Traitement du Signal. Le Filtrage Numérique

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1 Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG Quatrième Bimestre 999/00 Séance 9 : 3 mars 000 Le Filtrage Numérique Formule du Jour :... Le Filtrage Numérique :... Caractérisation de Filtres :...4 Transformé en Z d'un filtre RIF...5 Synthèse des Filtres RIF...6 Méthode de synthèse de la série de Fourier...7 Effets de la Limitation du durée de hs(n)...9 Formule du Jour : h s (n) = H s () e jn d méthode de synthèse de filtre : On spécifie les caractéristiques souhaité en fréquence H() pour l intervalle < <. H s () est périodique avec période pour h(n) échantilloné. Les coefficients du filtre sont ensuite donnée par la transformée de Fourier inverse

2 Le Filtrage Numérique : Un filtre numérique est une combinaison linéaire d échantillons. Le filtrage et l analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal. Quelques domaines d application du filtrage (liste non-exhaustive): Communications : téléphone, radio, télevisision, etc. Musique Radar Reconnaissance de Parole Traitement d image (ex : satellite, médicale, inspection industrielle) Vision par ordinateur Il existe deux sortes de filtres numériques : RIF et RII Réponse Impulsionnelle Finie (RIF ou FIR ) : Une opération de filtrage définie par une convolution avec un séquence de durée finie f(n). Soit deux séquence échantillonnée numérique de durée finie, N et M. Soit x(n) de durée n [0, N x -] et f(n) de durée n [0, N h -]. x(n) 0 n N x -, f(n) 0 n N h - Les séquences apériodique sont nuls hors de leur intervalle de définition. La convolution apériodique (ou linéaire) de x(n) avec f(n) est une produit scalaire entre x(n) et f(-n) pour chaque position entre 0 et N x +N h -. y(n) = x(n) * f(n) = N x +N h - x(m).f(n m) = m=0 N x +N h - x(n m).f(m) m=0 La taille de la résultat est de N x + N h échantillons. 9-

3 Avantages : ) Il existe des méthodes de conception de filtre RIF simple à mettre en oeuvre. ) Il est facile de concevoir des filtres avec une phase linéaire (qui voudrait dire delaie de reponse le même pour tout fréquence, et donc pas de dispersion). 3) Stabilité. Inconvenients : ) Cher en réalisation. ) Le retard entre l'entré et le sorti (phase) peut être relativement long. Filtre à Réponse Impulsion elle Infinie (RII ou IIR ) : Filtre pour lequel le réponse impulsionnelle n'est pas finit. Typiquement réalisé par une opération linéaire récursive. Ces filtres sont aussi connu par nom filtres récursif. Pour une filtre RII, le réponse impulsionnelle peut pas être calculé (par définition). Le filtre est spécifié par deux jeux de coefficients a(n), n<n et b(n), 0 n<m : N- M- y(n) = b(m) x(n-m) a(m) y(n-m-) m=0 m= L intérêt des filtres récursifs est leur faible coût en calcul. Les l inconvénients des filtres récursifs sont ) leur non-linéairité en phase et ) leur instabilité numérique. Les filtre RII peut être conçu par des méthodes semblables à ceux utilisé pour les filtres analogiques. Ceci n'est pas vraie pour les filtres RIF. mais attention: Il est possible de réaliser certain filtre RIF par un calcul récursif. 9-3

4 Caractérisation de Filtres : Un filtre F (RIF ou RII) est caractérisé par ) sa réponse, f(n), à l impulse numérique δ(n), ou également par ) sa fonction de transfert F() ou F(z) calculé par sa TFTD ou transformée en z. Les filtre sont généralement spécifié dans la domaine Fourier ou dans la domaine z. Pour un filtre RIF, le réponse à l impulse numérique est précisément sa jeux de coefficients f(n). f(n) = f(n) * δ(n) Sa fonction de transfert et donc : F() = N f(n) e jn n= N Pour un filtre RII, f(n) est infini. Il faut sa fonction de transfert F() ou F(z). 9-4

5 Transformé en Z d'un filtre RIF Forme génerale d'un filtre : H(z) = Y(z) X(z) = b 0 + b z b N z N + a z a N z N Pour un filtre RIF, a = a = a 3 =... = 0 Ca donne une fonction de transfert de : H(z) = Y(z) X(z) = b 0 + b z b N z N x(n) z z... z b b b N.... M y(k) = x(k-m) h(m) où h(m) = bm m=0 y(n) 9-5

6 Synthèse des Filtres RIF Un filtre de réponse impulsionnelle finie possède une fonction de transfert polynomiale. Il ne peut pas être obtenu par transposition d un filtre continu, comme cela est fait pour le filtres RII. Les filtres RIF présentent l inconvénient de nécessiter un grand nombre de coefficients pour obtenir les mêmes caractéristiques fréquentielles. Mais par contre, ils sont inconditionnellement stables. On peut synthétiser des filtres RIF à phase linéaire, c est-à-dire à temps de propagation de groupe constant. Les filtre RII n'auront pas une phase linéaire. phase linéaire : temps de propagation constant pour tout fréquence. Les méthodes qui permettent de déterminer les coefficients de la fonction de transfert font appel à des techniques basées sur les séries de Fourier ou à des techniques itératives d optimisation. 9-6

7 Méthode de synthèse de la série de Fourier La méthode décrite ci-après est dite méthode de la fenêtre ou méthode de la série de Fourier. ) On spécifie les caractéristiques souhaité en fréquence H s () pour l intervalle < <. (H s () est périodique avec période pour h s (n) échantilloné.) ) Les coefficients du filtre idéal sont donnée par la transformée de Fourier inverse : h s (n) = H s () e jn d 3) On determine la durée du filtre, N. h(n) = h s (n). w N (n) 4) On vérifie que H() H s () est acceptable. H() = H s () * W N () 9-7

8 Exemple : H s () H s () = / / 0 ailleurs h s (0) = H s () e jn d = / e j0 d = / / / = h s (n) = h s (n) = H s () e jn d = / e jn d / / j e jn / = jn [ejn/ e jn/ ] = sin(n/) n Filtre passe-bas idéel avec fréquence limite c : h s (n) = sin(n c ) n On ne peut garder qu un nombre N (fini) de coefficients h(n). h(n) = sin(n/) n/. w N (n) 9-8

9 Effets de la Limitation du durée de h s (n): Ne garder que N coefficients est équivalent à multiplier la suite infinie des h(n) par un fonction porte w(n). w(n) 0 n < N 0 ailleurs La réponse impulsionnelle est : h(n) = h s (n). w(n) pour 0 n < N Sa fonction de transfert est : H() = H s () * W() = rect(/) * sin(n/) sin(/). e j(n )/4 Cette fonction de porte est la fenêtre rectangulaire. Elle caractérise une troncature temporelle qui introduit des ondulations sur la réponse en fréquence du filtre. 9-9

10 Exemples : - - o o - - o o H s () = δ(± o ) Pour taille N : h(n) = cos(n). wn (n) donc H() = δ(± o ) * sin(n/) sin(/) Pour un filtre passe bas : H s () * W() = H() 9-0

11 Pour un filtre passe bande : H*() * W() = H() 9-