TABLE DES MATIERES AVANT-PROPOS 15 1 INTRODUCTION A LA COMMANDE NUMERIQUE 19

Transcription

1 ANALYSE ET REGULATION DES PROCESSUS INDUSTRIELS TOME 2. REGULATION NUMERIQUE P. Borne G. Dauphin-Tanguy J.- P. Richard. F. Rotella I. Zambettakls RESUME Cet ouvrage, en deux tomes ( tome 1,Régulation continue ; tome 2 régulation numérique )présente les méthodes de base, classiques, et avancées,, utilisées dans l'industrie pour la commande des processus. Le tome 1, présente sans les développer les notions de base relatives au calcul opérationnel (transformée de Laplace et ses applications) et redéfinie l'ensemble des notions indispensables relatives aux signaux et systèmes dans l'optique de présenter les différentes méthodes de représentation, d identification, d analyse de régulation et de commande des processus contenus. Le tome 2,conçu selon un plan analogue, présente les méthodes nécessaires à l implémentation de commandes numériques. Il reprend de façon: succincte les notions de base relatives au calcul opérationnel mettant en œuvre la transformée en Z et ses applications. Les notions d'échantillonnage et de systèmes échantillonnés sont présentées avec définition du choix de la période d'échantillonnage en vue de proposer les différentes méthodes d'analyse et de régulation numérique des processus industriels. L étude de l analyse (détermination de l'algorithme de commande) et de la réalisation des asservissements numérique comporte plusieurs points : Les méthodes heuristiques basées sur l'expérience et sur une identification succincte. Les méthodes de type fréquentiel discret" La commande RST et l'approche polynomiale La commande adaptative La commande prédictive La commande du type retour d'état (placement de pôles optimisation d un critère quadratique, mise en oeuvre d'un observateur ) La validation des méthodes proposées tenant compte des imperfections du processus et du modèle utilisé (modèle réduit, non linéarités, retards, bruits, défauts d identification, emballement de l'intégrateur ) est étudiée dans les chapitres consacrés aux aspects non Iinéaires du processus et / ou de son mode de régulation commande. La description des principales méthodes numériques d'identification paramétrique est réaliser dans le dernier chapitre TABLE DES MATIERES AVANT-PROPOS 15 1 INTRODUCTION A LA COMMANDE NUMERIQUE Schéma d'un système asservi à commande numérique Modélisation discrète du processus Synthèse d'un asservissement Exemple de système asservi discret Une structure classique Un exemple d'asservissement en vitesse 25 2 SIGNAUX ECHANTILLONNES Signaux discrets Description temporelle des signaux discrets Echelon unité à k O Signal impulsionnel discret Signaux discrets de type géométrique Transformée en z Echantillonnage d'un signal continu Théorème de Shannon Echantillonneur -modulateur Echantillonneur -modulateur linéaire Bloqueur d'ordre zéro Bloqueur d'ordre Bloqueur d'ordre l Extrapolateur linéaire a retard pur Calcul de la transformée inverse 42

2 2.2.5 Propriétés des transformées en z Résolution des équations de récurrence 49 3 FONCTION DE TRANSFERT EN Z Notion de transmittance pulsée Schémas fonctionnels Composition des transmittances en z Transmittance en présence d'un B O Détermination directe de la transmittance en z à partir de l'équation récurrente Système comportant un retard pur Transformée en z modifiée Définition Calcul de la transformée inverse Propriétés de la transformée en z modifiée Transmittance en z modifiée Echantillonnage à plusieurs cadences Systèmes multivariables Notation en q 66 4 CARACTERISATIONS FREQUENTIELLE ET TEMPORELLE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES Représentation "fréquentielle" Diagramme de Nyquist de Diagramme de Nyquist de Transformation en w Comportement temporel des systèmes discrets 72 5 REPRESENTATION DES SYSTEMES ECHANTILLONNES DANS L'ESPACE D'ETAT Vecteur d'état Détermination d'une représentation Représentation sous forme canonique commandable Représentation sous forme canonique observable Représentation modale Cas multivariable Systèmes échantillonnés, passage du continu au discret Intégration de l'équation d'état Calcul d'une fonction de matrice Utilisation de la formule de Sylvester Méthode des matrices constituantes Passage de la représentation d'état à la matrice de transfert 92 6 SIGNAUX ALEATOIRES DISCRETS Signal aléatoire et variable aléatoire Fonction de répartition et densité de probabilité Stationnarité Moyenne et moments Espérance mathématique Moyenne Moment d'ordre q Moment centre d'ordre q Ergodicité Fonctions de corrélation Fonction d'auto corrélation Fonction d'intercorrélation Spectres de corrélation de signaux stationnaires Définitions Spectre d'autocorrelation Spectre d'intercorrelation Propriétés Transmission d'un signal aléatoire discret à travers un filtre linéaire stationnaire Spectre d'autocorrélation de la sortie Spectre d'intercorrélation entrée-sortie Cas multivariable Notation simplifiée STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES Allure des trajectoires d'un système discret au voisinage d'un point d'équilibre Stabilité des systèmes discrets linéaires Critère de Schur-Cohn Critère de Jury Critère de Routh Critère de Nyquist Application directe du critère à (Z) Application du critère à (S) Robustesse Degré de stabilité et temps de réponse 113

3 Degré de stabilité et temps de réponse Marge de gain, marge de phase PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS ECHANTILLONNES Définitions Précision statique (en régime permanent) Ecart statique du à la consigne Erreur statique due à la perturbation Précision dynamique Comparaison avec les systèmes du premier ordre Comparaison avec les systèmes du second ordre OBSERVABILITE ET COMMANDABILITE Observabilité Commandabilité Commandabilité de l'état Commandabilité de la sortie Cas général Stabilisabilité, détectabilité, gouvernabilité PRINCIPE DE LA REGULATION NUMERIQUE Schéma de base de la régulation numérique Représentation générale des processus à commande numérique Choix de la période d'échantillonnage Correcteurs numériques Principes généraux de synthèse des réseaux correcteurs en z Amortissement du régime transitoire en temps fini Système minimal 140 A. Systeme minimal absolu 141 B. Système minimal: cas général 142 C. Réponse des systèmes minimaux Système à réponse pile Methodes de modele SYNTHESE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES EN UTILISANT LES METHODES DU CONTINU Retard de T / Approximation linéaire Transformation homographique Transformée en w Applications REGULATION PAR PID NUMERIQUE Réalisation d'un PID discret Méthode simplifiée de détermination des coefficients d'un PID numérique Régulateur PID prédicteur Généralisations de la notion de PID numérique Régulateur P, l, D, D Régulateur PID adaptatif Régulateur PID dans l'espace d'état Correcteurs PID numériques modélisés sous forme R,S, T Problèmes liés à l'action intégrale AN AL YSE ET SYNTHESE SUR LE LIEU D'EVANS Analyse sur le lieu d'evans Synthèse sur le lieu d'evans REGULATION DANS L'ESPACE D'ETAT Placement de pôles par retour d'état Placement de pôles par choix du modulateur Commande optimale à critère quadratique Reconstructeur d'état discret Filtre de Kalman discret Système bruité Equations du filtre REGULATEURS NUMERIQUES RST Modélisation RST des régulations numériques Placement de pôles Régulation Poursuite Placement de pôles avec compensation de zéros Régulation Poursuite Système avec zéros instables Prise en compte des saturations Commande à minimum de variance Modèles de processus perturbé Détermination de la commande 209

4 Détermination de la commande Systèmes avec zéros instables Exemple d'application COMMANDE ADAPTATIVE Principe de la commande adaptative Commande adaptative indirecte Commande adaptative directe Schéma de principe Loi de commande lorsque les paramètres sont connus Loi de commande adaptative Réalisation d'une commande adaptative lorsque la chaîne d'action comporte un relais ou un tout -ou-rien Principe de la commande Réalisation de la commande COMMANDE PREDICTIVE Présentation de la commande prédictive Principe Structuration de la commande et critère d'optimisation Auto-compensateur Schéma global de la commande prédictive Détermination du régulateur linéaire Commande avec trajectoire de référence du premier ordre pour un processus sans retard Algorithme de commande Initialisation de l'algorithme Exemple d'application Commande avec trajectoire de référence du premier ordre pour un processus avec retard Lissage de la commande Prise en compte d'une perturbation mesurée Influence des divers paramètres de réglage Résolution de problèmes particuliers Commande prédictive avec retours intermédiaires Principe de mise en œuvre Commentaires sur la méthode Prise en compte de contraintes sur la commande Cas des systèmes instables Principe de décomposition du modèle Processus ayant un mode instable Processus ayant deux modes instables Exemple d'application STABILITE DES SYSTEMES DISCRETS NON LINEAIRES Notion de point d'équilibre stable Définitions relatives à la stabilité Stabilité Attractivité Stabilité asymptotique Stabilité exponentielle Stabilité absolue Première méthode de Lyapunov Présentation de la méthode Exemple Seconde méthode de Lyapunov Fonction candidate à Lyapunov Théorèmes Fonctions candidates usuelles Critère de Borne et Gentina Exemples ELEMENTS D'IDENTIFICATION PARAMETRIQUE Notion d'identification Principes de l'identification Identifiabilité Conseils pratiques Prétraitement des signaux Echantillonnage Choix de la période d'échantillonnage Filtre antirepliement numérique Filtrage Elimination de la composante continue Elimination des bruits de mesure Filtrage parallèle Processus possédant une intégration Identification paramétrique pour un modèle linéaire Principes Algorithme du gradient Méthode des moindres carrés Algorithme des moindres carrés récursifs Algorithme des moindres carrés étendus 276

5 Algorithme des moindres carrés étendus Méthode de la variable instrumentale Choix du gain d'adaptation Principe Méthodes les plus courantes Séquence d'entrée utilisée pour l'identification Détermination directe de la réponse impulsionnelle d'un système linéaire par SBPA 281 ANNEXES 285 A TABLES DE TRANSFORMEES 287 B CALCULS RELATIFS A LA DETERMINATION DE LA COMMANDE PREDICTIVE 297 B.1 Rappel des notations utilisées 297 B.2 Calcul de la commande pour un processus sans retard 298 B.2.1 Optimisation du critère 298 B.2.2 Trajectoire de référence du premier ordre 300 B.2.3 Trajectoire de référence du second ordre 301 B Principe et résultats 301 B Détermination de la commande 302 B.3 Influence d'un retard 304 B.4 Extrapolateurs 306 B.5 Auto-compensateur 307 BIBLIOGRAPHIE 309 INDEX 311 TOP