (non nécessairement fini), muni d'une probabilité.

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1 T ES LOIS DE PROBABILITES I. Variables aléatoires continues. Jusqu ici on a étudié des variables aléatoires qui prenaient un nombre fini de valeurs dans l univers Ω. (Par exemple: gain d argent, taille ) On parle alors d une LOI DISCRETE. Or les issues d un grand nombre d expériences aléatoires prennent pour valeur un nombre quelconque d un intervalle I de IR. ON PARLE DANS CE CAS D UNE LOI CONTINUE. Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé (non nécessairement fini), muni d'une probabilité. Définition 1. On appelle variable aléatoire X, toute fonction de Ω dans IR, qui associe à chaque issue un nombre réel d un intervalle I (dans IR.) Exemples : 1 ) La variable aléatoire X égale à la durée de vie (âge au décès) d'une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une v.a. continue. 2 ) La variable aléatoire X égale à la durée de fonctionnement d'une ampoule électrique exprimée en heures, est une V.A. continue. 3 ) La variable aléatoire X égale à la durée de communication téléphonique, exprimée en heures, d'un jeune de 16 à 25 ans, est une V.A. continue. 4 ) L'instruction ALEA() sur un tableur ou RAND# ou nbraleat() sur une calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Ces instructions définissent une v.a. continue X prenant ses valeurs dans [0;1]. Toutes ces valeurs "peuvent" être prises. II. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle Définition 2. On appelle fonction de densité de probabilité ou fonction de densité ou encore densité de probabilité sur un intervalle I, toute fonction f, continue et positive sur [a; b] et dont l'intégrale entre a et b est égale à 1. Autrement dit : f est une densité de probabilité sur l'intervalle [a; b] lorsque : 1 ) f 0 sur I; 2 ) f est continue sur I ; 3 ) f (x) dx = 1 sur I = [a; b] Exemples: Vérifier que la fonction f définie sur 0 ; 1 par f (t ) = 4t^3 est une densité de probabilité. 1

2 T ES ACTIVITE 1: Découvrir une variable aléatoire continue Partie A : Variable aléatoire discrète On lance deux dés parfaitement équilibrés à 8 faces, numérotés de 0 à 7. Soit X la variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres obtenus. Après avoir complété le tableau ci-contre avec les moyennes, calculer la probabilité P (2 X 5). Partie B : Variable aléatoire continue sur un intervalle Soit Z la variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres réels x et y choisis au hasard dans l intervalle [0;7]. 1. Déterminer l ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire Z. Comparer cet ensemble à celui des valeurs prises par la variable aléatoire X. 2. On a représenté, en gris ci-contre, l univers de l expérience aléatoire. (a) Justifier que l événement {Z = 2} est représenté par le segment de droite définie par : 0 x 7 ; 0 y 7 et la relation y = 4 x, puis tracer ce segment en bleu. Indiquer de même la représentation de l événement {Z = 5}, puis le tracer en rouge. (b) Expliquer comment représenter les événements {Z 2} et {2 Z 5}. (b) En utilisant un quotient d aires, donner la valeur de P (Z = 2). 2

3 T ES ACTIVITE 2 : Densité de population Dans une région, on a constaté que tout habitant résidait à moins de six kilomètres d un éco-point. 1. Un relevé statistique a permis d établir l histogramme des fréquences ci-contre. Par exemple, 48% des habitants résident à moins d un kilomètre de l éco-point. (a) Quel est le pourcentage d habitants résidant à moins de trois kilomètres de l éco-point? (b) Que vaut la somme des aires des rectangles de l histogramme? 2. On choisit un habitant au hasard. On note X la distance séparant la résidence de cet habitant de l écopoint le plus proche. X est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l intervalle [0; 6[. (a) Compléter : P(0 X <1)=... ; P(1 X <2)=... ; P(1 X <4)= (b) Pour tout entier n compris entre 0 et 6, que représente sur le graphique la somme des rectangles situés à gauche de n sur l axe des abscisses? des aires 3. Une étude plus précise a permis de relever les distances à 0,1 km près et de construire l histogramme cicontre, où chacun des 60 rectangles a pour base 0,1 et pour aire la fréquence de la classe correspondante. Le 1er rectangle a pour hauteur 0, 77 car 7, 7% des habitants (soit une fréquence de 0, 077) résident à moins de 0,1 kilomètre de l éco-point. (a) Que vaut la somme des aires de ces 60 rectangles? (b) Pour tout nombre t d au plus une décimale de l intervalle [0;6[, que représente sur ce graphique la somme des aires des rectangles situés à gauche de t sur l axe des abscisses? Si on fait une enquête de plus en plus précise, on voit apparaître une courbe comme celle tracée sur la figure précédente. Cette courbe représente une fonction f définie sur [0; 6[, appelée densité de probabilité de la loi de X. (a) Soit t un nombre réel appartenant à [0;6[. En opérant comme pour les questions 2.(b) et 3(b), dire ce que représente P (0 X t) sur ce graphique. (b) On a relevé que 0, 2% des habitants résidaient entre 1, 21 et 1, 23 kilomètres de l éco-point. Calculer P(1,21 X 1,23). (c) Conjecturer la valeur de P (X = 1, 22) et, plus généralement, celle de P (X = t), où t [0; 6[. 3

4 CALCUL DE PROBABILITE: DEFINITION 3: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle [a;b] muni d'une fonction de densité f. On définit la loi de probabilité de densité f de X, en associant à tout intervalle [c;d] inclus dans [a; b], la probabilité de l'événement X [c;d] c'est-à-dire c X d, égale à l'aire du domaine D = {M(x;y) tels que : c x d et 0 y f (x)}, c'est-à- dire l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = c et x = d. On a alors : P(X [c;d])= f(x)dx. Ou encore : P(c X d)= f (x)dx. Propriétés immédiates: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle [a;b] muni d'une fonction de densité f. Alors : (P1) Probabilité d'un point : Pour tout réel c [a ;b]: P(X=c) = 0. (P2) Les bornes n'ont pas d'importance. Pour tous réels c,d [a;b] : P(c X d) = P(c X<d) = P(c<X d) = P(c<X<d) (P3) Événement contraire. Pour tout nombre réel c [a ;b]: P(X>c) = P(c<X b) = 1 P(a X<c) = 1 f (x) dx Exemples : Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle [0; 1], muni de la fonction densité f définie par : f (x)=3 x2. - Déterminer P(X = 0,5) - Calculer P(X 0,5) - En déduire P(X>0,5). - Calculer P(0,3<X 0,5) - Calculer P (0,2 X<0,5) (0,3 X<0,9). 4

5 Espérance d'une v.a. à densité On considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé, muni d'une probabilité. Définition 4. Soit X une variable aléatoire continue de densité de probabilité f sur l'intervalle [a;b]. Alors, l'espérance mathématique de X sur [a;b] est définie par : E(X) = x f(x) dx Remarque : Cette formule constitue un prolongement dans le cadre continu de l espérance d une v.a. discrète. En effet : E(X )= xi pi a x f (x)dx. Le symbole est remplacé par le symbole et la probabilité p par f (x)dx. On va découvrir TROIS LOIS DE PROBABILITES à DENSITE, mais il en existe d autres. III. LA PREMIERE LOI: LA LOI UNIFORME Activité 3: Decouvrir la loi uniforme A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, choisir un nombre au hasard. L'instruction ALEA( ) sur un tableur ou RAND# ou nbraleat() sur une calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1, exclus. a) Y a-t-il un nombre qui a plus de chance d'apparaître que les autres nombres? b) Calculer la probabilité de l'événement «le nombre choisi appartient à l'intervalle I = [0,15 ; 0,17[ et possède exactement trois décimales». c) Même question avec «le nombre choisi appartient à l'intervalle J=[0,2 ;0,5[ et possède exactement trois décimales». d) Calculer l'amplitude de chacun des intervalles I et J précédents. Faites une conjecture pour calculer la probabilité de de l'événement «le nombre choisi appartient à l'intervalle K = [c; d[ contenu dans [0;1[». 5

6 CORRECTION: Tout d'abord, pour les différents calculs, je détermine une primitive F de la fonction f. f (x)=3 x2, donc la fonction F définie par F(x)=x3 est une primitive de f sur [0,1]. [Je n'ai pas besoin de la constante pour le calcul de ces intégrales, puisqu'elle disparaît en faisant la soustraction F(b) F(a)]. 0,5 a) P ( X = 0,5) = P(0,5 X 0,5)= 0,5 f (x)dx=0. P(X 0,5)=P(0 X 0,5)= 0 f(x)dx= 0 3x dx=f(0,5) F(0)=(0,5) 0=0,125 0,5 0, L'événement "X > 0,5" est l'événement contraire de " X 0,5 ". Donc P (X > 0,5) = 1 P(X 0,5) = 1 0,125 = 0,875. 0,5 0,5 2 P(0,3 X 0,5)= 0,3 f(x)dx= 0,3 3x dx P(0,3 X 0,5)=F(0,5) F(0,3)=(0,5)3 (0,3)3=0,125 0,027=0,098 Par définition d'une probabilité conditionnelle : P(0,2 X<0,5)(0,3 X<0,9)=PX [0,2;0,5] (X [0,3;0,9])=P(X [0,2;0,5] [0,3;0,9]) Donc P (0,2 X<0,5) 0,5 P(X [0,2;0,5]) 0,5 P(X [0,2;0,5]) (0,3 X<0,9)=P(X [0,3;0,5])= 0,3 f(x)dx 0,2 f(x)dx F(0,5) F(0,3) (0,5)3 (0,3)3 0,098 = F(0,5) F(0,2)=(0,5)3 (0,2)3=0,117 0,838 CQFD. CORRECTION a) Naturellement, il n'existe pas de nombre «privilégié». Tous les nombres compris entre 0 et 1 ont la même chance d'apparaître que les autres nombres. On pourrait assimiler ce choix aléatoire à une «situation d'équiprobabilité»! b) On pose : Ω1 = l'ensemble des nombres de [0 ; 1[ qui possèdent exactement trois décimales. Ω1 contient exactement 1000 nombres qui possèdent exactement trois décimales, de 0 = 0,000 à 0,999. Soit A l'événement «le nombre choisi appartient à l'intervalle I = [0,15 ; 0,17[ et possède exactement trois décimales». A contient 20 nombres qui possèdent exactement trois décimales, de 0 = 0,150 à 0,169 inclus dans l'intervalle [0,15 ; 0,17[. Par conséquent, comme nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, on a : P(A)=Nombre d 'issues favorables=card(a)= 20 =0,02 Nombre d ' issues possibles card Ω c) Soit B l'événement «le nombre choisi appartient à l'intervalle J = [0,2 ; 0,5[ et possède exactement trois décimales». B contient 20 nombres qui possèdent exactement trois décimales, de 0 = 0,200 à 0,499 inclus dans l'intervalle [0,2 ; 0,5[. Par conséquent, comme nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, on a : P(B)=Nombred 'issues favorables=card(b)= 300 =0,3 Nombre d ' issues possibles card Ω c) La longueur d'un intervalle [a;b] ou [a;b[ ou ]a;b[ est égale à (b a). Par conséquent longueur(i) = longueur([0,15 ; 0,17[) = 0,02. et longueur(j) = longueur([0,2 ; 0,5[) = 0,3. Conjecture «Il semble que la probabilité que "le nombre choisi appartienne à un intervalle K =[c;d [ contenu dans [0;1[" soit égale à la longuer de cet intervalle». Soit : P(X [c;d[)=d c ou encore P(X [c;d[)=d c. 1 0

7 III. LOI UNIFORME: Définition : Soient a et b deux nombres réels distincts. Soit X une variable aléatoire continue sur l'intervalle [a;b]. On dit que la v.a. X suit une loi uniforme lorsque sa densité de probabilité est une fonction constante sur [a; b], définie par f (x) = k avec k un réel (positif). On dit aussi que la v.a. X est uniformément répartie sur l intervalle [a;b]. Propriété n 1. La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur l'intervalle [a; b] est définie sur [a; b] par : f (x)= Démonstration : Trouvons la fonction f, c est à dire la constante k. f est une fonction constante sur [a; b] donc pour tout x [a ;b] : f (x)=k, où k réel positive. Alors une primitive de f sur [a;b] est F(x)= De plus f(x) dx = 1 car c est une fonction de densité de probabilité. D où f(x) dx = 1 = [ F(b) - F(a) ] = Propriété n 2. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; b]. Alors, pour tout intervalle [c;d] contenu dans [a;b], on a : P(c X d) = Démonstration: P(c X d) = Propriété n 3. Soient a et b deux nombres réels distincts. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; b]. Alors, l'espérance de X est donnée par : E(X)= Démonstration: E(X)= 6

8 IV. LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE Activité: Découverte de la loi normale centrée réduite. Une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B (n, p), de paramètres n et p, est une v. a. qui compte le nombre de succès lors de la répétition de n expériences de Bernoulli indépendantes avec, P(Succés) = p. Les éléments caractéristiques d'une loi binomiale sont : Espérance: m = E(X) = np, Variance: V(X) = np(1 p) = σ Ecart Type: σ(x) = V(X) = np(1 p) Si X est une variable aléatoire donnée, d'espérance E(X) = m, Alors la variable aléatoire définie par Y = X m, a une espérance E(Y) = m m = 0. On dit que Y est la variable aléatoire centrée associée à X. En effet, lorsqu'on soustrait la valeur moyenne à toutes les valeurs d'une série statistique, on obtient une moyenne égale à 0. D'autre part, Si X est une variable aléatoire donnée, de variance V(X) = σ 2. Alors la variable aléatoire définie par Z = X/σ, a une variance V(Z) = V(X)/σ 2 = 1. On dit que Z est la variable aléatoire réduite associée à X. En effet, lorsqu'on divise toutes les valeurs par l'écart-type, on obtient un écart-type égal à 1. 7

9 IV. LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE c) COMMENT CALCULER LES PROBABILITES? AVEC LA CALCULATRICE! Calcul des probabilités à la calculatrice pour la Loi normale centrée réduite N(0;1) ou La loi normale N(µ;σ2 ) : 8

10 Exercices: EXERCICE 1: Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients ont choisi l'option «Livraison Express». On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande. On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention «Livraison Express». 1 Déterminer la loi probabilité de X. Quelle est son espérance mathématique? 2 On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire X 240 /12 par la loi normale centrée réduite. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. a) Montrer que P(225 X 270)=P( 1,25 Z 2,5). b)quelle est la probabilité, arrondie à 10 3 près, que le nombre de bons portant la mention «Livraison Express» soit compris entre 225 et 270? c) Déterminer la probabilité, arrondie à 10 3 près, qu'au moins 276 bons portent la mention «Livraison Express». EXERCICE 2 (Extrait des documents ressources) : La masse en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut être modélisée par une loi normale de moyenne µ = 3,3 et d écart-type σ = 0,5. Calculer la probabilité qu un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance. 9

11 IV. Loi normale N(µ,σ2) 1) Définition Une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ,σ2 ) si la variable aléatoire Z = X µ / σ suit la loi normale centrée réduite N (0,1). Si une v.a. X suit une loi normale N(µ,σ2 ), alors E(X)=µ, V(X)=σ2 et σ= V(X) Attention! Lorsqu'on écrit "X suit la loi N(40;5 )", cela signifie que la valeur moyenne de X est bien E(X) = 40, alors que 5 désigne la variance de X, donc l'écart-type est σ= 5. 2) Courbe de la fonction de densité de probabilité Soit X une v.a.continue qui suit une loi normale N(µ,σ2 ), alors : 1 ) La courbe représentative Cf de sa fonction f de densité de probabilité possède un axe de symétrie: C est la droite d équation x = µ. 2 ) La courbe représentative Cf est "pointue" si 0 < σ <1 et Cf est "étalée" si σ >1. 3) Calcul de probabilités : Les intervalles «Un, deux, trois sigmas» P(µ σ X µ+σ)=0, = 68,3% P(µ 2σ X µ+2σ)=0, = 95,5% P(µ 3σ X µ+3σ)=0, = 99,7% 5) Exercice : Déterminer t connaissant la valeur de P(X< t) Exemple : Soit X une v.a. continue qui suit une loi normale N(10; 0,82). Déterminer une valeur approchée de t au centième près telle que 1 ) P(X t)=0,95 2 ) P(X t)=0,85. 1 ) Pour déterminer t telle que : P(X t)=0,95 on utilise les instructions inverses sur la calculatrice. 2 ) Pour déterminer une valeur approchée de t telle que P(X t)=0,85, sur Casio, il suffit de remplacer "Left" par "Right". On obtient directement t 9,17. Sur Texas : On fait une petite transformation : P(X t)=1 P(X t)=1 0,85=0,15 Avec la procédure ci-dessus, on cherche t telle que P(X t)=0,15 et obtient : t 9,