Variables aléatoires à densité

Transcription

1 BCPST Variables aléatoires à densité I Variables aléatoires à densité A) Dénition Dénition : Soit f : R R. On dit que f est une densité de probabilité si et seulement si : f est positive ou nulle. f est continue sauf éventuellement en un nombre ni de points. f(t) dt converge et f(t) dt = Remarque: Rappel On note x < x 2 < < x n sont les points de discontinuité de f, x 0 = et x n+ = + On dit que l'intégrale xi+ x i f(t) dt avec 0 i n convergent. Et on dénit : n f(t) dt = i=0 Exemple : Soit f dénie sur R par f(t) = 2 e t. Montrer que f est une densité de probabilité. f(t) dt converge si et seulement si toutes les intégrales xi+ x i f(t) dt Dénition : Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et F sa fonction de répartition. On dit que X est une variable aléatoire à densité s'il existe une densité de probabilité f telle que : x x R, F (x) = f(t) dt f est appelée densité de X Remarque: On note x < x 2 < < x n sont les points de discontinuité de f, x 0 = et x n+ = + Soit x R. Il existe un unique k 0, n tel que : x k x < x k+. On a alors : k F (x) = i=0 xi+ x i f(t) dt + x x k f(t) dt Remarque: Une telle fonction f n'est pas unique. C'est pourquoi dit que f est une densité de X. En particulier, si g est une fonction qui ne dière de f qu'en un nombre ni de points, g est aussi une densité de X C. Courant page

2 Soit f une densité de probabilité, on admet qu'il existe une variable aléatoire X admet f comme densité. B) Fonctions de répartition Soit X une variable aléatoire à densité, de densité f, et F sa fonction de répartion. F est croissante. lim F (x) = 0, lim F (x) = x x + F est continue sur R. F est de classe C sauf éventuellement en un nombre ni de points. En dehors de ces points, on a F = f. Démonstration : Réciproque Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F. On suppose : F est continue sur R. F est de classe C sauf éventuellement en un nombre ni de points. Alors X est à densité et une densité est donnée par f = F aux points où F est dérivable, et par ce qu'on veut ailleurs. Démonstration : Comment montrer qu'une variable aléatoire est à densité? Calculer sa fonction de répartition de F. Méthode Vérier que F est continue sur R. Vérier que F est C sauf éventuellement en un nombre ni de points ; Aux points où F est dérivable, la densité est donnée par f = F et par ce qu'on veut ailleurs. (souvent on choisit 0). Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f. On a : a R, P([X = a]) = 0 a, b R 2, P([a X b]) = b a f(t) dt C) Fonction d'une variable aléatoire à densité Positionnement du problème : Soit X une variable aléatoire à densité f et φ une fonction telle que X(Ω) Def(φ). On considère Y = φ(x) et on souhaite savoir si Y est à densité. Soit X une variable aléatoire à densité f et (a, b) R 2. On suppose a 0. Alors Y = ax + b est une variable aléatoire à densité. Démonstration : Étudier P(Y y) suivant le signe de a C. Courant page 2

3 Remarque: Si a = 0, Y est certaine, et donc elle n'est pas à densité. Cas général Si φ est de classe C, étudier P(Y y) = P(φ(X) y) (et sa dérivée) en faisant intervenir le sens de variation de φ. Méthode Si φ n'est pas monotone, dresser le tableau de variation de φ et s'aider du graphe de φ. Exemple : Soit X une variable à densité f. Etudier Y = exp(x). Soit X une variable à densité f et soit n un entier. Alors X n est à densité. D) Somme de variables aléatoires à densité indépendantes Dénition : Produit de convolution Soit f et g deux densités de probabilités sur R. On appelle produit de convolution de f et de g l'application : f g : z f(x)g(z x) dx Cette intégrale impropre est eectivement convergente pour tout z R. Théorème : Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de densité respectives f X et f Y. Alors Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est f X f Y Ainsi, une densité de Z est : f Z : t et sa fonction de répartition est : P(Z z) = F (z) = x= z t= f X (x)f Y (t x) dx x= f X (x)f Y (t x) dx dt Corollaire : Si de plus X et Y sont à valeurs positives ou nulles, alors une densité de X + Y est l'application f : R R z f X (x)f Y (z x) dx si z 0 z 0 0 sinon C. Courant page 3

4 E) Minimum et maximum de variables aléatoires à densité indépendantes Soit (X k ) k n n variables aléatoires à densité indépendantes. On note f k une densité de X k et F k sa fonction de répartition. On s'intéresse à M n = max k n X n et m n = min k n X k. Maximum Soit x R, on étudie F (x) = P(M n x) en remarquant : Méthode P(M n x) = P(X x, X 2 x,..., X n x) = P(X x)p(x 2 x)... P(X n x) = F (x)f 2 (x)... F n (x) On remarque que F est continue sur R et C sauf en un nombre ni de points car F,..., F n le sont. On conclut que M n est à densité et on obtient une densité par dérivation de F. Minimum Soit x R, on étudie F (x) = P(m n x) en remarquant : Méthode P(m n > x) = P(X > x, X 2 > x,..., X n > x) = P(X > x)p(x 2 > x)... P(X n > x) = ( F (x))( F 2 (x))... ( F n (x)) On a alors F (x) = ( F (x))( F 2 (x))... ( F n (x)) On remarque que F est continue sur R et C sauf en un nombre ni de points car F,..., F n le sont. On conclut que m n est à densité et on obtient une densité par dérivation de F. II Espérance et variance A) Dénition Dénition : Espérance Soit X une variable aléatoire réelle de densité f. Si tf(t) dt est absolument convergente, on dit que X admet une espérance. Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note E(X) la valeur tf(t) dt. B) Linéarité de l'espérance Soit X variable aléatoire à densité sur R admettant une espérance. Soient α et β deux réels. Alors, αx + β admet une espérance. De plus : E(αX + β) = αe(x) + β C. Courant page 4

5 Théorème : Linéarité de l'espérance Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant toutes deux une espérance. On suppose que X + Y est aussi à densité. Alors X + Y admet une espérance et on a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Dénition : Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et que celle-ci est nulle. Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance. Alors X E(X) est centrée. C) Théorème de transfert Théorème : Soient X une variable aléatoire de densité f, et φ une fonction continue sur un intervalle I, sauf en un nombre ni de points. On suppose que Y = φ(x) est une variable aléatoire à densité. Y admet une espérance si et seulement si Dans ce cas, E(Y ) = φ(t)f(t) dt. φ(t)f(t) dt est absolument convergente. Exemple : Soit X une variable à densité f et Y = exp(x). Montrer le théorème de transfert dans ce cas. Si X admet pour densité la fonction f dénie par f(t) = 2 exp( t ), étudier E(Y ). D) Variance Dénition : Variance Soit X une variable aléatoire à densité. On dit que X admet une variance et on note si cette espérance existe. V(X) = E ( (X E(X)) 2) Remarque: X 2 admet une espérance si et seulement si X admet une espérance et une variance. Formule de Koenig Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une espérance et une variance. On a : V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Démonstration : C. Courant page 5

6 Dénition : Ecart-type Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. On dénit l'écart-type de X par σ(x) = V(X) Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. Soit a, b R. Alors : V(aX + b) = a 2 V (X), σ(ax + b) = a σ(x) Dénition : Soit X une variable à densité admettant une variance. On dit que X est centrée et réduite si E(X) = 0 et V (X) =. Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance. On appelle variable aléatoire centrée réduite associée à X, la variable aléatoire X dénit par : Elle est centrée réduite. X = X E(X) σ(x) E) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème : Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance. On note m = E(X) et σ = σ(x) = V (X). Soit ε > 0. P ([ X m ε]) σ2 ε 2 Démonstration : Lemme : Inégalité de Markov Soit Y une variable aléatoire positive et à densité, admettant une espérance. Soit t R +. On a : P ([Y t]) E(Y ) t Démonstration : Appliquer le lemme à Y = (X m) C. Courant page 6

7 III Loi uniforme A) Dénition Dénition : Soit a et b deux réels a < b. On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour densité la fonction On note X U([a, b]). f : R R { x b a si x [a, b] 0 sinon B) Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b]. Notons F sa fonction de répartition. On a : F : R R t 0 si t < a t a b a si a t b si t > b j b a F j a O i b a O i b C) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b]. On a : E(X) = a + b (b a)2, V (X) = C. Courant page 7

8 IV Loi exponentielle A) Dénition Dénition : Soit λ > 0. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction On note : X E(λ). f : R R { 0 si x < 0 x λe λx si x 0 B) Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Notons F sa fonction de répartition. On a : F : R R { 0 si t < 0 t exp( λt) si t 0 f j F j O i O i C) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On a : E(X) = λ, V (X) = λ 2 D) Invariance temporelle Théorème : Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Soient s, t R +. P [X>t] (X s + t) = P(X t) C. Courant page 8

9 V Loi normale A) Dénition Dénition : On dit que X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction On note : X N (0, ) f : R R x 2π exp ) ( x2 2 Dénition : Soit m R et σ R +. On dit que X suit la loi normale de paramètre m et σ 2 si elle admet pour densité la fonction On note : X N (m, σ 2 ) f : R R ) (x m)2 x exp ( 2πσ 2σ 2 B) Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale centrée réduite. Notons Φ sa fonction de répartition. On a : Φ vérie les propriétés suivantes : Φ(0) = 2 t R +, Φ( t) = Φ(t) Φ : R R t t ) exp ( x2 dx 2π 2 φ ne s'exprime pas simplement, on utilise des tables de la loi normale. f F j j O i O i C. Courant page 9

10 C) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale de paramètre m et σ. On a : E(X) = m, V (X) = σ 2 D) Loi de ax + b Soit X une variable aléatoire admettant une espérance m et une variance σ 2 avec σ > 0. Soit a R et b R. On a : ax + b N (am + b, a 2 σ 2 ) Remarque: Soit X une variable aléatoire. On suppose X N (m, σ 2 ) Alors X N (0, ) E) Sommes de gaussiennes indépendantes Théorème : Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On suppose : X N (m, σ 2 ) e t Y N (m, σ 2 ) Alors X + Y N (m + m, σ 2 + σ 2 ) Ce résultat se généralise au cas de n variables aléatoires gaussiennes et indépendantes C. Courant page 0

11 F) Table de la loi normale centrée réduite On tabule ici les valeurs de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite N (0, ). Par dénition, φ(x) = x e t2 /2 dt 2π Les décimales se lisent sur les lignes, et on ajoute les centièmes rangés en colonnes. Par exemple, la valeur de Φ(, 93) est donnée à l'intersection de la ligne, 9 et de la colonne 0, 03, et l'on peut lire Φ(, 93) = 0, 9732, à 0 4 près. Au delà de la valeur x = 3, 9, la valeur de Φ(x) est presque égale à (toujours à 0 4 près), elle n'est donc plus tabulée. Enn, pour les valeurs négatives de x, on utilise la relation Φ( x) = Φ(x) x C. Courant page

12 VI Simulations de loi A) Obtenir un tracé expérimental de la densité L'objectif est le suivant : On dispose d'un nombre important de simulations d'une variable aléatoire dont on soupçonne qu'elle puisse être à densité. On voudrait un tracé expérimental d'une densité. On note X la variable aléatoire, F sa fonction de répartiton, et f une densité. Obtenir un graphique d'une densité Soit L la liste comprenant les simulations de la variable aléatoire. Méthode On calcule le minimum m et le maximun M de la liste L On discrétise l'intervalle [m, M] en un certain nombre N de petits intervalles. (Par exemple N = 30) On pose alors h = M m et pour i 0, N, on pose x i = m + i h N Une valeur approchée de la fonction de répartition F en x est donnée par la fréquence des simulations vériant X x. Une valeur approchée de la densité en x i est donnée par F (x i+) F (x i ) h On compte donc le nombre n i de simulations dans l'intervalle [x i, x i+ ] et on considère n i donc que f(x i ) len(l) h Faire un graphique! from random import random import matplotlib. pyplot as plt from math import import numpy as np d e f densite ( L ) : m = min ( L ) M = max( L ) h = ( M m ) /30 f = [ 0 ] 3 f o r x i n L : k = floor ( ( x m ) / h ) f [ k ] += f o r k i n range ( l e n ( f ) ) : r e t u r n f f [ k ] = f [ k ] / ( l e n ( L ) h ) d e f densite_graphe ( L ) : f = densite ( L ) m = min ( L ) M = max( L ) X = [ m + i ( M m ) /30 f o r i i n range ( 3 ) ] plt. plot ( X, F ) plt. show ( ) On peut aussi faire : import matplotlib. pyplot as plt histogramme tout fait plt. hist ( s, 00, normed=true ) # normed = True permet l a r e p r é s e n t a t i o n de l a d e n s i t é. plt. show ( ) C. Courant page 2

13 B) Loi uniforme d e f uniforme ( a, b ) : r e t u r n ( b a ) random ( ) +a Loi uniforme C) Loi exponentielle d e f expon ( mu ) : x=random ( ) r e t u r n ( log( x ) / mu ) Loi exponentielle Loi exponentielle toute faite np. random. exponential ( beta, N ) # s i m u l e N f o i s une l o i e x p o n e n t i e l l e # de param è t r e mu=/ beta D) Loi normale On cherche à simuler une loi normale centrée réduite. Pour le cas général, on utilise que si X N (0, ) alors σx + µ N (µ, σ 2 ). On peut utiliser la même idée que pour la loi exponentielle. Cependant, on ne connait pas de forme explicite Φ. Il faudra utiliser des approximations : la fonction norm.ppf du module scipy.stats nous fournit la fonction. from scipy. stats import d e f normal ( mu, sigma ) : x = random ( ) r e t u r n sigma norm. ppf ( x )+mu Loi normale Mais bien sûr, c'est déjà programmé dans python (avec des méthodes bien plus précises) : np. random. normal ( mu, sigma, N ) Loi normale toute faite C. Courant page 3

14 BCPST V. A. à densité Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordre cosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs(*)... Elle règne avec sérénité et en toute abnégation au milieu de la confusion sauvage. Francis Galton (*) loi normale Exercice : /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad07.tex On note f la fonction dénie sur R par : x R, f(x) = π( + x 2 ) ) Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f comme densité : on dit que X suit la loi de Cauchy 2 ) a) Déterminer la fonction de répartition de X. b) Calculer les probabilités : P (X 0), P (X 0), P (X ) et P (X ). c) La variable aléatoire X admet-elle une espérance? Si oui, la calculer. 3 ) Soit V ] une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur π, [ π 2 2 Montrer que tan V suit la loi de Cauchy. 4 ) a) On pose h la fonction dénie sur R \ par h(x) = + x x Étudier les variations de h. b) On dénit la variable aléatoire Y = + X. Montrer que Y suit également la loi de Cauchy. X Exercice 2: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad04.tex ) Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, ]. On dénit Y = X 2. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y. 2 ) Espérance et variance de Y? Exercice 3: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad05.tex Soit X une va suivant une loi normale de paramètre m et σ. On pose Y = exp X. Déterminer la fonction de répartition de Y, ainsi que son espérance et sa variance. Exercice 4: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad02.tex Pour cet exercice, on utilisera une table de la loi normale centrée réduite. Une société de service en informatique veut répondre à un appel d'ore pour réaliser le portail web C. Courant Exercices : I

15 BCPST 952 Exercices : V. A. à densité Lycée du parc d'une entreprise. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres m et σ où m vaut 400 jours et σ, 20 jours. ) Quelle est la probabilité qu'il soit eectivement ni avant 400 jours? Avant 40 jours? 2 ) Quelle durée devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de nir dans les temps? 3 ) Le commercial décide qu'on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le projet est réalisable en 350 jours. Quelle est la probabilité que le projet soit ni dans les temps? Exercice 5: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad03.tex La Société Anonyme B.-N. fabrique des nains (de jardin) d'une hauteur moyenne de mètre. Notons X la hauteur d'un nain en bout de la chaîne de fabrication. On supposera que X suit une loi normale de paramètres m et σ, telle que E(X 2 ) =, 0. ) Déterminer m et σ. 2 ) Quelle est la probabilité qu'un nain mesure entre 98 centimètres et, 02m? Exercice 6: Loi du χ 2 /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad06.tex Soit Y une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X = Y 2 et montrer que X admet une densité que l'on déterminera. Déterminer espérance et variance de X. Exercice 7: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/covac/covad7.tex Soit f(x) = xe x si x 0 et f(x) = 0 sinon. ) Montrer que f est une densité de probabilité. 2 ) Trois personnes A, B, C arrivent à deux guichets. C, par courtoisie, laisse passer A et B puis prendra la place du premier parti. On note T A et T B les temps de passage au guichet de A et B. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent f pour densité. Soit M le temps d'attente de C. T A admet-elle une espérance? Si oui, la calculer. 3 ) Donner la loi de M. 4 ) Soit Y la partie entière de T A. Donner la loi de Y. Exercice 8: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/covac/covad20.tex Soit (X i ) i 2n+ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi uniforme sur [0, ]. On les range dans l'ordre croissant et on dénit la médiane M n, c'est-à-dire la n + -ième valeur. ) Montrer : x [0, ], P (M n x) = 2n+ i=n+ ( 2n + i ) x i ( x) 2n+ i C. Courant Exercices : II

16 BCPST 952 Exercices : V. A. à densité Lycée du parc 2 ) Montrer que M n est à densité et qu'elle admet une espérance. 3 ) Calculer E(M n ). On rappelle que 0 x p ( x) q dx = p!q! (p + q + )!. Exercice 9: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/covac/covad29.tex Soit (X n ) n 0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi E(). ) Loi de X k k? 2 ) Montrer que Z n = max(x,..., X n ) et 3 ) Montrer que Z n admet une espérance et une variance. n i= X i i Montrer que : E(Z n ) n et n V(Z n) n suivent la même loi. Exercice 0: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/covac/covad05.tex Roméo et une Juliette se donnent rendez-vous à minuit (sous un balcon). L'heure d'arrivée de la Juliette suit une loi normale d'espérance minuit et d'écart-type 4 minutes. L'heure d'arrivée de Roméo suit une loi normale d'espérance minuit et cinq minutes (il a envie de se faire attendre) et d'écart-type 3 minutes. Elle est prête à attendre au plus 0 minutes, lui au plus 5 minutes. Quelle est la probabilité que cette grande histoire d'amour ne commence jamais? Exercice : /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad26.tex A l'aide de la loi normale, calculer les intégrales suivantes : ) 2 ) 3 ) e 2x2 4x 2 dx xe 2x2 2x dx x 2 e 2x2 8x dx 4 ) 5 ) 6 ) e 2x2 4x dx x 3 e 2x2 4x dx x 4 e 2x2 6x dx Exercice 2: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad24.tex Une usine a une chaine de montage. On commence à fabriquer des objets à l'instant t = 0. Il y a n machines qui travaillent en parallèle. On note X i le temps de fabrication d'un objet sur la i-ème machine. Lorsque l'objet est fabriqué, la machine s'arrête. On suppose que X i U([0, ]). Soit t [0, ] C. Courant Exercices : III

17 BCPST 952 Exercices : V. A. à densité Lycée du parc ) Soit N t le nombre d'objet fabriqués à l'instant t. Reconnaitre la loi de N t. 2 ) Soit T k le temps nécéssaire à la fabrication de k objets. Montrer P(T k t) = P(N t k). Exprimer P(T k t) comme une somme. 3 ) Montrer que T k est à densité et qu'une densité est donnée par 4 ) Déterminer l'espérance de T k. f k (t) = n! (k )!(n k)! tk ( t) n k Exercice 3: Soit n N et f n dénie par ) Montrer : x R +, Montrer que /home/carine/dropbox/952maths/basexo/proba/vac/vad32.tex 0 x 0 e t t n si f n (t) = t > 0 n! 0 sinon f n (t) dt = e x x n + n! x 0 f n+ (t) dt. f n (t) dt =. En déduire que f n est une densité de probabilité. 2 ) Soit X n admettant f n comme densité de probabilité. Montrer que X n admet une espérance et une variance et les calculer. 3 ) Soit Y t P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant 0 et l'instant t. Soit Z n le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées. a) Montrer [Z n t] = [Y t n] b) En déduire que Z n admet une densité de la forme f k avec k à préciser C. Courant Exercices : IV