5.1 Dérivation de la transformée de Fourier. f(t)e jnω 0t dt (5.2)

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1 Chapitre 5 Transformée de Fourier Au chapitre précédent, on a vu comment on pouvait représenter une fonction périodique par une somme de sinusoïdes. La transformée de Fourier permet de représenter des signaux qui ne sont pas périodiques. En fait, la transformée de Fourier est un cas spécial de la transformée de Laplace. Alors pourquoi voudrait-on utiliser une autre transformée? La raison est que la transformée de Fourier est plus utile dans certains domaines comme les télécommunications et le traitement de signaux. 5.1 Dérivation de la transformée de Fourier On peut obtenir la transformée de Fourier à partir de la série de Fourier. Soit la série de Fourier, sous forme exponentielle : f(t) = C n e jnω t (5.1) où C n = 1 T n= T/2 T/2 f(t)e jnω t dt (5.2) On cherche une série de Fourier pour un signal apériodique. Si on fait tendre la période T vers l infini (T ), alors on passe d un signal périodique à un signal apériodique. On regarde alors les effets de ceci sur la série de Fourier. Si T augmente, la séparation entre les harmoniques devient de plus en plus petite. On passe donc d un spectre qui est seulement définit à quelques points à un spectre qui est 1

2 continu (infinité d harmoniques). La différence entre deux harmoniques de la série de Fourier est : ω = (n + 1)ω nω = ω (5.3) La différence entre deux harmoniques est tout simplement la fréquence fondamentale. Mais, ω = 2π T (5.4) Alors si T, la séparation entre les fréquences est devient une petite séparation dω. On passe de quelque chose de discret (seulement des fréquences à certains points) à quelque chose de continu. Au fur et à mesure que la période augmente, nω ω (5.5) Quel est l impact de ces changements sur l équation 5.2? Les coefficients de la série de Fourier deviendront de plus en plus faibles : C n lorsque T, ce qui fait du sens, puisque le signal est en train de devenir apériodique. Cependant, le produit C n T ne devient pas nul : C n T Cette dernière équation représente la transformée de Fourier : F (ω) = F{f(t)} = f(t)e jωt dt (5.6) f(t)e jωt dt (5.7) La transformée inverse est donnée par : f(t) = 1 2π F (ω)e jωt dω (5.8) Exemple 1 Faire la transformée de Fourier du pulse suivant : V m v(t) -τ/2 τ/2 t Gabriel Cormier 2 GELE3132

3 En appliquant directement l équation 5.7, on obtient : V (ω) = τ/2 τ/2 e jωt = V m jω = V m jω V m e jωt dt τ/2 τ/2 ( 2j sin ωτ 2 ) On peut écrire ceci sous une autre forme, V (ω) = V m τ sin ωτ/2 ωτ/2 = V m τ sinc(ωτ/2) 5.2 Convergence de la transformée de Fourier Pour que la transformée de Fourier existe, il faut que la fonction f(t) converge. Les pulses et exponentiels qui sont très utilisés en génie électrique sont des intégrales qui converges. Cependant, certains signaux intéressants, comme une constante ou les sinusoïdes, n ont pas d intégrale qui converge. On fait un peu de gymnastique mathématique pour obtenir la transformée de Fourier de ces signaux. On prend l exemple d une constante A. On peut approximer cette fonction par la fonction suivante : f(t) = Ae ɛ t (5.9) Si ɛ, f(t) A. La transformée de Fourier de f(t) est donc : F (ω) = En faisant l intégration, on obtient : F (ω) = Ae ɛt e jωt dt + A ɛ jω + A ɛ + jω = Ae ɛt e jωt dt (5.1) 2ɛA ɛ 2 + ω 2 (5.11) Lorsqu on fait tendre ɛ, la transformée de Fourier devient un pulse δ. La surface sous F (ω) représente la force du pulse et est : La transformée de Fourier d une constante A est donc : 2ɛA dω = 2πA (5.12) ɛ 2 + ω2 F{A} = 2πAδ(ω) (5.13) Gabriel Cormier 3 GELE3132

4 Transformée de Fourier d un signum D autres fonction sont aussi intéressantes à calculer. On commence en premier par la fonction signum. La fonction signum est -1 pour t < et 1 pour t >. On peut exprimer cette fonction en utilisant des échelons : sgn(t) = u(t) u( t) (5.14) Pour calculer la transformée de Fourier de cette fonction, il faut utiliser une approximation. On peut approximer la fonction sgn par l expression suivante : sgn(t) = lim ɛ [e ɛt u(t) e ɛt u( t)], ɛ > (5.15) À partir de l équation 5.7, on calcule F (ω) = = e (ɛ+jω)t e ɛt e jωt dt (ɛ + jω) e(ɛ jω)t ɛ jω e ɛt e jωt dt = 1 ɛ + jω 1 ɛ jω = 2jω ω 2 + ɛ 2 On prend maintenant la limite ɛ, lim ɛ 2jω ω 2 + ɛ = 2 2 jω (5.16) Transformée de Fourier d un échelon On peut faire la transformée de Fourier d un échelon si on s aperçoit qu un échelon peut être décrit par : u(t) = sgn(t) (5.17) Alors, F{u(t)} = F{.5} + F{.5 sgn(t)} = πδ(ω) + 1 jω (5.18) Gabriel Cormier 4 GELE3132

5 5.3 Utilisation de la transformée de Laplace On peut utiliser la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Fourier si on suit quelques règles de base. 1. Les pôles de la transformée de Laplace doivent tous être négatifs (ou zéro) et réels. 2. Si f(t) est zéro pour t, la transformée de Fourier est obtenue en remplaçant s par jω. 3. Si f(t) est zéro pour t, la transformée de Fourier est obtenue en faisant une rotation de la fonction autour de l axe y (pour obtenir une fonction où f(t) est zéro pour t ), puis on calcule sa transformée de Laplace, puis on remplace s = jω. 4. Si la fonction est non nulle pour toutes les valeurs de t, on calcule deux transformées pour t < et t >, puis on fait la somme. Exemple 2 Calculer la transformée de Fourier de e at cos(ω t) u(t). La transformée de Laplace de cette fonction est : s + a (s + a) 2 + ω 2 Si on vérifie les conditions, on voit que les pôles sont négatifs et réels. Ensuite, on voit que la fonction est nulle pour t <. On peut donc remplacer s = jω : F{f(t)} = jω + a (jω + a) 2 + ω 2 Exemple 3 Calculer la transformée de Fourier de e at cos(ω t) u( t). On remarque en premier que cette fonction est nulle pour t >. Il faudra donc la transformer à une fonction nulle pour t <. f( t) = e at cos(ω t) u(t) La transformée de Laplace de cette fonction est donnée plus haut. Pour obtenir la transformée de Fourier, il faut remplacer s = jω : F{f(t)} = jω + a ( jω + a) 2 + ω 2 Gabriel Cormier 5 GELE3132

6 Quelques transformées de Fourier importantes sont données dans le tableau 5.1. Fonction f(t) F (ω) impulsion δ(t) 1 constante A 2πAδ(t) signum sgn(t) 2 jω échelon u(t) πδ(ω) + 1 jω exponentiel e at u(t) 1 a + jω, a > cosinus cos(ω t)u(t) π[δ(ω + ω ) + δ(ω ω )] sinus sin(ω t)u(t) jπ[δ(ω + ω ) + δ(ω ω )] Tab. 5.1 Transformées de Fourier communes 5.4 Transformées opérationnelles Tout comme la transformée de Laplace, la transformée de Fourier possède aussi des transformées opérationnelles Multiplication par une constante alors De la définition de la transformée de Fourier, si F{f(t)} = F (ω) (5.19) F{Kf(t)} = KF (ω) (5.2) La multiplication de f(t) par une constante correspond à la multiplication de F (ω) par la même constante. Gabriel Cormier 6 GELE3132

7 5.4.2 Addition (Soustraction) L addition (soustraction) dans le domaine du temps correspond à une addition (soustraction) dans le domaine de fréquence. Donc, si alors F{f 1 (t)} = F 1 (ω) F{f 2 (t)} = F 2 (ω) F{f 3 (t)} = F 3 (ω) F{f 1 (t) + f 2 (t) f 3 (t)} = F 1 (ω) + F 2 (ω) F 3 (ω) (5.21) Dérivé La transformée de Fourier de la dérivée de f(t) est : { } df(t) F = jωf (ω) (5.22) dt De façon générale, { } d n f(t) F = (jω) n F (ω) (5.23) dt n Ces deux équations sont valides si f(t) = à ± Intégration L intégration dans le domaine du temps correspond à diviser par jω dans le domaine de Laplace. { t } F f(x)dx = F (ω) (5.24) jω Cette relation est seulement valide si f(x)dx = (5.25) Changement d échelle Le temps et la fréquence sont des domaines réciproques : si le temps est étiré, la fréquence est compressée (et vice-versa). F {f(at)} = 1 ( ω ) a F, a > (5.26) a Gabriel Cormier 7 GELE3132

8 5.4.6 Translation dans le domaine du temps La translation dans le domaine du temps représente un déphasage : l amplitude du signal ne change pas, mais sa phase change. F {f(t a)} = e jωa F (ω) (5.27) Translation dans le domaine de fréquence La translation dans le domaine de fréquence correspond à une multiplication par un exponentiel dans le domaine du temps. F { e jω t f(t) } = F (ω ω ) (5.28) Modulation La modulation en amplitude est le processus de faire varier l amplitude d un sinusoïde. Si le signal modulant est noté f(t), le signal modulé devient f(t) cos(ω t). Le spectre de ce signal est la moitié de l amplitude de f(t) centré à ±ω. F{f(t) cos(ω t)} =.5F (ω ω ) +.5F (ω + ω ) (5.29) Cette dernière propriété est très importante en télécommunications Convolution La convolution dans le domaine de temps représente une multiplication dans le domaine de fréquence (et vice-versa). { } F x(λ)h(t λ)dλ = X(ω)H(ω) (5.3) 5.5 Application à l analyse de circuits La transformée de Laplace est plus utilisée pour calculer la réponse d un circuit que la transformée de Fourier pour deux raisons : 1) l intégrale de la transformée de Laplace converge Gabriel Cormier 8 GELE3132

9 pour plus de fonctions que l intégrale de la transformée de Fourier, et 2), la transformée de Laplace permet d accommoder les conditions initiales. Cependant, on fera ici quelques exemples de la transformée de Fourier appliquée à l analyse de circuits. Exemple 4 Utiliser la transformée de Fourier pour calculer le courant i o (t) dans le circuit suivant. La source de courant est i g (t) = 2 sgn(t). 3Ω i g (t) 1Ω i o (t) 1H La transformée de Fourier de la source est : I g (ω) = F{2 sgn(t)} = 4 jω La fonction de transfert du circuit est I o /I g. On peut l obtenir directement (à l aide du diviseur de courant) : H(ω) = I o 1 = I g 4 + jω La transformée de Fourier de la sortie est donc : I o (ω) = I g (ω)h(ω) = 4 jω(4 + jω) Pour solutionner et obtenir i o (t), il faut faire l expansion en fractions partielles, I o (ω) = K 1 jω + K jω qu on solutionne pour obtenir I o (ω) = 1 jω jω Gabriel Cormier 9 GELE3132

10 La réponse en fonction du temps est obtenue à l aide de la transformée inverse : i o (t) = 5 sgn(t) 1e 4t u(t) Le graphe du courant en fonction du temps est donné à la figure suivante. 5 Courant (A) temps (s) Est-ce que la réponse obtenue fait du sens? Pour t <, la source de courant fournit -2A. Si ce courant est fixe depuis longtemps, alors l inductance agit comme un court-circuit. Le courant est donc distribué dans les 2 branches : 1/4 dans la branche avec le 3Ω, et 3/4 dans la branche avec le 1Ω (obtenu par diviseur de courant). Alors, i o =.25( 2) = 5A, ce qui est le cas. Pour t >, le courant est maintenant 2A. À la longue, l inductance redeviendra un court-circuit, et on aura la même distribution de courant dans les branches, soit i o = 5A. La réponse calculée est donc correcte. 5.6 Théorème de Parseval Le théorème de Parseval permet de faire le lien entre l énergie d un signal en fonction du temps et l énergie en fonction de la fréquence. Puisque la fréquence et le temps sont deux domaines qui permettent de décrire complètement un signal, il faut que l énergie totale soit la même dans les deux domaines. Le théorème de Parseval est : f 2 (t)dt = 1 2π F (ω) 2 dω (5.31) Gabriel Cormier 1 GELE3132

11 Exemple 5 Le courant dans une résistance de 4Ω est i = 2e 2t u(t) A. Quel est le pourcentage de l énergie totale dissipée dans la résistance qui provient de la bande de fréquence < ω 2 3rad/s? L énergie totale dissipée dans la résistance est : W = R = 4 J i 2 dt = 4 4e 4t dt On peut aussi vérifier l énergie totale par le théorème de Parseval. La transformée de Fourier du courant est : F (ω) = jω Donc, 2 F (ω) = 4 + ω 2 L énergie totale est : W = 4 π = 16 π = 4 J ω dω 2 ( 1 ω ) 2 tan 1 2 L énergie dans la bande de < ω 2 3rad/s est donnée par : W 1 = 4 π 2 3 = 16 π = ω dω 2 ( 1 ω ) 2 tan 1 2 Le pourcentage de l énergie dans cette bande est donc : J 8/3 4 = 66.67% 2 3 Gabriel Cormier 11 GELE3132