Pré-calcul 40S Solutions

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1 Pré-calcul 40S Solutions Table des matières Pratique : l addition et la soustraction de fonctions... 2 Pratique : la multiplication et la division de fonctions... 3 Pratique : la composition de fonctions... 5 Pratique : les translations... 6 Pratique : les étirements et les réflexions... 9 Pratique : les transformations Pratique : la réciproque Pratique : les fonctions rationnelles et la division de polynômes Pratique : l inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions Pratique : les angles Pratique : le cercle unité et les fonctions trigonométriques Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques Pratique : la résolution d équations trigonométriques Pratique : les identités trigonométriques Pratique : les fonctions exponentielles Pratique : les fonctions logarithmiques Pratique : les lois des logarithmes et la résolution d équation... 41

2 Pratique : l addition et la soustraction de fonctions 1. a. h(x) = x b. h(x) = 2x 3 c. h(x) = 2x 2 + 3x + 2 d. h(x) = x 2 + 5x a. h(x) = 5x + 2 b. 3x 2 4x + 9 c. h(x) = x 2 3x + 12 d. h(x) = cos x 4 3. a. h(x) = x 2 6x + 1; h(2) = 7 b. m(x) = x 2 6x + 1; m(1) = 6 c. p(x) = x 2 + 6x 1; p(1) = 6 4. a. y = 3x x + 4; domaine : {xεr x 4} b. y = 4x 2 x + 4; domaine : {xεr x 4} c. y = x + 4 4x + 2; domaine : {xεr x 4} d. y = 3x 2 + 4x; domaine : {xεr} 5. a. 8 b. 6 c. 7 d. -6 ne fait pas partie du domaine 6. a. B b. C c. A 7. a. g(x) = x 2 b. g(x) = 3x + 1 c. g(x) = 3x 2 x 4 8. a. g(x) = x 2 1 b. g(x) = 8x 9 c. g(x) = 2x 2 11x 6 9. a. C(n) = 1,25n R(n) = 3,5n b. c. (60, 210) d. P(n) = 2,25n 135

3 Pratique : la multiplication et la division de fonctions 1. a. h(x) = x 2 49 k(x) = x+7 x 7 b. h(x) = 6x 2 + 5x 4 k(x) = 2x 1 3x+4 3 c. h(x) = (x + 2) x + 5 k(x) = x+5 ; x 5 et x 2 x+2 d. h(x) = x 2 + 7x 6 k(x) = x 1 6 x 2. a. 3 b. 0 c. 1 d a. b. c. 4. a. b.

4 c. 5. a. g(x) = 3 b. g(x) = x c. g(x) = x d. g(x) = 5x 6 6. a. g(x) = x + 7 b. g(x) = x + 6 c. g(x) = 2 d. g(x) = 3x x 9

5 Pratique : la composition de fonctions 1. a. 2 b. 2 c. 4 d a. 10 b. 8 c. 2 d a. f(g(a)) = 3a b. g(f(a)) = 9a a + 15 c. f(g(x)) = 3x d. g(f(x)) = 9x x + 15 e. f(f(x)) = 9x + 16 f. g(g(x)) = x 4 2x 2 4. a. f(g(x) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x g(f(x)) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x b. f(g(x)) = x g(f(x)) = x c. f(g(x)) = x 2 g(f(x)) = x 2 5. a. b. 6. a. g(x) = 2x 5 b. g(x) = 5x a. 3x 2 21 b. 3x a. f(x) = 2x 1 g(x) = x 2 b. f(x) = 2 g(x) = x 2 3 x c. f(x) = x g(x) = x 2 4x + 5

6 Pratique : les translations 1. a. h = 0, k = 4 b. h = 1, k = 0 c. h = 7, k = 3 d. h = 2, k = 4 2. a. b. c. d. 3. a. (x, y) (x 10, y) b. (x, y) (x, y 6) c. (x, y) (x + 7, y + 4) d. (x, y) (x + 1, y + 3) 4. a. b.

7 c. d. 5. a. h = 5, k = 4 y = f(x + 5) + 4 b. h = 8, k = 6 y = f(x 8) + 6 c. h = 10, k = 8 y = f(x 10) 8 d. h = 7, k = 12 y = f(x + 7) Une translation de 3 unités vers le haut. 7. Une translation de 1 unité vers la droite ou de 9 unités vers la droite a. y = (x + 4) b. {xεr} {yεr y 5} c. Pour déterminer le domaine et l image de la transformée, on ajoute les translations horizontale et verticale au domaine et l image de la fonction de base. Puisque le domaine est l ensemble des nombres réels, il ne change pas, mais l image change.

8 10. g(x) = x a. y = f(x 3) b. y = f(x 6) a. y = (x 7)(x 1) b a. y = f(x) y = f(x h) y = f(x h) + k L ordre des étapes n ont pas d importance puisqu elles n ont pas d effet l une sur l autre. b. Le domaine est décalé de h unités et l image est décalée de k unités. 14. a. f(x) = (x + 1) 2 ; une translation de 1 unité vers la gauche b. g(x) = (x 2) 2 1; une translation de 2 unités vers la droite et de 1 unité vers le bas. 15. Les racines sont 2 et Le nombre 4 peut représenter h ou k dans ce problème. S il représente h, la valeur devient 4, ce qui indique une translation vers la gauche. 17. Utilise un site web ou une application afin de vérifier tes réponses.

9 Pratique : les étirements et les réflexions 1. a. b. c. 2. a. b. c.

10 3. a. Le graphique de y = 4f(x) résulte d un étirement vertical par un facteur de 4 du graphique de y = f(x). (x, y) (x, 4y) b. Le graphique de y = f(3x) résulte d un étirement horizontal par un facteur de 1 3 du graphique de y = f(x). (x, y) ( x 3, y) c. Le graphique de y = f(x) résulte d une réflexion par rapport à l axe des x du graphique de y = f(x). (x, y) (x, y) d. Le graphique de y = f( x) résulte d une réflexion par rapport à l axe des y du graphique de y = f(x). (x, y) ( x, y) 4. a. Domaine : {xεr 6 x 6} Image : {yεr 8 y 8} b. Un étirement vertical agrandit ou réduit l image selon le facteur d étirement mais n affecte pas le domaine. 5. a. Étirement vertical d un facteur de 4. y = 4f(x) b. Réflexion par rapport à l axe des x. y = f(x) c. Étirement horizontal par un facteur de 1. y = f(3x) 3 d. Réflexion par rapport à l axe des y. y = f( x) 6. a. étirement horizontal d un facteur de 1 4 b. étirement horizontal d un facteur de 4 c. étirement vertical d un facteur de 1 2 d. étirement vertical d un facteur de 4 e. étirement horizontal d un facteur de 3 et réflexion par rapport à l axe des y f. étirement vertical d un facteur de 3 et réflexion par rapport à l axe des x 7. Quand le graphique de y = f(x) devient le graphique y = f(bx), il subit un étirement horizontal d un facteur de 1 par rapport à l axe des y et seules les b abscisses changent. Quand le graphique de y = f(x) devient le graphique y = af(x), il subit un étirement vertical par un facteur de a par rapport à l axe des x et seules les ordonnées changent. 8. a. x = 4, x = 3 b. x = 4, x = 3 c. x = 8, x = 6 d. x = 2, x = 1, Vérifiez vos réponses à l aide de la technologie.

11 Pratique : les transformations 1. La fonction subit un étirement horizontal par un facteur de 1 par rapport à l axe des 4 y. Elle subit un étirement vertical par un facteur de 3 par rapport à l axe des x. Elle subit une réflexion par rapport à l axe des x puis une translation de 4 unités vers la droite et de 10 unités vers le bas. 2. a. y = f( (x + 2)) 2 b. y = f(2(x + 1)) 4 3. a. b. 4. a. ( 8, 12) b. ( 4, 72) c. ( 6, 32) d. (9, 32) e. ( 12, 9) 5.

12 6. a. y = 3f(x + 4) 5 b. y = 3 f( 3(x 6)) a. b. c. d. e. f. 8. a. y = 3f(x 8) + 10 b. y = 2f(x 3) + 2 c. y = 1 f( 2(x + 4)) a. b.

13 c. 10. a. B b. A c. D d. C 11. a. y = x b. y = 1 (x + 5) 3 4 c. y = 2 (x 5) 1 d. y = 4 (x 4) Vérifiez vos réponses à l aide de la technologie.

14 Pratique : la réciproque 1. a. b. c. d. 2. a. Le graphique est une fonction, sa réciproque est une relation b. Le graphique et sa réciproque sont des fonctions c. Le graphique et sa réciproque sont des relations 3. a. f 1 (x) = 1 7 x b. f 1 (x) = 1 3 (x 4) c. f 1 (x) = 3x 4 d. f 1 (x) = 3x + 15 e. f 1 (x) = 1 2 (x 5) f. f 1 (x) = 2x 6 4. a. E b. C c. B d. A e. D 5. a. b.

15 c. d. e. f. f 1 (x) = (x 3) 2 où x 3 f(x) Domaine {xεr x 0} Image {yεr y 3} f 1 (x): Domaine {xεr x 3} Image {yεr y 0} g. f 1 (x) = (x + 2) où x 2 f(x) : Domaine {xεr x 1} Image : {yεr y 2} f 1 (x) : Domaine {xεr x 2} Image : {yεr y 1} 6. a. y = ± x 3 Domaine restreint : {xεr x 0} b.

16 c. y = ± x + 3 Domaine restreint : {xεr x 3} d. 7. a. 3 2 b. 0 c. 5 2 d a. 17 b. 3 c a. (6, 10) b. (8, 23) c. ( 8, 9) 10. y = 9 5 x + 32 x représente la température en C et y la température en F. Cette fonction nous permet de faire la conversion de C en F. 32 C est équivalent à 89,6 F

17 Pratique : les fonctions rationnelles et la division de polynômes 1. a. B(x) b. A(x) c. D(x) d. C(x) 2. a. Domaine : {xεr x 1} Image : {yεr y 0} Racine : aucune Ordonnée à l origine : 6 Asymptote verticale : x = 1 Asymptote horizontale : y = 0 b. Domaine : {xεr x 0} Image : {yεr y 1} Racine : 4 Ordonnée à l origine : aucune Asymptote verticale : x = 0 Asymptote horizontale : y = 1 c. Domaine : {xεr x 4} Image : {yεr y 5} Racine : 4,4 Ordonnée à l origine : 5,5 Asymptote verticale : x = 4 Asymptote horizontale : y = 5 d. Domaine : {xεr x 2} Image : {yεr y 3} Racine : 14 3 Ordonnée à l origine : 7 Asymptote verticale : x = 2 Asymptote horizontale : y = 3

18 3. a. y = 2x+1 x 4 b. y = 3x 2 x+1 c. y = 4x+3 x+2 d. y = 2 6x x 5 4. a. y = 4 x b. y = 1 x+3 c. y = d. y = 6 x 2 x 1 5. a = 15 k = 6 6. y = 3x+7 x 2 7. a. y = x2 3x x D {xεr x 0} I {y εr y 3}

19 b. y = x2 3x 10 x+2 D {xεr x 2} I {y εr y 7} c. y = 3x2 +4x 4 x+2 D {xεr x 2} I {y εr y 8} d. y = 5x2 +4x 1 5x 1 D {xεr x 1 5 } I {y εr y 6 5 } e. y = x2 +4x x 2 +9x+20 D {xεr x 4, x 5} I {y εr y 1, y 4} f. y = 2x2 5x 3 x 2 9 D {xεr x 3, x 5} I {y εr y 2, y 7 6 }

20 g. y = x2 +2x 8 x 2 +6x+8 D {xεr x 4, x 2} I {y εr y 1, y 3} h. y = 2x2 +7x x 2 D {xεr x ± 3 2 } I {y εr y 1 13, y } a. graphique C; pas d asymptotes ni points de discontinuité. b. graphique A; asymptote à x = 0, point de discontinuité à (2, 1 ). 2 c. graphique D; asymptote à x = 2, point de discontinuité à ( 2, 1 ). 4 d. graphique B; asymptote à x = 2, point de discontinuité à (0, 1). 9. a. y = x2 +6x x(x+6) ou y = x 2 +2x x(x+2) 10. a. y = 2x2 5x 88 2x 2 +19x+44 b. y = x2 4x 21 x 2 +2x 3 b. y = x2 +3x+2 x 2 x 6 ou y = (x+3)(x 7) (x+3)(x 1) 11. a. x3 +7x 2 3x+4 x+2 b. 11t 4t4 7 t 3 c. (x3 +3x 2 2x+5) (x+1) d. (4n2 +7n 5) (n+3) e. 4n3 15n+2 n 3 f. (x3 +6x 2 4x+1) x+2 = x ; x 2 x+2 = 4t 3 12t 2 36t t 3 ; t 3 = x 2 + 2x ; x 1 x+1 = 4n ; x 3 n+3 = 4n n n 3 ; n 3 = x 2 + 4x ; x 2 x a. 16 b. 38 c. 23 d a. (x 1)(x 2)(x 3) b. (x 1)(x + 1)(x + 2) c. (v 4)(v + 4)(v + 1) d. (x + 4)(x + 2)(x 3)(x + 1) d. (k 1)(k 2)(k + 3)(k + 2)(k + 1)

21 14. a. k = 2 b. k = 1, k = 7 c. k = 6 k = 6 Pratique : l inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions 1. Vérifiez vos graphiques à l aide de la technologie. 2. a. b. c. d. e. f.

22 3. inverse : (7, 1 ) valeur absolue : (7, 4) racine carrée : indéterminable 4

23 Pratique : les angles a. π ou 1,05 3 b. 5π ou 2,62 6 c. 3π ou 4,71 2 d. 2π ou 1, π e. ou 0, f. 3π ou 9,42 3. a. 30 b. 120 c. 67,5 d. 450 e ou 57,3 f. ou 157,6 π π 4. a d π ou 51,429 b ou 209,703 e π 120 ou 96,923 c. π (3600 ) ou 351,796 f. ou 38,197 π ou 1145,916

24 6. a. 432, 288 b. 11π, 5π c. 240, d. 7π, π e. 155, 565 f. 1,5; 4, a. oui b. non c. non d. oui 8. a n, nεz b. π + 2πn, nεz 2 c n, nεz d πn, nεz 9. a. 425 b. 320 c. 400, 320, 680 d. 5π 4 e. 23π f. 5π, π 3 3 g. 3,9 h. 0,9; 5,4 10. a. 13,30cm b. 4,80cm c. 15,88cm d. 30,76po 11. a. 2,25 radians b. 10,98 pi c. 3,82cm d. 17,10m 12. a. 25π 3 m ou 26,18m b. A = 125π 6 ou 65,45m 2 c. 16π radians ou environ 1432,1km (dépendant de la valeur utilisée pour le rayon de la Terre)

25 Pratique : le cercle unité et les fonctions trigonométriques 1. a. non b. non c. oui d. oui e. oui f. oui a. ( 1, 0) b. (0, 1) c. ( 1, 3 ) d. ( 3, 1 ) e. ( 2 ) f. ( 2 ) g. (1, 0) h. (0, 1), 2 2 2, i. ( 3 2, 1 2 ) j. ( 1 2, 3 2 ) 4. a. 3π 2 b. 0 c. π 4 d. 3π 4 e. π 3 f. 5π 3 g. 5π 6 h. 7π 6 i. 5π 4 j. π 5. a. 2 2 b. 3 3 c. 2 2 g. non définie h. 1 i. 3 3 d. 3 e. 2 f. 2 j. 3 2 k. 3 2 l a. 0,68 b. 2,75 c. 1,04 d. 1,00 e. 0,96 f. 1,37 g. 0,78 h. 0,71 i. 0,53 j. 0,97 k. 3,44 l. ϕ 7. a. I ou IV b. II ou IV c. III ou IV d. II e. II f. I 8. a. 5π 3 b. 2π 3 c. 5π 4 d. 11π 6 e. 7π 6 f. 5 π 9. a. positif b. négatif c. négatif d. positif e. positif f. positif

26 10. a. sin 1 0,2 = 0,2014 b. tan 1 7 = 1,429 c. sec 450 = φ d. cot( 180 ) = φ 11. a. 4 5 b. 4 3 c a. 1 b. 2 c. 1 d. 1 e. 1 f a. 7π 6, 11π 6 b. 3π 4, π 4, 5π 4 c. 60, 60 d. 360, 180, 0, a. 1,14 et 1,14 b. 1,37 et 1,77 c. 11,85, 168,15, 191,85, 348,15 d. 33,69, 213,69, 146,31

27 15. cos θ = a. csc θ = 5 4 b. cot θ = 12 5

28 Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques

29 Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques 1. a. amplitude : 2 b. amplitude : 1 2 c. amplitude : 1 3 d. amplitude : 6 2. a. π ou 90 2 b. 6π ou 1080 c. 3π ou 540 d. π ou a. A b. D c. C d. B

30 4. a. amplitude de 2; période de 2π b. amplitude de 4; période de π c. amplitude de 5 ; période de 3π 3 d. amplitude de 3; période de 4π 5. A : y = 2 sin ( 1 2 x) B : y = 1 2 cos(2x) 6. a. b.

31 c. d. 7.

32 8. a. amplitude : 5, période : 4π 3 b. amplitude : 4, période : 2π 3 9. a. 100 mm de Hg b. 75 battements/minute 10. a. b. c. d. e. f. 11. a. b. c. d. e. f.

33 12. a. {yεr 2 y 8} b. {yεr 5 y 1} c. {yεr 2,5 y 5,5} d. {yεr 1 17 y a. D b. C c. B d. A e. E 14. a. D b. B c. C d. A 15. a. y = 4 sin 2 (x π 2 ) 6 b. y = 1 2 sin 1 2 (x + π 6 ) + 1 c. y = 3 4 sin 1 2 x a. a = 3, b = 1, h = 2, k = 3; y = 3 cos 1 (x + 2) b. a = 1, b = 4, h = 3, k = 5; y = 1 cos 4(x 3) c. a = 3, b = 1, h = π, k = 1; y = 3 cos 1 (x π ) rouge, orangé, jaune, vert, bleu, indigo, violet 18. a = 9, k = a b c Amplitude Période 2π 2π π π Déphasage π π vers la droite Déplacement vert. Aucun 2 vers le bas 1 vers le haut Domaine Image {xεr} {yεr 3 y 3} {xεr} {yεr 4 y 0} {xεr} {yεr 1 y 3} Coord. max ( 3π, 3) 4 (π, 0) 2 (π, 3) et 2 (3π, 3) 2 Coord. min ( 7π 4, 3) (3π 2, 4) (0, 1), (π, 1) et (2π, 1) 20. a. y = 2 sin x 1 b. y = 3 sin 2x + 1 c. y = 2 sin 4 (x π 4 ) a. y = 2 cos 2 (x π ) b. y = 2 cos (x + π ) 1 2 c. y = cos(x π) Les graphiques sont identiques.

34 23. y = 4 sin 4(x + π) 24. a. temps : 0min, 0,7min, 1,4min, hauteur : 28m b. temps : 0,35min, 1,05min, 1,75min, hauteur : 2m c. environ 23,1m

35 Pratique : la résolution d équations trigonométriques 1. a. deux b. quatre c. trois d. deux 2. a. θ = π 3 + 2πn, nεz b. θ = 5π 3 3. a. θ = π 6 et 11π 6 + 2πn, nεz b. θ = 0 et 180 c. θ = 135, 45, 45, 135, 225, 315 d. θ = 3π 4, 3π 4, 5π 4 4. a. θ = 1,35 et 4,49 b. θ = 1,76 et 4,52 c. θ = 1,14 et 2,00 d. θ = 0,08 et 3,22 e. θ = 1,20 et 5,08 f. θ = 3,83 et 5,59 5. a. θ = π b. θ = π, 5π, 11π c. x = 315, 225, 45, 135 d. x = 150, 30 e. x = 45, 135, 315 f. θ = 5π, 5π, 7π, 17π a. θ = 0, π, 5π b. θ = 63,435 ; 243,435 ; 135 ; c. 0, π, π d. θ = 180 ; 70,529 ; 70, θ = n, nεz θ = 143, n, nεz θ = 216, n, nεz 8. L élève n aurait pas dû diviser l équation par sin θ car cela élimine des solutions possibles. Solutions : θ = π 6, 5π 6, π 6 9. a. π, 2π, 7π, 8π, 13π, 14π c. 0, π, π, 3π 2 2 e. π 6, 2π 3, 7π 6, 5π 3 g. 2π 3, 5π 3 i. π 6, 5π 6 k. 3π 2 m. π 4, 5π 4 o. 0, 3π 4, π, 7π 4 q. π 4, π 2, 5π 4 b. 0, π d. 7π, 11π, 19π, 23π, 31π, 35π, 43π, 47π f. π, 5π, 7π, 11π h. aucune solution dans l intervalle j. π, 11π 6 6 l. π, π, 5π, 3π n. π 3, 5π 3 p. π 2, 2π 3, 4π 3, 3π 2 r. π 2, 3π 2 s. π, 3π, 3π, 7π t. 0, π, 5π u. π v. 0, π

36 w. 3π, 7π 4 4 y. π, 5π, 7π, 11π a. π, 5π, 7π, 11π c. π, 3π, 5π, 7π e. π, 2π, 4π, 5π g. π, 7π, 11π i. π, 5π, 3π x. π, 5π 6 6 z. 0, 2π, 4π 3 3 b. π, π, 5π d. π, π, 5π 3 3 f. π, π, π, 3π, 5π h. 0, π, 3π, π, 5π, 7π j. 0, π, π, 3π a. 13π, 17π, 31π, 35π b. x = 0, x = c. 4,80 ; 85,20 ; 184,80 ; 265,20 d. 0,04; 1,49; 2,13; 3,58; 4,23; 5,68 e. 44 ; 23,56 ; 95,44 ; 113,56 ; 185,44 ; 203,56 ; 275,44 ; 293,56 f. 1,33 g. 3,59 ; 86,41 h. 1,91 + πn, nεz et 3,09 + πn, nεz i. 4, n, nεz et 7,5 + 8 n, nεz 12. a. Le domaine indique le temps de l année, l image indique la population selon le temps de l année qui varie de à résidants. b. Le domaine indique le temps de la journée, l image indique la hauteur de la marée qui varie de 1 mètre à 13 mètres. c. Le domaine indique le temps sur la grande roue, l image indique la hauteur d un passager qui varie de 6 mètres à 18 mètres. d. Le domaine indique le temps de l année, l image indique la température moyenne qui varie de 5 C à 23 C. 13. V = 155 sin(120πt) 14. Il faut environ 15 mois pour que la population atteigne 650 individus. 15. y = 0,5 cos ( π x) + 0,5 14 0,6 = 0,5 cos ( π x) + 0,5 14 x = 7,8973 et x = 20,1027 La lune sera 60% visible environ aux jours 8 et 20.

37 Pratique : les identités trigonométriques 1. a. tan x b. sin x c. sin x d. cot x e. csc x f. sec x g. sin x h. cos x+1 6 i. sin x cos x+1 sin x+1 2 tan x k. l. m. csc x n. 2 cot 2 x o. sin x cos x cos x p. cos x q. cos x r. cos x 2. a. cos 60 = 1 2 d. cos 5π = g. tan 152 h. cos π 3 = 1 2 b. sin 45 = 2 2 c. cos π = e. sin π = 1 2 f. 6 sin 48 i. cos π = j. sec x 4 csc x 3. a d ou ou 4 b ou 3 2 c e. 2(1 + 3) f ou ou 4 4. Il existe plusieurs façons de démontrer que le côté droit = le côté gauche. 5. a. 0, π 3, π, 5π 3 b. π 6, 5π 6, 3π 2 d. aucune solution e. π 3, π, 5π 3 c. 0, 2π, 4π 3 3 f. aucune solution g. 2π 3, 4π 3 h. π 4, 3π 4, 5π 4, 7π 4 i. π 6, π 2, 5π 6 j. π 3, 5π 3 m. π 3, 2π 3, 4π 3, 5π 3 6. a k. 0, π, π, 3π, 2π l. 3π, π, 7π, 5π, 3π n. π, 5π, 7π, 11π b

38 Pratique : les fonctions exponentielles 1. a. Non, la variable n est pas l exposant. b. Oui, la variable est l exposant. c. Non, la variable n est pas l exposant. d. Oui, la variable est l exposant. 2. a. f(x) = 4 x b. g(x) = ( 1 4 )x c. (0, 1) 3. a. B b. C c. A 4. a. f(x) = 3 x b. f(x) = ( 1 5 )x+1 ou f(x) = 5 (x+1) 5. a. b. c. d. 6. a. f(x) = N o 2 x b. f(x) = M o ( 1 2 )x c. f(x) = 0,8 x d. f(x) = N o 1,1 x 7. Vérifiez vos réponses à l aide de la technologie. 8. a. C b. A c. D d. B

39 Pratique : les fonctions logarithmiques 1. a. b. 2. a. log = 2 b. log 8 2 = 1 3 c. log 10 0,00001 = 5 d. log 7 (y + 3) = 2x 3. a. 5 2 = 25 b = 4 c = d. 11 y = x a. 3 b. 0 c. 1 3 d a = 4; b = 5 6. a. x > 1 b. x < 1 c. x = 1 7. a. 216 b. 81 c. 64 d a. 7 b. 6 c. 0 d

40 11. a. b. c. 12. a. b. c. d. 13. a. y = 5 log x b. y = log 8 2x c. y = 1 3 log 2 x d. y = log 4 ( x 2 ) 14. a. Un étirement horizontal par un facteur de 1 et une translation de 5 unités vers la 4 gauche et 6 unités vers le haut. b. Un étirement horizontal par un facteur de 3, un étirement vertical par un facteur de 2, une réflexion par rapport à l axe des y et une translation de 1 unité vers la droite et de 4 unités vers le bas. c. Une réflexion par rapport à l axe des y, un étirement vertical par un facteur de 5, un étirement horizontal par un facteur de 1 et une translation de 3 unités vers la 4 droite de 2 unités vers le bas. d. Une réflexion par rapport à l axe des x et y, un étirement vertical par un facteur de 1 et une translation de 6 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut. 4

41 Pratique : les lois des logarithmes et la résolution d équation 1. a. log 7 x + 3 log 7 y log 7 z b. 8(log 5 x + log 5 y + log 5 z) c. 2 log x log y 1 3 log z d. y = log 3 x (log 3 y log 3 z) 2. a. 2 b. 3 c. 3,5 d a. log 9 ( xz4 ) b. y = log x y , a. 27 b. 49 y 2 c. log 6 ( x xy ) d. log( xy ) 6. a. P Q b. P + Q c. P + Q 2 d. 2Q 2P 7. a. 1 2 log 5 x, où x > 0 b. 2 3 log 11 x, où x > 0 c. log 2 ( x+5 ), où x > 5 d. log 3 7 ( x+4 ), où x < 4 ou x > 4 x+2 e. log 8 ( x+3 ), où x > 2 x 2 8. Démontre que le côté droit égal au côté gauche. 9. a. 70dB b. environ fois c. environ 98dB 10. a. x = 3 b. x = 2 c. w = 3 d. m = 7 4 e. x = 3 f. x = 4 g. y = 11 h. k = a. b. environ 5,6 C c. presque 644 d. environ 13,0 C h ans

42 14. a. M = 1000(1,02) n b ,79$ c. 8,75 ans 15. a. ( 1 2 ) t 5,3 b c. 47,7 ans 16. a b. 14 c. 3 d. 108 e. 1,61 f. 10,38 g. 4,13 h. 0,94 i. 3 j a. 5 b. aucune c. 2 d. 6 e. 8 f. 25 g. 96 h a. 0,65 b. 0,43 c. 81,37 d. 4,85 e. aucune f. 10 g. 4 h. 2 i. 8 et 4 j. 100 k. 100 et 0,01 l. 1 et 100 m. 16 n m = 2,5 et n = 0, ,53

43 Pratique : les permutations et les combinaisons 1. a. 56 b c. 720 d ! + 3! = 30 7! = a b. 126 c. 720 d. 144 e f a. 360 b. 420 c d. 20 e. 20 f façons 6. a. n = 6 b. n = 11 c. r = 2 d. n = 6 7. a. 6 b. 35 c a. 18 b a. 48 b. 240 c a b c d Non, il y a seulement permutations et membres. 12. Environ 266,7 heures nombres entiers 14. a. r = 3 b. r = 7 c. n = 4 d. n = a. combinaison b. permutation c. combinaison d. combinaison 17. a. 360 b. 35 c. 10 d a. 210 b a. AB, AC, AD, BC, BD, CD b. AB, BA, AC,CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC c. Le nombre de permutations est 2! fois le nombre de combinaisons. 20. a. n = 10 b. n = 7 c. n = 4 d. n = 5

44 21. a. cas 1 : les nombres à un chiffre, cas 2 : les nombres à deux chiffres, cas 3 : les nombres à trois chiffres b. cas 1 : quatre élèves de 12 e année, cas 2 : trois élèves de 12 e année, cas 3 : deux élèves de 12 e année, cas 4 : 1 élève de 12 e année, cas 5 : quatre élèves de 11 e année ! 8!3! = 11! 3!8! 23. a. 5 C 5 = 1 b. 5 C 0 = a. 4 b a. 15 b Slogan de Nike choix a b c a b c a. 5 b. 8 c. q a. x 2 + 2xy + y 2 b. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 c. 1 4p + 6p 2 4p 3 + p 4 d. a 3 + 9a 2 b + 27ab b 3 e. 243a 5 810a 4 b a 3 b 2 720a 2 b ab 4 32b 5 f. 16x 4 160x x x a. 126a 4 b 5 b. 540x 3 y 3 c t 6 d. 96x 2 y 2 e w a. 13 b. 220x 9 y 3 c. r = 6, C 12 6 = a. a3 + 6 b 3 (a2 b 2) + 12 (a) + 8 b c. 1 3x x2 5 2 x x x x6 d. 16x 8 32x x 2 8 x + 1 x Il s agit du 4 e terme : 672x 9 a4 b. 4 b 4 (a4 b3) + 6 (a4 b2) 4 (a4 ) + b a4

45 38. a = 4 ou a = 4