Probabilités. Convergences des variables aléatoires. Julian Tugaut

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1 Convergences des variables aléatoires Télécom Saint-Étienne 2014

2 Sommaire 1 Convergence simple 2 3 4

3 Plan 1 Convergence simple 2 3 4

4 Définition Étudions pour l instant un exemple de topologie que vous avez déjà vue : celui de la convergence simple. En effet, on rappelle qu une variable aléatoire réelle est une fonction de l espace fondamental Ω vers R. On peut donc naturellement munir l ensemble des variables aléatoires de cette topologie.

5 Définition Étudions pour l instant un exemple de topologie que vous avez déjà vue : celui de la convergence simple. En effet, on rappelle qu une variable aléatoire réelle est une fonction de l espace fondamental Ω vers R. On peut donc naturellement munir l ensemble des variables aléatoires de cette topologie. En d autres termes, on dit que la suite de variables aléatoires réelles (X n ) n converge vers X si X n (ω) converge vers X(ω) pour tout ω Ω.

6 Définition Étudions pour l instant un exemple de topologie que vous avez déjà vue : celui de la convergence simple. En effet, on rappelle qu une variable aléatoire réelle est une fonction de l espace fondamental Ω vers R. On peut donc naturellement munir l ensemble des variables aléatoires de cette topologie. En d autres termes, on dit que la suite de variables aléatoires réelles (X n ) n converge vers X si X n (ω) converge vers X(ω) pour tout ω Ω. Remarque Cette convergence est à peu près inutile en probabilités. On ne s en servira jamais. En effet, cette topologie n exploite pas la mesure de probabilité P dont on a muni l espace fondamental. Présentons maintenant un exemple qui justifie brièvement pourquoi la convergence simple est dépourvu de tout intérêt lorsque l on fait des probabilités.

7 Exemple Exemple Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires iid suivant la loi PX 1 = 1 2 δ δ 1. Lorsque le nombre n de lancers est grand, on s attend à ce que l on ait X 1 (ω)+ +X n (ω) lim = 1 n n 2 pour tout ω Ω. Or, cette limite est fausse pour certains ω.

8 Exemple Exemple Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires iid suivant la loi PX 1 = 1 2 δ δ 1. Lorsque le nombre n de lancers est grand, on s attend à ce que l on ait X 1 (ω)+ +X n (ω) lim = 1 n n 2 pour tout ω Ω. Or, cette limite est fausse pour certains ω. De manière plus générale, si l on pose il vient A := {ω Ω : il n y a qu un nombre fini de faces}, pour tout ω A. X 1 (ω)+ +X n (ω) lim = 0 n n

9 Remarque On pourra objecter à l exemple ci-dessus que l évènement A est peu probable.

10 Remarque On pourra objecter à l exemple ci-dessus que l évènement A est peu probable. On peut d ailleurs facilement vérifier, en utilisant l indépendance que sa probabilité est égale à 0. Or, seuls les évènements de probabilités positives nous intéressent.

11 Remarque On pourra objecter à l exemple ci-dessus que l évènement A est peu probable. On peut d ailleurs facilement vérifier, en utilisant l indépendance que sa probabilité est égale à 0. Or, seuls les évènements de probabilités positives nous intéressent. On pourrait montrer en utilisant la loi des grands nombres - que l on ne verra pas dans ce cours - que l on dispose de la limite suivante : ({ X 1 (ω)+ +X n (ω) P ω : lim = 1 }) = 1. n n 2

12 Remarque On pourra objecter à l exemple ci-dessus que l évènement A est peu probable. On peut d ailleurs facilement vérifier, en utilisant l indépendance que sa probabilité est égale à 0. Or, seuls les évènements de probabilités positives nous intéressent. On pourrait montrer en utilisant la loi des grands nombres - que l on ne verra pas dans ce cours - que l on dispose de la limite suivante : ({ X 1 (ω)+ +X n (ω) P ω : lim = 1 }) = 1. n n 2 En d autres termes, on n a pas convergence pour tout ω mais uniquement pour presque tout ω, ou dit plus rigoureusement, pour P-presque tout ω. C est typiquement cette convergence presque sûre qui nous intéresse.

13 Plan 1 Convergence simple 2 3 4

14 Convergence presque sûre Définition : Convergence presque sûre Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge presque sûrement vers X si P(Λ) = 1 où l on a Λ := { } ω Ω : limx n (ω) = X(ω). n

15 Convergence en moyenne d ordre p Définition : Convergence dans L p (p [1; [) Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge vers X dans L p si les variables aléatoires X n et X sont dans L p (c est-à-dire que l on a E[ X n p ] < et E[ X p ] < ) et si l on a de plus lime[ X n X p ] = 0. n

16 Convergence en moyenne d ordre p Définition : Convergence dans L p (p [1; [) Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge vers X dans L p si les variables aléatoires X n et X sont dans L p (c est-à-dire que l on a E[ X n p ] < et E[ X p ] < ) et si l on a de plus lime[ X n X p ] = 0. n On dit aussi que X n converge en moyenne d ordre p vers X. Les convergences qui nous intéressent le plus sont pour p = 1 et pour p = 2.

17 Propriété de la convergence en moyenne Lemme Si X n converge vers X dans L 1, alors E[X n ] converge vers E[X].

18 Propriété de la convergence en moyenne Lemme Si X n converge vers X dans L 1, alors E[X n ] converge vers E[X]. Exercice Donner la preuve du lemme précédent.

19 Convergence en probabilité Définition : Convergence en probabilité Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge en probabilité vers X si pour tout ǫ > 0, on a la limite suivante : limp({ω : X n (ω) X(ω) > ǫ}) = 0. n

20 Convergence en probabilité Définition : Convergence en probabilité Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge en probabilité vers X si pour tout ǫ > 0, on a la limite suivante : limp({ω : X n (ω) X(ω) > ǫ}) = 0. n Plus simplement, on dit que X n converge en probabilité vers X si P( X n X > ǫ) 0 pour tout ǫ > 0.

21 Plan 1 Convergence simple 2 3 4

22 - 1 Théorème Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires. On suppose que X n converge vers une variable aléatoire X dans L p où p [1; [. Alors X n converge en probabilité vers X.

23 - 1 Théorème Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires. On suppose que X n converge vers une variable aléatoire X dans L p où p [1; [. Alors X n converge en probabilité vers X. Preuve ( ) P( X n X > ǫ) = E 1 { Xn X >ǫ}. Or, sur l évènement { X n X > ǫ}, on a Xn X p ǫ p ( Xn X p ) P( X n X > ǫ) E ǫ p 1 Xn X >ǫ. Puis, comme 1 { Xn X >ǫ} 1, on trouve > 1. Il vient ainsi P( X n X > ǫ) 1 ǫ pe( X n X p ) 0.

24 - 2 Propriété Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires. Alors, X n converge vers X en probabilité si et seulement si ( ) Xn X lime = 0. n 1+ X n X

25 - 3 Théorème Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires. On suppose que X n converge presque sûrement vers une variable aléatoire X. Alors X n converge en probabilité vers X.

26 - 3 Théorème Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires. On suppose que X n converge presque sûrement vers une variable aléatoire X. Alors X n converge en probabilité vers X. Preuve ( ) Il suffit de prouver la convergence vers 0 de E Xn X 1+ X n X. Pour cela, on utilise le théorème de convergence dominée de Lebesgue qui nous donne ( ) ( ) Xn X X n X lime = E lim = E(0) = 0. n 1+ X n X n 1+ X n X

27 - 4 Théorème On suppose que la suite de variables aléatoires (X n ) n converge en probabilité vers X. Alors, on peut extraire une sous-suite qui converge presque sûrement.

28 - 4 Théorème On suppose que la suite de variables aléatoires (X n ) n converge en probabilité vers X. Alors, on peut extraire une sous-suite qui converge presque sûrement. Théorème On suppose que la suite de variables aléatoires (X n ) n converge en probabilité vers X. On suppose de plus que X n est uniformément bornée par une variable Y L p avec p [1; [. Alors, X L p et X n converge vers X dans L p.

29 - 5 Théorème On suppose que la suite de variables aléatoires (X n ) n converge en probabilité vers X. Soit f une fonction continue. Alors, (f(x n )) n converge en probabilité vers f(x). On a de même avec la convergence presque sûre. On suppose que la suite de variables aléatoires (X n ) n converge presque sûrement vers X. Soit f une fonction continue. Alors, (f(x n )) n converge presque sûrement vers f(x).

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31 Définition Définition : Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On dit que la suite (X n ) n converge en loi vers X si pour toute fonction réelle, continue et bornée sur R, on a la limite lime[f(x n )] = E[f(X)]. n

32 Exemple Convergence simple Donnons un exemple de convergence en loi. Soit X 1 une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre 1 2. On considère X := 1 X 1. Alors, Y suit aussi la loi de Bernoulli de paramètre 1 2. On considère la suite (X n ) n définie par X n := X 1. On a immédiatement la convergence en loi de X n vers X. Pourtant, on a X n = 1 X.

33 Liens avec la convergence en probabilité Théorème Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires définies sur un espace (Ω,P). Soit X une autre variable aléatoire définie sur (Ω,P). On suppose que X n converge en probabilité vers X. Alors X n converge en loi vers X.

34 et fonction de répartition Théorème On suppose que X n converge en loi vers X. Alors, on dispose de la limite lim n F n (x) = F(x) pour tout x tel que F(x) = F(x ). Ici, F est la fonction de répartition de X et F n est celle de X n.

35 et densité Théorème Soit une suite de variables aléatoires (X n ) n et soit X une variable aléatoire. On suppose que X n admet une densité f n et que X admet une densité f. Si la suite de fonctions (f n ) n converge simplement vers f, alors X n converge en loi vers X.

36 et fonction caractéristique Théorème de continuïté de Lévy Soit une suite de variables aléatoires (X n ) n. On note ϕ n la fonction caractéristique de X n. 1) Si X n converge en loi vers une variable aléatoire réelle X, alors ϕ n converge vers ϕ, la fonction caractéristique de X.

37 et fonction caractéristique Théorème de continuïté de Lévy Soit une suite de variables aléatoires (X n ) n. On note ϕ n la fonction caractéristique de X n. 1) Si X n converge en loi vers une variable aléatoire réelle X, alors ϕ n converge vers ϕ, la fonction caractéristique de X. 2) Si ϕ n converge simplement vers une fonction ϕ et si ϕ est continue en 0, alors X n converge en loi vers une variable aléatoire réelle X dont la fonction caractéristique est ϕ.