Filière de Sciences Économiques et de Gestion

Transcription

1 Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et sociales RABAT جامعة محمد الخامس اآدال آلية العلوم القانونية والاقتصادية والاجتماعية االرباط Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre : S 4 Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV) Matière : Algèbre II CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITÉ 1. Produit scalaire Exercice 1.1 1) Parmi les applications suivantes définies de vers, lesquelles sont des formes bilinéaires? des produits scalaires?,,,,, ,,,,, 3 4 2,,,,, 3 4 5,,,,, ,,,,, ,,,,, 2 2) Pour les formes bilinéaires, écrire la matrice dans la base canonique de et retrouver les produits scalaires. Exercice 1.2 1) Ecrire l expression analytique de la forme bilinéaire associée à chacune des matrices suivantes : , 2, , , , 2 0 5, , , ) Parmi ces matrices, lesquelles définissent un produit scalaire? Exercice 1.3 1) Pour chacune des formes bilinéaires ci-dessous, écrire la matrice dans la base canonique de :, , , , 2) Pour quelles valeurs du réel λ, les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur? 1

2 Exercice 1.4 Pour quelles valeurs du réel, la matrice définit-elle un produit scalaire? , , Exercice 1.5 1) Utiliser l inégalité de Schwartz,. pour montrer l inégalité. 2) Montrer que : a., b Orthogonalité Exercice 2.1 On considère une base orthonormée,, d un espace euclidien. 1) Calculer,,1, pour tout de. 2) En déduire que : ;,. Exercice 2.2 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,1,1 et 0,3,1,1. 1) Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel,. 2) Déterminer le sous espace vectoriel. Exercice 2.3 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 3,1,1,3, 5,1,5,7 et 1,1,2,8. 1) Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel,. 2) Déterminer le sous espace vectoriel. Exercice 2.4 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,1,2, 2,3,0,1, 5,2,5,2 et 8,10,10,4. 1) Vérifier que,,, est une base de. 2) Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base pour construire une base orthonormée de. Exercice 2.5 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,2, 1,3,1, et 0,12,6. 1) Vérifier que,, est une base de. 2) Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base pour construire une base orthonormée de. Exercice 2.6 Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,2 et 4,1,0. 1) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) En déduire une base orthonormée de. Exercice 2.7 Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,1 et 1,1,2. 1) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) En déduire une base orthonormée de. 2

3 Exercice 2.8 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / ) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) En déduire une base orthonormée de. Exercice 2.9 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / 0 0 1) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) En déduire une base orthonormée de. Exercice 2.10 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / ) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) En déduire une base orthonormée de. 3. Projection Projection orthogonale Exercice 3.1 On considère deux vecteurs et de. 3) Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel de engendré par. 4) Déterminer l expression analytique de la projection orthogonale sur. 5) En déduire l expression de en fonction de et,. 6) Utiliser la distance de à pour montrer l inégalité de Schwartz :,. Exercice 3.2 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le vecteur 1,2,6. Trouver l image de par la projection orthogonale sur le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs : a. 1,1,0 et 1,1,0. b. 3, 1,2 et 1, 1, 2. c. 6,1,3 et 3,0,2. Exercice 3.3 Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,2 et 4, 1,0. Trouver l image de 1,0, 3 par la projection orthogonale sur et par la projection orthogonale sur. Exercice 3.4 Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,1 et 1, 1,2. Trouver l image de 1,1,1 par la projection orthogonale sur et par la projection orthogonale sur. Exercice 3.5 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,2, 1,3,1 et 0,12,6. 1) Trouver l image des vecteurs, et par la projection orthogonale sur : a.. b.,. c.,,. 2) Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur, dans la base canonique. 3

4 Exercice 3.6 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / ) Déterminer l expression analytique de la projection orthogonale sur. 2) Trouver l image des vecteurs de la base canonique de par la projection orthogonale sur. 3) En déduire,, 1,4. Exercice 3.7 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / 0 0 1) Déterminer l expression analytique de la projection orthogonale sur. 2) Trouver l image des vecteurs de la base canonique de par la projection orthogonale sur. 3) En déduire,, 1,4. Exercice 3.8 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :,,, / ) Déterminer l expression analytique de la projection orthogonale sur. 2) Trouver l image des vecteurs de la base canonique de par la projection orthogonale sur. 3) En déduire,, 1,4. 4. Droites plans Exercice 4.1 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d équation : et les droites 0 d équations : 2 0 et Δ: ) Déterminer l intersection des deux droites. 2) Les droites et Δ sont-elles contenues dans le plan? 3) Déterminer l intersection de chacune des deux droites avec le plan. Exercice 4.2 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d équation : 0 et les droites d équations : et Δ:. Reprendre les questions de l exercice précédent. Exercice 4.3 Déterminer l intersection des deux plans de : 1 : : 0 2 : : Exercice 4.4 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d équation : et les droites 0 d équations : 2 0 et Δ: ) Trouver la projection orthogonale du point 1,1,1 sur la droite et sur la droite Δ, puis sur le plan. 2) Exprimer les coordonnés de la projection orthogonale d un point,, sur la droite et sur la droite Δ, puis sur le plan. 3) Trouver la projection orthogonale sur le plan d un point et en déduire la projection orthogonale de la droite sur le plan. 4) Trouver la projection orthogonale sur le plan d un point Δ et en déduire la projection orthogonale de la droite Δ sur le plan. 5) Trouver la projection orthogonale sur le plan d un point Δ. 4

5 Exercice 4.5 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d équation : 0 et les droites d équations : et Δ:. Reprendre les questions de l exercice précédent. Exercice 4.6 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les plans : et : 0. 1) Trouver la projection orthogonale du point 1,1,1 sur et sur P, puis sur. 2) Exprimer les coordonnés de la projection orthogonale d un point,, sur et sur P, puis sur. 3) Trouver la projection orthogonale sur le plan d un point. 4) Trouver la projection orthogonale sur le plan d un point. Exercice 4.7 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les plans : et : Reprendre les questions de l exercice précédent. Exercice 4.8 Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d équation : 2 0 1) Déterminer une base orthonormée de et de. 2) Exprimer les coordonnés de la projection orthogonale d un point,, sur le plan et la droite. 5. Image et noyau d une matrice Exercice 5.1 On considère les matrices : , 2, , , 2 0 4, , , , , , , , , , , , , ) Pour chacune de ces matrices, déterminer une base de ImA, de kera, de Im A et de ker A. 2) Vérifier que : ImA Ker A et KerA Im A. 3) A-t-on? 5

6 [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Exercice 5.2 On considère les matrices, avec : , 1 1, , ) Pour chacune de ces matrices, déterminer, suivant les valeurs du paramètre une base de ImA, de kera, de Im A et de ker A. 2) Vérifier que : ImA Ker A et KerA Im A. 3) A-t-on? 6. Solution d un système linéaire au sens des MC Exercice 6.1 On considère les systèmes linéaires : ) Déterminer une solution au sens des moindres carrées, de chacun des systèmes linéaires., en utilisant les équations normales... 2) Calculer l erreur associée à la solution au sens des moindres carrées. Exercice 6.2 On considère les systèmes linéaires : ) Déterminer une solution au sens des moindres carrées, de chacun des systèmes linéaires., en utilisant la projection orthogonale de sur. 2) Calculer l erreur associée à la solution au sens des moindres carrées. Exercice Soit 2 1 et 9. On donne deux vecteurs 5 1 et ) Calculer. et., puis calculer. et.. 2) Est-ce que pourrait être une solution au sens des moindres carrées du système linéaire.? Exercice Soit 3 4 et 4. On donne deux vecteurs 4 5 et ) Calculer. et., puis calculer. et.. 2) Est-ce que au moins l un des deux vecteurs ou pourrait être une solution au sens des moindres carrées du système linéaire.? 6