Leçon 5 Les probabilités

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1 Leçon 5 Les probabilités Les champs d application des probabilités sont très larges. Sciences et économie les utilisent beaucoup et l étude des jeux comme l exemple de la leçon précédente le montre bien. En 1 re STG, il s agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z. Nous allons utiliser le langage des ensembles pour étudier jeux ou situations diverses. Chaque action dans une situation donnée donne naissance à un univers E ou Ω. Par exemple si nous jetons deux dés l un après l autre, l univers sera E = { (x ; y) x face du dé 1 et y face du dé 2} ; s il s agit d un jeu de 32 cartes et que nous distribuons 3 cartes l une après l autre alors, l univers de ce jeu sera E = {(x ; y ; z) x première carte, y deuxième carte et z troisième carte}enfin si nous choisissons une lampe dans une chaîne de production pour la tester alors : E ={ {x} x la lampe choisie} etc. Il faut ensuite apprendre à compter les éléments de l univers, cela nous donne Card E, le nombre total d éventualités. Tout regroupement d éventualités donne naissance à un événement A ou B ou C dont on doit être capable de dénombrer le nombre des éventualités. Lorsque le jeu ou la situation étudiée est soumis au pur hasard alors, nous sommes dans une situation d équiprobabilité c est-à-dire chaque éventualité a la même chance de se produire. Lorsque nous lançons un dé, chaque face a une probabilité d apparition qui est égale à 6 1. Lorsque nous lançons une pièce, pile et face ont une probabilité d apparition qui est égale à 1. Pour le calcul des probabilités, nous utiliserons les proportions et donc nous retrouvons 2 trois écritures possibles : La fraction ou quotient, le pourcentage ou l écriture décimale. Exemple : 2 1 = 50% = 0,5. Dans l équiprobabilité, nous utilisons la formule de Pascal. Soit A un événement, alors P(A) = card A. card E Dans les autres cas, (par exemple un jeu truqué), pour calculer la probabilité d un évènement, nous ferons la somme des probabilités de toutes les éventualités qui composent l évènement étudié (voir exercice 2). Une leçon beaucoup plus complète sera faîte en terminale.

2 Lycée Elève : Classe : Fiche n 15 Les probabilités Première STG Exercice 1 Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l une après l autre sans remettre la boule tirée dans le sac. Déterminer le nombre total de tirages possibles Soit A : «tirer deux rouges» et B : «tirer au moins une rouge». Calculer P(A) et P(B) C : «tirer deux boules de la même couleur» et D : «faire un tirage bicolore». Calculer P(C) et P(D). Exercice 2 On peut aborder un jeu truqué, l exemple le plus classique est le dé pipé. Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a P(«6») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables. Calculer la probabilité d avoir un nombre pair. Exercice 3 Il y a un lien entre probabilités et statistiques, en effet, souvent, pour étudier une situation, on effectue une simulation sur ordinateur. Appelons P(A) la probabilité de la situation A étudiée et f(a) sa fréquence d apparition constatée dans la simulation. Théorème Si on appelle N, le nombre de fois que la situation est testée, alors : f ( A ) P( A ) 1 ; P( A ) + N 1 N On peut simuler une famille de 4 enfants avec un tirage aléatoire de 4 entiers compris entre 0 et 9(0, 2, 4, 6, 8 représentant les enfants de sexe masculin et 1, 3, 5, 7, 9 ceux de sexe féminin).par exemple 4522 représente une famille ayant 3 garçons et une fille. Avec l ordinateur, nous pouvons faire 30 tirages aléatoires puis 5000 pour observer ce qui se passe.

3 Correction Fiche 15 Exercice 1 La première chose est de donner l univers, ce n est pas le sac mais l action faîte dans cet exercice. E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac} Ensuite le cardinal de l univers c est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le dit plus généralement, le nombre total d éventualités. Card E = 5 4 = 20 tirages possibles. Nous avons 5 choix possibles pour la première boule et 4 pour la suivante car nous n avons pas remis la première boule tirée. Le tableau r 1 r 2 r 3 n 1 n 2 r 1 *** r 2 (r 1 ;r 2 ) *** r 3 (r 1 ;r 3 *** n 1 Etc. *** n 2 *** Horizontalement, la première boule tirée et verticalement, la deuxième. La diagonale est interdite ici car nous ne pouvons pas tirer 2 fois la même boule. r 1, première boule rouge. r 2, la deuxième etc. (r 1 ;r 2 ) signifie que l on a tiré en premier une boule rouge et en deuxième une deuxième boule rouge. Il y a bien 20 cases remplies. Nous pouvons faire un arbre à la place du tableau. r 2.(r 1 ;r 2 ) r (r 1 ;r 3 ) r 1 n (r 1 ;n 1 ) n (r 1 ;n 2 ) r (r 2 ;r 1 ) r (r 2 ;r 3 ) r 2 n (r 2 ;n 1 ) n (r 2 ;n 2 ) r 3 etc. n 1 n 2 Nous trouvons bien 20 «branches». Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c est-à-dire dû au pur hasard et nous allons appliquer la formule Pascal : Soit A un événement alors P(A) = card A. card E Card A, le nombre de tirages donnant A Card E, le nombre total d éventualités de l univers.

4 Cette formule s apparente à la formule donnant la fréquence d apparition en % d une variable statistique P(A) = = = = 0,3 = 30% (Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième) (Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en pourcentage). Propriété importante : A, 0 P(A) 1. 0 est la probabilité de l événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une blanche) et 1 celle de l événement certain (ici, tirer deux boules). B est composé de deux évènements, B 1 : «tirer une rouge et une noire» et A : «tirer deux rouges». Nous écrivons B = B 1 A. Ces deux évènements sont incompatibles (B 1 A = ) cela veut dire qu ils ne peuvent pas se produire en même temps c est-à-dire ils n ont pas d éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements incompatibles alors P(A B) = P(A) + P(B). Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). C est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une intersection, c est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l intersection est compté deux fois et donc : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des ensembles. Ici, nous avons donc, P(B) = P(B 1 A) = P(B 1 ) + P(A). P(B 1 ) = P(«tirer la rouge puis la noire» + P(«tirer la noire puis la rouge») P(B) = = = = (On dit 3 chances sur 5 soit 60%) = = 0,9 ou 90% Remarques Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l arbre (18 sur 20). C se décompose en deux événements C 1 : «tirer deux rouges», C 1 =A et C 2 : «tirer deux noires» P(C 1 ) = P(A) = 10 3 ; P(C 2 ) = = C 1 et C 2 étant incompatibles, nous aurons : P(C) = P(C 1 C 2 ) = P(C 1 ) + P(C 2 ) = 10 4 = 5 2 = 0,4 = 40%. Vous pouvez vérifier avec le tableau en comptant les cases qui conviennent.

5 Pour calculer P(D), nous pouvons parler de l événement contraire. Définition et théorème Tout événement A possède son événement contraire noté A. ( A A= E ; A A = ) et nous avons P(A) = 1 P( A ). Dans ce cas, D = C. P(D) = P( C ) = 1 P(C) = 5 3 = 0,6 = 60%. Exercice 2 E = {{a}, une des faces du dé} Propriété, P(E) = 1 or ici, P(E) = P(«1») + P(«2») + P(«3») + P(«4») + P(«5») + P(«6»). Posons x = P(«2») = P(«3») = P(«4») = P(«5») et donc, 4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045. P(«avoir un nombre pair») = P(«2») + P(«4») + P(«6») Evènements incompatibles. P(«avoir un nombre pair») = 0, , ,8 = 0,89 soit 89%! alors que si le dé n est pas truqué, la probabilité est = 2 1 = 0,5 soit 50%. Exercice 3 On veut étudier les familles ayant 4 enfants de même sexe (A). Cherchons P(A). On peut écrire toutes les situations : ( On doit faire un arbre ) G G G G G..GGGG G G G F G F...GGGF G G F G G G F F G G...GGFG G F G G F G F G F G G F...GGFF G F F G F etc. G F F F F F G G G F G G F G F G F G F G F F F (à vous de compléter) F F G G F F F G F F F F G F F F F Les feuilles de cet arbre donnent toutes les solutions. Nous comptons donc 16 situations différentes et 2 seulement donnent 4 enfants de même 2 sexe donc P(A) = = 0, 125 soit 12,5% 16

6 Si on effectue 30 tirages de 4 nombres ou bien si on demande à la classe, à chaque élève de donner un nombre de 4 chiffres, que va-t-il se passer? Nous risquons d avoir une mauvaise simulation en effet : 1 1 f(a) 0,125 ; 0,125 + c est-à-dire f(a) [ 0,06 ; 0,308 ]! donc [0% ; 31%], rien de précis. Il faut donc faire un grand nombre d expériences, par exemple 5000 dans un tableur, on aura alors une simulation valable : 1 1 f(a) 0,125 ; 0,125 + soit f(a)entre 11% et 14% C est la loi des grands nombres, la simulation permet d approcher la probabilité si N est très grand.