AAM Exerciseurs Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e

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1 AAM Exerciseurs Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e Niveau 3 e Thème du programme Effet d un agrandissement ou d une réduction Rappel du programme Connaissances Capacités Exemples d activités, commentaires Commentaires spécifiques au socle Dans les trois premières colonnes, une phrase ou une partie de phrase en italiques désigne une connaissance, une capacité ou une activité qui n est pas exigible dans le socle. 4. Aires et volumes Effet d une réduction ou d un agrandissement - Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, - l aire d une surface est multipliée par k 2 ; - le volume d un solide est multiplié par k 3. Quelques aspects géométriques d une réduction ou d un agrandissement sur une figure du plan ont été étudiés en classe de quatrième. Les surfaces dont les aires sont à connaître sont celles du carré, du rectangle, du triangle, du disque. Les solides dont les volumes sont à connaître sont le cube, le parallélépipède rectangle, le cylindre droit et la sphère. Objectifs généraux Découvrir, appliquer puis savoir utiliser l effet des agrandissements/réductions sur les aires et les volumes ainsi que dans des situations plus complexes ; Étudier l impact de l utilisation d un exerciseur pendant la découverte des notions abordées au travers de certains exercices. Déroulement du scénario pédagogique L objectif de la présence de ce scénario est d aider à comprendre le contexte de l utilisation d un exerciseur et sa position dans la phase d apprentissage vis-à-vis des objectifs généraux. Partant du problème d une maquette, l élève est amené à réfléchir aux effets d un agrandissement ou d une réduction sur les aires et volumes :. Phase préparatoire : fabrication d une maquette. Réalisation de la maquette de l exercice 2 de la situation problème et calcul de son volume. Ce travail est donné, par exemple, en travail en temps libre (les élèves disposent de l échelle et des dimensions réelles ; le choix de l échelle permet de réaliser le patron sur une feuille A4). 2. Phase : vérification des prérequis. Distribution aux élèves d une fiche de travail permettant de revoir la définition d un agrandissement/réduction et son effet sur les longueurs et les angles (rappels de niveau 4 e ; voir annexe ). 3. Phase 2 : activité de découverte de l effet d un agrandissement. Distribution aux élèves de 2 situations problèmes, l une sur les aires, l autre sur les volumes (voir annexe 2) qui permettent de lister tous les résultats des élèves dans le but de susciter la curiosité 4. Phase 3 : apprentissage des effets. Utilisation de l exerciseur pour découvrir, démontrer sur 2 cas particuliers puis conjecturer dans le cas général les règles concernant l action d un agrandissement/réduction sur les aires et les volumes. 5. Phase 4 : application. Utilisation d exercices sur papier plus classiques pour que le transfert exerciseur-«situation traditionnelle» se fasse (voir annexe 3) puis débat et correction des situations problèmes initiales. 6. Phase 5 : institutionnalisation des résultats. La mise en place du cours est faite tout en utilisant les 2 situations problèmes du départ. 7. Phase 6 : évaluation formative. Évaluation en cours de formation pour déterminer le niveau d acquisition des principes (voir annexe 4). 8. Phase 7 : remédiation. Utilisation de l exerciseur en séparant en 2 groupes suivant les résultats de l évaluation avec, pour les uns, des exercices d application directe, et pour les autres des situations problèmes complexes. Le professeur contrôle les résultats des élèves du premier groupe afin de reproposer, si nécessaire, une activité complémentaire sur papier. Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -/2-

2 9. Phase 8 : entretien des notions acquises. Proposition de situations de calcul mental permettant le réinvestissement des carrés et cubes de nombres courants (voir annexe 5). 0. Phase 9 : évaluation finale. Le professeur réalise une évaluation traditionnelle sur feuille. Exerciseur Exercices utilisés pour la phase 3 er exercice : Exercice avec animations montrant que si on multiplie le côté d un carré par k l aire est multipliée par k², puis conjecture pour une figure quelconque (exercice Mathenpoche 3 e Géométrie Espace Agrandir/réduire Découverte (aires), 3G3s3ex : ). 2 e exercice : Exercice avec animations montrant que si on multiplie le côté d un cube k le volume est multiplié par k 3, puis conjecture pour un solide quelconque (exercice Mathenpoche 3 e Géométrie Espace Agrandir/réduire Découverte (volumes), 3G3s3ex2 : ). Intérêts des exercices choisis : Pour les élèves : o Figures animées qui permettent de visualiser la relation entre l aire initiale et l aire agrandie/réduite o Figures animées qui permettent de visualiser la relation entre le volume initial et le volume agrandi/réduit Pour le professeur : o Les aides permettent à tout moment de visualiser la relation entre aire/volume initial et aire/volume agrandi/réduit grâce aux «découpages» ; elles peuvent être utilisées en classe entière en interactivité avec les élèves, notamment lors de l institutionnalisation des résultats ou pour aider à la correction d erreurs. Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -2/2-

3 Exercices utilisés pour la phase 7 Exercice pour le groupe en difficulté : Exercice permettant aux élèves d utiliser la relation entre les aires et la relation entre les volumes pour différentes valeurs du coefficient d agrandissement/réduction (exercice Mathenpoche 3 e Géométrie Espace Agrandir/réduire Application de la règle, 3G3s3ex3 : ). Exercice pour le groupe en facilité : Problèmes concrets utilisant les agrandissements/réductions dans des situations complexes (exercice Mathenpoche : 3 e Géométrie Espace Agrandir/réduire Problèmes, 3G3s3ex4 : ). Évaluation de la pertinence du scénario La feuille d exercices d application (voir annexe 3) donnée les années précédentes sans utilisation de l exerciseur comme outils d apprentissage était difficile et nécessitait l intervention forte du professeur. Avec l utilisation de l exerciseur les élèves ont eu moins de difficultés pour établir les relations entre les aires ou les relations entre les volumes. Le professeur a été moins sollicité ; les élèves ont mieux su appliquer les règles. Prolongements possibles Possibilité de liaison avec d autres parties du programme : Situation de Thalès et calcul d aires des triangles ; Section d un solide (pyramide ou cône) par un plan parallèle à la base et calcul du volume Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -3/2-

4 Annexe : feuille de vérification des prérequis Agrandissement/Réduction : définition et effet sur les angles I Rappels Figure de départ Transformation Figure d arrivée Toutes les dimensions ont été multipliées par. On obtient un à l échelle Toutes les dimensions ont été multipliées par On obtient une à l échelle. Multiplie toutes les dimensions par 5 6. On obtient à l échelle * Réduire une figure, un objet c est multiplier ses dimensions par un nombre. (par exemple ; ; ) afin d obtenir une figure, un objet plus petit mais de la même * Agrandir une figure/un objet c est multiplier ses dimensions par un nombre. (par exemple ; ;. ) afin d obtenir une figure/un objet plus grand mais de la même.. II Effet d un agrandissement/réduction sur les angles EFG est un triangle équilatéral de côté 4 cm. E G Figure de départ Transformation Complète les tableaux et les pointillés Construis au dos de cette feuille une Triangle EFG EF = FG = GE = réduction de ce Triangle E'F'G' E'F' = F'G' = G'E' = triangle à l échelle 3 F. On appelle E'F'G' 4 la figure obtenue. Triangle EFG E = F = G = Triangle E'F'G' E' = F' = G' = Conclusion : Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -4/2-

5 3 cm A C 5 cm 4 cm Que peut-on dire du triangle ABC? Justifie ta réponse. Calcule dans le triangle ABC on a : cos ACB =. =.. Donc ACB cos ABC =... B = Construis au dos de cette feuille un Triangle ABC AB = AC = BC = agrandissement du Triangle A'B'C' A'B' = A'C' = B'C' = triangle ci-contre à l échelle 3. On Que peut-on dire du triangle A'B'C'? Le démontrer appelle A'B'C' la figure obtenue. Calcule dans le triangle A'B'C' en.. cos A'C'B' =. =.. cos A'B'C' =. =.. donc A'C'B' donc A'B'C' Triangle ABC A = B = C = Triangle A'B'C' A' = B' = C' = Conclusion : Donc ABC Conclusions : Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -5/2-

6 Annexe 2 : situations problèmes Problème n : J ai utilisé 5 kg de peinture pour peindre un mur carré de 3 mètres de côté. De quelle masse aurai-je besoin pour peindre un mur carré de 6 mètres de côté? Problème n 2 : La piscine de La Bresse est de la forme d un prisme droit représenté ci-contre avec ses dimensions en mètres. J ai réalisé une maquette de cette piscine à l échelle Le volume de cette maquette est : V = 46,875 cm 3 = 0, dm 3 0,05 L Que peut-on en déduire pour la piscine? P C 25 I S 2 Détermination des dimensions et du volume de la maquette (correction du devoir en temps libre donné lors de la phase préparatoire). On a : petite profondeur : PC = m = 0,005 m = 0,5 cm ; 200 Grande profondeur : IS = 2 m = 0,0 m = cm ; 200 Longueur : PI = 25 m = 0,25 m = 2,5 cm 200 Largeur (ou hauteur du prisme) : h = 0 m = 0,05 m = 5 cm 200 On en déduit : (PC + IS) PI (0,5 cm + cm) 2,5 cm Aire de PISC : A = = = 8,75 cm Volume de la maquette : V = A h = 8,75 cm 2 5 cm = 46,875 cm 3 Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -6/2-

7 ... cm Annexe 3 : fiche d exercices d application Effet d un agrandissement/réduction sur les aires Figure de départ Transformation Figure d arrivée 2cm Toutes les dimensions ont été multipliées cm par 5 2. Aire =.. Aire =. On passe de l aire de la figure de départ à l aire de la figure d arrivée en... cm Aire = Aire = 4 cm 2 cm Aire = Aire = Disque de rayon r Aire =. Toutes les dimensions sont multipliées par 4. On passe de l aire de la figure de départ à l aire de la figure d'arrivée en Le rayon est multiplié par k. On passe de l aire de la figure de départ à l aire de la figure d arrivée en Aire =.. Aire =.. Disque de rayon.. Aire =. Conclusion : Soit une figure F, si on multiplie toutes les dimensions de la figure F par un nombre k, alors on obtient une figure F' telle que l aire de F' = Effet d un agrandissement/réduction sur les volumes Figure de départ Transformation Figure d arrivée Toutes les dimensions ont été multipliées Ce dessin n est pas fait à l échelle par 3. Indique les dimensions obtenues sur le dessin : Ce dessin n est pas fait à l échelle 4 cm 7 cm 2 cm Volume =. Volume =. Cylindre de rayon 0 cm et de 4 cm de hauteur Volume =.. Volume =. On passe du volume de la figure de départ au volume de la figure d arrivée en Toutes les dimensions sont multipliées par 4. On passe du volume de la figure de départ au volume de la figure d arrivée en... cm... cm... cm Volume = Volume =. On obtient un cylindre de Volume =... Volume =.. Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -7/2-

8 Pyramide de base carrée de côté a et de hauteur h Volume =. Toutes les dimensions sont multipliées par k. On passe du volume de la figure de départ au volume de la figure d'arrivée en On obtient un Volume =. Conclusion : Soit un solide S, si on multiplie toutes les dimensions du solide S par un nombre k, alors on obtient un solide S' tel que le volume de S'= Applications : Soit la figure suivante avec les points F, A, C alignés, A, B, E alignés et les droites (BC) et (FE) parallèles. ) Établir une relation entre l aire du triangle ABC et l aire du triangle AEF. 2) Montrer que ABC est un triangle rectangle. 3) a) Calculer l aire du triangle ABC. b) En déduire l aire de AEF. Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -8/2-

9 Annexe 4 : évaluation formative Nom : Prénom : Note /20 : Appréciations : Note /20 Correction : Ex n : Un rectangle a pour dimensions 0 m sur 4 m. Tracer ce rectangle à l échelle Écrire une relation entre les 2 aires de ces deux rectangles Ex n 2 : J ai utilisé 5 kg de peinture pour peindre un mur carré de 2 m de côté, quelle masse aurai-je besoin pour peindre un mur carré de 6 m de côté? Ex n 3 : Une piscine municipale a un volume de 480 m 3 Si je fais une maquette à l échelle, quel sera le volume de cette maquette? 00 Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -9/2-

10 Annexe 5 : feuilles de calcul mental N NOM : Prénom : Calculer les nombres suivants 9 2 = 6 (2/5) 2 = = 7 (/2) 3 = 3 2 = 8 0,2 2 = = 9 Le carré d un nombre positif vaut 2, quel est ce nombre? = 0 Le cube d un nombre vaut 25, quel est ce nombre? N NOM : Prénom : Calculer les nombres suivants 2 3 = 6 (..) 3 = / (/2) 2 = 7 Le carré d un nombre positif vaut , quel est ce nombre? 3 (3/5) 3 = 8 Le cube d un nombre vaut /27, quel est ce nombre? 4 0,5 2 = 9 0,02 3 = 5 ( ) 2 = 0, = N NOM : Prénom : Trouver le nombre que l on peut mettre à la place des pointillés Les dimensions d un carré sont multipliées par 7, alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube sont multipliées par 3 alors son volume sera multiplié par Les dimensions d un carré sont multipliées par 0,, alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube sont multipliées par 0, alors son volume sera multiplié par Les dimensions d un carré sont multipliées par 80, alors son aire sera multipliée par Les dimensions d un cube sont multipliées par 20 alors son volume sera multiplié par Les dimensions d un carré sont multipliées par 0,6, alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube sont multipliées par 0,5 alors son volume sera multiplié par Les dimensions d un carré sont multipliées par 2/9, alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube sont multipliées par /3 alors son volume sera multiplié par N NOM : Prénom : Trouver le nombre que l on peut mettre à la place des pointillés 2 Les dimensions d un carré diminuent de 0% alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube diminuent de 50% alors son volume sera multiplié par 6 7 Les dimensions d un cube diminuent de 80% alors son volume sera multiplié par Les dimensions d une figure diminuent de 70% alors son aire sera multipliée par. Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -0/2-

11 3 4 5 Les dimensions d un carré diminuent de 20% alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un cube diminuent de 90% alors son volume sera multiplié par Les dimensions d un carré diminuent de 80% alors son aire sera multipliée par Les dimensions d un solide diminuent de 70% alors son volume sera multipliée par. Les dimensions d un carré augmentent de 0% alors son aire sera multipliée par. Les dimensions d un carré augmentent de 50% alors son aire sera multipliée par. N NOM : Prénom : Trouver l échelle qui permet de passer de la figue à la figure 2 2 Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -/2-

12 cm 3 8 cm 3 Cône Cône 2 Académie de Nancy-Metz AAM Exerciseur Étude de cas : Agrandissement/réduction en 3 e -2/2-