Analyse mathematique I

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1 Roger Godement Analyse mathematique I Convergence, fonctions elementaires Springer

2 W Preface. L'analyse et ses adherences V I - Ensembles et Fonctions 1 1. La theorie des ensembles Appartenance, egalite, ensemble vide Ensemble denni par une relation. Intersections et reunions Entiers naturels. Ensembles infinis Couples, produits cartesiens, ensembles de parties Fonctions, applications, correspondances Injections, surjections, bijections Ensembles equipotents. Ensembles denombrables Les differentes sortes d'infini Ordinaux et cardinaux La logique des logiciens 41 II - Convergence : Variables discretes Suites et series convergentes Introduction : qu'est-ce qu'un nombre reel? Operations algebriques et relation d'ordre : axiomes de R Inegalites et intervalles Proprietes locales ou asymptotiques La notion de limite. Continuite et derivabilite Suites convergentes : definition et exemples Le langage des series Les merveilles de la serie harmonique Operations algebriques sur les limites Series absolument convergentes Suites croissantes. Borne superieure d'un ensemble de nombres reels La fonction log x. Racines d'un nombre positif Qu'est-ce qu'une integrale? 109

3 XVIII 12 - Series ä termes positifs Series alternees Series absolument convergentes classiques Convergence en vrac : cas general Relations de comparaison. Criteres de Cauchy et d'alembert Limites infinies Convergence en vrac : associativite Premieres notions sur les fonctions analytiques Applications aux fonctions analytiques T Le principe du prolongement analytique La fonction cot x et les series J^ l/«2fc Multiplication des series. Composition des fonctions analytiques. Series formelles Les fonctions elliptiques de Weierstrass 178 III - Convergence : Variables continues Le theoreme des valeurs intermidiaires Valeurs limites d'une fonction. Ensembles ouverts et fermes Fonctions continues Limites ä droite et ä gauche d'une fonction monotone Le theoreme des valeurs intermediaires Convergence uniforme Limites de fonctions continues Un derapage de Cauchy La distance de la convergence uniforme Series de fonctions continues. Convergence normale Bolzano- Weierstrass et critere de Cauchy Intervalles emboites, Bolzano-Weierstrass, ensembles compacts Le critere general de convergence de Cauchy Le critere de Cauchy pour les series : exemples Limites de limites Passage ä la limite dans une serie de fonctions Fonctions derivables Derivees d'une fonction Regles de calcul des derivees Le theoreme des accroissements finis Suites et series de fonctions derivables Extensions ä la convergence en vrac 270

4 k XIX 5. Fonctions derivables de plusieurs variables Derivees partielles et differentielles Differentiabilite des fonctions de classe C Derivation des fonctions composees Limites de fonctions derivables Permutabilite des derivations Fonctions implicites 290 Appendice au Chapitre III. Generalisations Espaces cartesiens et espaces metriques generaux Ensembles ouverts ou fermes.., Limites et critere de Cauchy dans un espace metrique; espaces complets Fonctions continues Series absolument convergentes dans un espace de Banach Applications lineaires continues Espaces compacts Espaces topologiques 322 IV - Puissances, Exponentielles, Logarithmes, Fonctions Trigonometriques Construction directe Exposants rationnels Definition des exposants reels Calcul des exposants reels Logarithme de base a. Fonctions puissances Comportements asymptotiques Caracterisations des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques Derivees des fonctions exponentielles : methode directe Derivees des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques Developpements en series Le nombre e. Logarithme neperien Serie exponentielle et logarithme : methode directe La serie du binome de Newton La serie entiere du logarithme La fonction exponentielle comme limite j Exponentielles imaginaires et fonctions trigonometriques La relation d'euler chez Euler Fonctions hyperboliques 390

5 XX 3. Produits infinis Produits infinis absolument convergents Le produit infini de la fonction sinus Developpement en serie d'un produit infini Etranges identites La topologie des fonctions -4rg(,z) et og z 415 Index 425 I 429