Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I)

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1 Résumé 1 : Algèbre Linéaire (I) Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K Vous remarquerez les grandes similitudes qui existent entre les espaces vectoriels de dimension finie et les ensembles de cardinal fini, notamment en ce qui concerne les sous-espaces (puis les applications pour le cours à suivre) 1 LE LANGAGE Honnêtement, il est très peu probable que l on vous demande un jour de restituer la définition d un K espace vectoriel, en revanche il est indispensable de connaître celle des sous-espaces vectoriels : Définition 11 Soit E un K espace vectoriel et F E F est un sous espace vectoriel de E lorsque 1 E E, 2 pour tous x, y E et tout α, β K, αx + βy E EXEMPLES : d espaces vectoriels : R n, R n, M n,p (R), F (X, E), où E est un K- espace vectoriel,r[x], R n [X] Evidemment on obtient des C- espaces vectoriels en remplaçant R par C dans ces exemples de sous-espaces vectoriels : {O E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E dits triviaux Dans l espace, les droites et les plans vectoriels fournissent des exemples Tout ensemble de solutions d un système linéaire homogène à n variables est un sous-espace vectoriel de R n Tout ensemble de solutions d une équation différentielle homogène d ordre 1 ou 2 est un sous-espace vectoriel de F (I, R) Grosso modo, un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut faire des combinaisons linéaires Ne nous gênons pas : Définition 12 ( combinaisons linéaires ) Si F = (e i ) i I est une famille éventuellement infinie de vecteurs, on appelle combinaison linéaire de F, tout vecteur y de E pour lequel il existe une suite presque nulle de scalaires (λ i ) i I tels que y = i I λ i e i 1 On note Vect (F ) l ensemble de ces combinaisons linéaires Ainsi, si F = (e 1,, e p ) est une famille finie, { p } Vect (e 1,, e p ) = x i e i, où x i K La propriété suivante précise l affirmation selon laquelle Vect F est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F : Propriétés 13 (de Vect ) Soit F une famille de vecteurs de E Alors 1 Vect (F ) est un sous-espace vectoriel de E Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 1/12

2 2 Soit F un sous-espace vectoriel de E contenant la famille F Alors Vect (F ) F On dit que Vect (F ) est le sous-espace vectoriel engendré par la famille F, et F est appelée famille génératrice de E si E = Vect F Les propriétés suivantes sont utiles lorsque l on cherche à extraire d une famille génératrice de E une base de E : Proposition 14 1 Vect (e 1,, e p ) est conservé par les trois opérations élémentaires 2 e p+1 Vect (e 1,, e p ) Vect (e 1,, e p, e p+1 ) = Vect (e 1,, e p ) 2 FAMILLES LIBRES ET GÉNÉRATRICES Définition 21 Soit n N et F := (e 1,, e n ) une famille de n vecteurs de E On dira que cette famille est génératrice de E lorsque Pour tout X E, il existe x 1,, x n K tels que X = x 1 e x n e n libre lorsque ( n ) Pour tout x 1,, x n K, x i e i =, = x 1 = = x n = une base de E lorsqu elle est libre et génératrice On peut ainsi condenser les deux propriétés ainsi : F est une base de E si et seulement si Pour tout X E, il existe un unique(x 1,, x n ) K n tels que X = x 1 e x n e n Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 2/12

3 REMARQUES : Ainsi, F est génératrice de E ssi E = Vect (e 1,, e n ), et elle est libre ssi la seule combinaison linéaire nulle de vecteurs de F est la combinaison trivialement nulle On peut unifier ces trois définitions en remarquant qu elles correspondent respectivement à la surjectivité, l injectivité et la bijectivité de l application linéaire ψ : (x 1,, x n ) K n n x i e i E EXEMPLES : n N, la famille de n vecteurs K n, appelée base canonique 1, 1,, 1 est une base du K espace vectoriel n N, la famille (1, X, X 2,, X n ) est une base appelée base canonique de K n [X] Soit (P, P 1,, P n ) une famille de n + 1 polynômes de R[X] qui vérifie deg P i = i pour tout i n Alors c est une famille libre de K[X] Dans l ensemble M n,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes, la famille de np matrices ( E ij )1 i,j n, où E ij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en (i, j) qui vaut 1, est une base de M n,p (K) dite base canonique Les bases ont un intérêt central pour la raison suivante : Proposition 22 (Coordonnées dans une base) Soit (e 1,, e n ) une base de n vecteurs de E Alors, pour tout X E, il existe un unique n uplet (x 1,, x n ) K n tel que X = n x i e i Ce n uplet est appelé coordonnées de X dans la base (e 1,, e n ) 3 LA DIMENSION FINIE Un K espace vectoriel est dit de dimension finie lorsqu il existe n N et une famille E de n vecteurs de E telle que Vect E = E Théorème 31 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie 1 E possède une base (en fait, une infinité) 2 Toutes les bases de E possèdent le même nombre d éléments On appelle dimension de E le cardinal de l une quelconque de ses bases On dira qu un espace vectoriel qui ne contient qu un élément (son neutre pour +!) est de dimension nulle Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 3/12

4 EXEMPLES : Pour tout n N, K n est un K espace vectoriel de dimension n Pour tout n N, K n [X] est un K espace vectoriel de dimension n + 1 C 2 est un C espace vectoriel de dimension 2, mais c est aussi un R espace vectoriel de dimension 4 De manière générale, un C espace vectoriel de dimension n est un R espace vectoriel de dimension 2n (montrez-le) Pour tout n, p N, M n,p (K) est un K ev de dimension np Pour tout vecteur X non nul de E, Vect(X) est de dimension 1, ie c est une droite On la note aussi KX On appelle plan tout espace vectoriel de dimension 2 Si E et F sont deux K espaces vectoriels de dimension finie, alors E F l est aussi et dim E F = dim E + dim F On peut traduire la liberté d une famille avec le seule notion de rang : Proposition 32 (Rang d une famille de vecteurs) Pour toute famille (e 1,, e p ) de vecteurs de E, on appelle On a alors 1 Rang (e 1,, e p ) p Rang (e 1,, e p ) = dim Vect (e 1,, e p ) 2 Rang (e 1,, e p ) = p (e 1, e p ) est libre La dimension comme cardinal limite Une famille libre de cardinal maximal est une base, et une famille génératrice de cardinal minimal est une base : Proposition 33 Soient k N, E un K ev de dimension finie et F une famille de k vecteurs de E Si F est libre, alors k dim E Si F est libre et k = dim E, alors F est une base Si F est génératrice, alors k dim E Si F est génératrice et k = dim E, alors F est une base Enfin, un résultat très utile, qui permet de construire des bases dont les premiers vecteurs sont prescrits : Théorème 34 (Base incomplète) Soit E un K espace vectoriel de dimension n N, et (e 1,, e p ) une famille libre de vecteurs de E Alors il existe e p+1,, e n E tels que (e 1,, e p, e p+1,, e n ) soit une base de E 4 DIMENSION ET SOUS-ESPACES Propriétés 41 (Croissance de la Dimension) Soit E un K espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel de E Alors F est de dimension finie, et dim F dim E Si dim F = dim E, alors F = E Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 4/12

5 Ce dernier résultat nous dispensera pour prouver l égalité de deux espaces vectoriels de montrer une des deux inclusions ; on substituera celle-ci à l égalité des dimensions Définition 42 (Somme et intersection de sev) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un K ev E Alors 1 F G est un sous-espace vectoriel de E 2 F + G = {x + y où x F, y G} est un sous-espace vectoriel de E On a l égalité de sous-espaces vectoriels suivante : F + G = Vect (F G) 3 F et G sont dits en somme directe lorsque F G = {} On note alors leur somme F G A nouveau, ce résultat devrait rappeler à votre mémoire le cardinal d une union de parties finies : Proposition 43 (Dimension d une somme) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E de dimension finie Alors dim F + G = dim F + dim G dim F G F et G sont en somme directe ssi dim F + G = dim F + dim G Définition 44 (Supplémentaires) Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires dans E lorsque E = F + G et F G = {} On note alors F G = E On appellera hyperplan tout sous-espace vectoriel qui admet une droite comme supplémentaire En termes de décomposition, cela donne : E = F G ( ) z E, un unique couple (x, y) F G tel que z = x + y Tout sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E de dimension finie possède un supplémentaire (une infinité en fait) Proposition 45 (Caractérisation des supplémentaires) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels quelconques de E, nous avons l équivalence entre les trois propriétés suivantes : F G = E ; F + G = E et dim F + dim G = dim E F G = { E } et dim F + dim G = dim E z E,!(x, y) F G tel que z = x + y Définition 46 Soit E 1,, E p une famille finie de sous-espaces vectoriels de E, et H = E E p On dit que ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe lorsque tout vecteur de H se décompose de manière unique comme une somme de vecteurs de E i Proposition 47 On a équivalence entre : p E i = p E i, et Pour tout (x 1,, x p ) E 1 E p, si p x i = E, alors tous les x i sont égaux à E Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 5/12

6 REMARQUES : Si E admet une décomposition en somme directe E = E i, on obtient une base de E en réunissant des bases des E i Une telle base de E est dite adaptée à al décomposition E = E i p p Si E = F i, alors dim E dim F i De plus, on a égalité si et seulement si la somme est directe 5 LA LINÉARITÉ Définition 51 (Applications linéaires) Soient E, F deux K espaces vectoriels Une application f : E F est dite linéaire lorsque x, y E, α K, f(αx + y) = αf(x) + f(y) Si E = F, on dit que f est un endomorphisme On note L (E, F ) l ensemble des applications linéaires entre E et F, et L (E) = L (E, E) l ensemble des endomorphismes de E EXEMPLES : f : R R est une application linéaire il existe a R tel que f : x R ax R Les homothéties sur E, ie les applications qui s écrivent λid E, où λ K sont linéaires Soit x R On appelle opérateur d évaluation en x l application E x E x : f F (R, R) f(x ) R est une forme linéaire sur F (RR) Soit I un intervalle de R La dérivation D D 1 (I, R) F (I, R) est une application linéaire f f Soit I un intervalle de R et a, b I L intégrale I Cm(I, C) C est une forme linéaire f b a f(t)dt On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire ϕ : E K Soient n, p N et A = (a i,j ) M n,p (K) Notons L A : X K p AX K n, où, L A x 1 x p = a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np x 1 x p = p a 1,j x j K n p a n,j x j Alors pour tous X, Y K p, λ, µ K, L A (λx + µy ) = λl A (X) + µl A (Y ) L A est l application linéaire (endomorphisme si n = p) canoniquement associé a A Ainsi, résoudre le système AX = B, où B K p, c est finalement rechercher les antécédents de B par l application L A, ie Sol = L A 1 ( {B} ) j=1 j=1 Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 6/12

7 Donnons une description des formes linéaires sur K n : Proposition 52 (Formes linéaires sur K n ) ϕ : K n K est une forme linéaire sur K n si et seulement si x 1 n il existe a 1,, a n K tels que ϕ : Kn a i x i K x n 6 STRUCTURE, IMAGE ET NOYAU Proposition 61 (Structures de L (E, F ) et L (E)) Soient E et F deux K espaces vectoriels L ensemble L (E, F ) des applications linéaires de E dans F est un sous-espace vectoriel de F (E, F ) L (E) est stable par composition, ie la composée de deux applications linéaires est linéaire Rappelons les deux notions d image directe et d image inverse d un ensemble par une application quelconque, centrales pour exprimer simplement des notions ensemblistes REMARQUES : f : E F et X E On note f(x) = {f(x) où x X} l image directe de X par f L image de E est f(e) On la note Im f Rappelons enfin que f est surjective ssi Im f = E f : E F et Y F On note f 1 (Y ) = {x E tels que f(x) Y } On l appelle image inverse de Y par f Elle ne nécessite pas l inversibilité de f Avec ces notations, on a ainsi f(x) F et f 1 (Y ) E Dans le cadre linéaire, ces deux notions sont compatibles avec la structure : Propriétés 62 Soient E et F deux K espaces vectoriels, et f : E F une application linéaire 1 Soit W un sous-espace vectoriel de F L image inverse f 1 (W ) de W par f est un sous-espace vectoriel de E 2 Soit V un sous-espace vectoriel de E L image directe f(v ) de V par f est un sous-espace vectoriel de F Pour montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel, il suffira bien souvent de prouver que c est l image ou le noyau d une application linéaire : Corollaire 63 (L image et le noyau sont des sous-espaces vectoriels ) Soient E et F deux K espaces vectoriels, et f : E F une application linéaire Alors : Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 7/12

8 1/ ker f = { x E tels que f(x) = F } est un sous-espace vectoriel de E On l appelle le noyau de f 2/ Im f = f(e) = {f(x) où x E} est un sous-espace vectoriel de F Autrement dit : y F, y Im f x E tel que y = f(x) Si Im f est de dimension finie, on appelle rang de f sa dimension EXEMPLES : L ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à une matrice A M n,p est le noyau de L A L (R p, R n ) On retrouve ainsi sa structure de sous-espace vectoriel de R p On parlera souvent du noyau de la matrice A, plutôt que du noyau de l application linéaire canoniquement associée à A {f F (R, R) telles que f(π) = } est le noyau de l opérateur d évaluation en π { 1 } f F (R, R) telles que f(t)dt = est le noyau de l intégrale Expiquons maintenant ce que cela donne lorsque f = L A : Proposition 64 (Image et Noyau d une matrice) Soit A M n,p (K) Notons C 1,, C p ses colonnes x 1 1/ Le noyau de L A est l ensemble des Kp tels que x 1 C x p C p = 2/ L image de L A est Vect (C 1,, C p ), sous-espace vectoriel de K n x p Ainsi, toute combinaison linéaire nulle des vecteurs colonne de A présente deux intérêts : elle fournit à la fois un vecteur du noyau de A, et permet d éliminer un des vecteurs colonnes lorsque l on cherche à extraire de (C 1, C p ) une base de l image de A Dans le cadre linéaire, l injectivité et la surjectivité d une application se traduit par des égalités de sous-espaces vectoriels : Proposition 65 (Injectivité et surjectivité d une application linéiare) Soient E et F deux K espaces vectoriels, et f : E F une application linéaire Alors : f est injective ker f = { E } f est surjective f(e) = F 7 LINÉARITÉ EN DIMENSION FINIE Pour toute famille E = (e 1, e p ) de E, on appelle image de E par l application linéaire f la famille (f(e 1 ),, f(e p )) Si ( ) ) e 1, e p est une base de E, alors Im f = Vect (f(e 1 ), f(e p ), Le théorème central de ce paragraphe est le suivant : Théorème 71 (Interpolation Linéaire) Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et F un K espace vectoriel Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 8/12

9 B = (e 1,, e n ) une base de vecteurs E et Soient (b 1,, b n ) une famille de vecteurs de F Alors il existe une unique application linéaire f L (E, F ) qui vérifie pour tout i [[1, n]], f(e i ) = b i REMARQUES : 1/ Les deux notions de rang (celle des familles et celle des applications linéaires) coïncident dans le cas suivant : Si ( ) ) e 1, e p est une base de E, alors Rang f = Rang (f(e 1 ), f(e p ) 2/ L image d une base quelconque de E par f peut donner beaucoup d informations sur f : Soit f L (E, F ), (e 1,, e n ) une base de E Alors, (f est injective) (f(e 1,, f(e n )) est libre (f est surjective) (f(e 1,, f(e n )) est génératrice de F (f est bijective) (f(e 1,, f(e n )) est une base de F Voici un des résultats les plus importants d algèbre linéaire : Théorème 72 (du rang (version faible)) Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel, et f L (E, F ) Alors Im f est de dimension finie et dim ker f + Rang f = dim E Donnons-en une version plus fine, au programme, mais beaucoup moins usitée : Théorème 73 (du rang, version forte) Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel, et f L (E, F ) Soit de plus, G un supplémentaire de ker f dans E Alors, l application G Im f est un isomorphisme x f(x) Nous tirons du théorème précédent : Corollaire 74 Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies, et f L (E, F ) Alors, 1 Si f est injective, alors dim E dim F 2 Si f est surjective, alors dim E dim F 3 Si f est bijective, alors dim E = dim F Considérons maintenant les applications bijectives entre deux espaces vectoriels de même dimension finie Théorème 75 Soient E et F deux K espaces vectoriels tels que dim E = dim F = n N, et f L (E, F ) Alors, f est injective f est surjective f est bijective Rang f = n dim ker f = Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 9/12

10 EXEMPLES : 1 Un cas à retenir, car il est sous-jacent aux merveilleux polynomes d interpolation de Lagrange : Si a,, a n K sont distincts deux à deux, alors Ψ K n [X] K n+1 P ( ) est bijective P (a,, P (a n ) 2 C est FAUX en dimension infinie, par exemple la dérivation sur R[X] est surjective mais pas injectif Définition 76 (Groupe linéaire) Soit E un K espace vectoriel de dimension finie On note GL(E) l ensemble des isomorphismes de E C est un sous-groupe de ( Bij(E), ) REMARQUES : Soit n N Tout K- espace vectoriel de dimension n est isomorphe à K n 8 DES EXEMPLES CENTRAUX 1 Projecteurs et symétries Il est absolument nécessaire d avoir en tête LE dessin qui résume toutes les propriétés Définition 81 (PROJECTEURS) Soit E un espace vectoriel On appelle projecteur de E tout endomorphisme f L (E) qui vérifie f f = f Notons les propriétés de celui-ci : ker f Im f = E (ce qui est faux pour un endomorphisme général) f est égal à l identité sur Im f, ie Im f = ker(f Id E ) Réciproquement, étant donnés deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires (ie F G = E), on peut définir un endomorphisme f de E en posant f = Id E sur F, et f = sur ker f Cet endomorphisme f est alors un projecteur, appelé projecteur sur F parallèlement à G : f : y + z E y E pour tout (y, z) F G Définition 82 (SYMETRIES) Soit E un espace vectoriel On appelle symétrie de E tout endomorphisme f L (E) qui vérifie f f = Id Notons les propriétés de celui-ci : f est un automorphisme de E, dont l inverse est f ker(f Id) ker(f + Id) = E f est égal à l identité sur ker(f Id E ), et à Id E sur ker(f + Id E ) 1 2 (f + Id) est le projecteur sur ker(f Id E) parallèlement à ker(f + Id E ) Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 1/12

11 Réciproquement, étant donnés deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires (ie F G = E), on peut définir un endomorphisme f de E en posant f = Id E sur F, et f = Id E sur ker f Cet endomorphisme f est alors une symétrie, appelée symétrie par rapport à F parallèlement à G : f E E pour tout (y, z) F G y + z y z 2 Hyperplans et formes linéaires Proposition 83 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n Alors 1 Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan il existe une forme linéaire non nulle ϕ sur E telle que H = ker ϕ 2 Un hyperplan H est à la fois le noyau de la forme linéaire ϕ et de la forme linéaire ψ ϕ et ψ sont colinéaires Ce qui signifie que deux équations linéaires définissant le même hyperplan H de R n sont proportionnelles 3 L intersection de m hyperplans de E est de dimension n m 4 Pour tout sous-espace vectoriel G de E de dimension n m, il existe m formes linéaires ψ 1,, ψ m de E telles que G = ker ψ 1 ker ψ m 3 Endomorphismes nilpotents Soit E un K espace vectoriel et f L (E) f est dit nilpotent lorsqu une de ses puissances est nulle, ie lorsqu il existe un entier naturel k N tel que f k = L (E) Le plus petit entier k qui vérifie cette propriété s appelle l indice de nilpotence de f Proposition 84 Soit f L (E) un endomorphisme nilpotent de E d indice p N Alors 1/ f n est pas injective (mais peut être surjective en dimension infinie) 2/ { E } = ker f ker f 1 ker f p 1 ker f p = E 3/ Si E est de dimension finie n, alors l indice de nilpotence de f est inférieur à n Autrement dit, pour tout endomorphisme nilpotent f L (E), f n = L (E) A LES FIGURES IMPOSÉES 1 Quelques preuves Point 1 de la proposition 83 Point 2 de la proposition 83 2 De la banque CCP Il y en a trois cette semaine Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 11/12

12 EXERCICES : 1/ CCP 6 Soit la matrice A = (a) Déterminer ker f (b) f est-il surjectif? (c) Trouvez une base de ker f et une base de Im f ( ) 1 2 et f l endomorphisme de M (R) défini par f(m) = AM 2/ CCP 62 Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f et g deux endomorphismes de E tels que f g = id (a) Démontrer que ker(g f) = ker f (b) Démontrer que Im (g f) = Im g (c) Démontrer que E = ker f Im g 3/ CCP 64 Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n (a) Démontrer que E = Im f ker f = Im f = Im f 2 (b) i Démontrer que : Im f = Im f 2 ker f = ker f 2 ii Démontrer que : Im f = Im f 2 = E = Im f ker f Résumé 1 : sous-espace vectoriel, famille Page 12/12