CHAPITRE 2 ONDES PROGRESSIVES PERIODIQUES

Transcription

1 Introdution à la physique ondulatoire CHAPITRE 2 ONDES PROGRESSIVES PERIODIQUES Notion de périodiité. 1. DEFINITION. Un phénomène est dit périodique s'il se reproduit à intervalles réguliers. 2. CREATION D UNE ONDE PERIODIQUE. On peut réer une onde périodique en perturbant un point du milieu à intervalles de temps réguliers. L'onde est dite pseudo-périodique si l'intensité de la perturbation n'est pas toujours la même. Caratéristiques d une onde périodique. 1. PERIODICITE TEMPORELLE. L'intervalle de temps entre deux perturbations de la soure est appelé période, et se note T. On préfère ependant souvent utiliser deux autres grandeurs : la fréquene f, mesurée en Hz. f = 1 T. la pulsation, mesurée en rad.s -1. ω = 2π T. La période temporelle d'une onde ne dépend que de la soure de la perturbation, et pas du milieu dans lequel elle se propage. 2. PERIODICITE SPATIALE. Lorsqu'une onde est périodique de période T, une perturbation a parouru une distane = vt lorsque la perturbation suivante est réée. Cette distane est appelée longueur d'onde. Deux fronts d'onde suessifs sont don séparés d'une distane. La longueur d'onde dépend de la vitesse de propagation de l'onde, don du milieu de propagation. 3. NOTION DE DOUBLE PERIODICITE. Une onde périodique présente à la fois une périodiité temporelle et une périodiité spatiale. On parle alors de double périodiité.

2 Introdution à la physique ondulatoire Modélisation mathématique d une onde périodique. 1. MATHS ET PHYSICIENS. L'objetif d'un physiien lorsqu'il veut modéliser un phénomène est de trouver la relation mathématique la plus simple possible permettant de dérire fidèlement e phénomène. 2. FONCTIONS PERIODIQUES DE REFERENCE. Deux fontions périodiques servent de référene en maths : le sinus et le osinus. sinx et osx sont identiques à un fateur π 2 près. sin x = os (x π 2 ) L'ajout d'une onstante à une fontion périodique ne modifie pas sa période. On peut modéliser une onde périodique indifféremment à l'aide d'une de es deux fontions sinusoïdales : p(x, t) = p max os(f(x, t)) 3. PERIODICITE TEMPORELLE. A la soure de la perturbation, x = 0. L'amplitude p de l'onde n'y dépend don que du temps. Une onde périodique de période T vérifie la relation p(t+t) = p(t). L'expression la plus simple de p vérifiant ette relation est : p(t) = p max os ( 2π T t + K) 4. PERIODICITE SPATIALE. A un instant donné, l'amplitude p de l'onde ne dépend que de la position du front d'onde, x. Une onde périodique de période vérifie la relation p(x+) = p(x). L'expression la plus simple de p vérifiant ette relation est : p(x) = p max os (K 2π λ x) 5. DOUBLE PERIODICITE. Lorsqu'on extrapole les deux relations préédentes à un instant t quelonque, en un point d'absisse x quelonque de la diretion de propagation, on retrouve la double périodiité d'une onde périodique : p(x) = p max os ( 2π T t 2π λ x) p(x, t) s'érit souvent sous la forme suivante : p(x) = p max os(ωt kx) Influene du milieu sur la propagation d une onde périodique. 1. NOTION DE MILIEU HOMOGENE. Un milieu est dit homogène lorsqu'il a les mêmes aratéristiques en tout point. Une onde se propage don à la même vitesse en tous les points d'un milieu homogène. 2. NOTION DE MILIEU ISOTROPE. Un milieu est dit isotrope lorsqu'il a les mêmes effets sur une onde en tout point Une onde se propageant dans un milieu isotrope subit les mêmes effets partout. Un milieu de propagation dont les effets sur une onde dépendent de l'endroit où se trouve l'onde est dit anisotrope. 3. NOTION DE MILIEU DISPERSIF. Un milieu est dit dispersif lorsque la vitesse de propagation d'une onde au sein de e milieu dépend de sa fréquene. Deux ondes de fréquenes différentes vont alors se propager à des vitesses différentes, et don se séparer.

3 Introdution à la physique ondulatoire Phénomènes spéifiquement périodiques. 1. PHENOMENE DE DIFFRACTION. a. Diffration par une fente. Lorsqu une onde plane progressive arrive sur une fente, elle-i devient une nouvelle soure d une onde qui se propage dans toutes les diretions aessibles. L onde n est alors plus plane, mais irulaire dans la diretion perpendiulaire à la fente. On dit que l onde a subi une diffration. La lumière peut également être diffratée par un trou. L onde sortant du trou est alors diffratée dans toutes les diretions perpendiulaires à sa diretion de propagation. b. Diffration par un obstale. Lorsqu une onde plane progressive arrive sur un obstale de mêmes dimensions qu une fente, elle subit une diffration identique à elle traversant la fente.. Figure de diffration. Lorsqu on plae un éran sur le hemin de l onde issue de la fente (ou de l obstale), on observe une suession de tahes lumineuses, de part et d autre d une tahe entrale deux fois plus large que les tahes latérales. figure de diffration par un trou figure de diffration par une ouverture arrée

4 Introdution à la physique ondulatoire d. Ouverture angulaire et interfranges. On onsidère qu il y a diffration d une onde lorsque la dimension aratéristique de la fente ou de l obstale, notée a, est du même ordre de grandeur ou plus petit que la longueur d onde de l onde. On définit alors l ouverture angulaire θ = λ a En utilisant les notations de la figure i-ontre, et en onsidérant que l ouverture angulaire est suffisamment faible, on a θ tanθ = d D On a alors λ a = d D On peut ainsi, par exemple, déterminer la dimension aratéristique d un objet de petite taille : a = λd d 2. PHENOMENE D INTERFERENCES. a. Contexte historique. En 1801, l homme de sienes britannique Thomas Young fait passer de la lumière à travers un arton peré de deux ouvertures très prohes l un de l autre. Il observe alors un phénomène étrange. La figure observée sur un éran plaé derrière le arton présente une alternane de franges sombres et de franges lairs. b. Notion de train d onde. La lumière peut être dérite, selon les as, omme une onde ou omme une partiule, le photon. Afin de onilier es deux approhes ontraditoires, on onsidère la propagation de la lumière omme une suession de trains d onde, est-à-dire de portions d onde définis par un début et une fin. Chaun de es trains d onde orrespond à un photon. Cette notion de train d onde est appliable à tout type d onde.. Synhrone ou ohérent. Lorsqu une onde est monohromatique, tous les trains d onde que la soure émet ont la même fréquene. On dit que es trains d onde sont synhrones. Toutefois, es trains d onde présentent généralement un déphasage aléatoire les uns par rapport aux autres. Par ontre, les trains d onde émis en même temps par une soure monohromatique ont tous la même phase. On dit qu ils sont ohérents.

5 Introdution à la physique ondulatoire Pour la suite, on utilisera les notations de la figure suivante : d. Différene de marhe. Lorsqu on onsidère un point P sur l éran, la distane parourue par deux trains d ondes ohérents passant respetivement par S 1 et par S 2 n est pas la même. L éart de distane parourue est appelé différene de marhe, notée. δ = SS 1 P SS 2 P = (SS 1 + S 1 P) (SS 2 + S 2 P) Dans le as étudié ii, on a SS 1 = SS 2 En utilisant une approhe géométrique, on obtient : δ = S 1 P S 2 P = D 2 + (X a 2 ) 2 D 2 + (X + a 2 2 ) = D 2 (1 + (X a 2 )2 D 2 ) D 2 (1 + (X + a 2 )2 D 2 ) δ = D (1 + (X a 2 )2 D 2 ) 1 2 (1 + (X + a 2 )2 D 2 ) 1 2 Le phénomène d interférenes n est observable qu à ondition que a D et X D. Or on peut montrer mathématiquement l approximation suivante : Y 1 (1 + Y) n 1 + ny On peut alors érire δ = D (1 + (X a 2 )2 (X+ ) (1 + 2D 2 a 2 )2 2D 2 ) = ax D e. Déphasage. En raison de l existene d une différene de marhe, les deux trains d onde partis simultanément de la soure S, don ohérents, présentent un déphasage au point P. Ce déphasage est proportionnel à la différene de marhe : φ = 2π δ λ Dans le as étudié ii, on a φ = 2π λ ax D

6 Introdution à la physique ondulatoire f. Lumière + lumière = Lumière ou Obsurité!!! Parmi l infinité de situations possibles au point P, deux as extrêmes peuvent se présenter : Les deux trains d onde présentent un déphasage φ = 0 + 2kπ. L éran est alors élairé. On observe des interférenes onstrutives. Les deux trains d onde présentent un déphasage φ = π + 2kπ. L éran est alors sombre. On observe des interférenes destrutives. g. Interfrange. La figure d interférenes observée sur un éran permet, en mesurant la distane entre deux franges laires (ou sombres) onséutives, de déterminer quelques aratéristiques de la lumière utilisée ou des ouvertures traversées. Cette distane est appelée interfrange, et est notée i. Δφ = 2π 2π λ ai D = 2π i = λd a

7 Introdution à la physique ondulatoire 3. EFFET DOPPLER. a. Prinipe. Lorsque la soure d une onde périodique et/ou le réepteur sont en mouvement l un par rapport à l autre, le signal perçu par le réepteur a une fréquene différente de elle du signal émis par la soure. b. Modélisation mathématique. Notations utilisées : o : vitesse de propagation de l onde o v e : vitesse de déplaement de la soure o v r : vitesse de déplaement de l émetteur o on onsidère une vitesse omme positive lorsqu elle permet le rapprohement entre la soure et le réepteur. o f : fréquene du signal émis par la soure o T : période du signal émis par la soure o f : fréquene du signal perçu par le réepteur o T : période du signal perçu par le réepteur soure et émetteur immobiles : f = f soure en déplaement A l instant t 1, la soure est à une distane d 1 du réepteur. Un premier front d onde est émis. Ce front d onde est reçu par le réepteur à l instant t 1 = t 1 + d 1 A l instant t 2 = t 1 + T, la soure est à une distane d 2 = d 1 v e T du réepteur. Un deuxième front d onde est émis. Ce front d onde est reçu par le réepteur à l instant t 2 = t 2 + d 2 On a alors : T = t 2 t 1 = (t 2 + d 2 ) (t 1 + d 1 ) = (t 2 + d 1 v e T ) (t 1 + d 1 ) = t 2 t 1 v et f = 1 T = 1 T (1 v e ) = 1 (1 v e) f = T v et = T (1 v e ) réepteur en déplaement A l instant t 1, le réepteur est à une distane d 1 de la soure. Un premier front d onde est reçu. Ce front d onde a été émis par la soure, lorsque elle-i était à une distane d 1 du réepteur, à l instant t 1 = t 1 d 1 A l instant t 2 = t 1 + T, le réepteur est à une distane d 2 = d 1 -v r T de la soure. Un deuxième front d onde est reçu. Ce front d onde a été émis par la soure, lorsque elle-i était à une distane d 2 = d 1 v r T du réepteur, à l instant t 2 = t 2 d 2 On a alors : T = t 2 t 1 = (t 2 d 2 ) (t 1 d 1 ) = (t 2 d 1 v r T ) (t 1 d 1 ) = t 2 t 1 v rt = T + v rt f = 1 T = 1 T (1 + v r ) = 1 (1 + v r ) f f = (1 + v r ) f = T (1 + v r )

8 Introdution à la physique ondulatoire soure et réepteur en déplaement f = (1 + v r) (1 v e) f Dans le as de vitesses de déplaement très inférieures à la vitesse de propagation de l onde, on peut faire l approximation suivante : Y 1 (1 + Y) n 1 + ny On a alors les relations suivantes : o o o soure en déplaement : f = (1 + v e ) f réepteur en déplaement : f = (1 + v r ) f soure et réepteur en déplaement : f = (1 + v r ) (1 + v e ) f. Appliation à la mesure d une vitesse de déplaement. En mesurant l éart de fréquene entre le signal émis et le signal perçu, on peut déterminer la vitesse de déplaement de la soure du signal ou du réepteur : f = f f = (1 + v e ou r ) f f = v e ou r f v e ou r = f f Un radar envoie une onde vers un véhiule qui le réémet. Cette onde effetue don un aller-retour. A l aller, est le réepteur qui est en mouvement, alors qu au retour, il s agit de la soure (le véhiule est onsidéré omme la soure du signal réfléhi). On devra alors utiliser la relation dans le as de la soure et du réepteur en déplaement, tous les deux à une même vitesse v. On a alors : f = (1 + v 2 ) f = (1 + 2 v ) f v = f 2 f