2de Variations de fonctions Cours

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1 2de Variations de fonctions Cours I. Fonction croissante, fonction décroissante Transmath : Activité 1 page Définitions ( la courbe «monte» de gauche à droite, plus La courbe «descend» de gauche à droite, plus augmente plus ( ) augmente plus ( ) diminue Définition Soit une fonction définie sur un intervalle I est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a b alors (a) (b) ( l ordre est conservé) est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a b alors (a) (b) ( l ordre est inversé) Remarques : Une fonction est constante sur un intervalle I si pour tout I, ( ) Exemple : définie sur par ( ) Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle 1

2 2. Sens de variations d une fonction Etudier le sens de variations d une fonction c est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante Exemple 1 : 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction 2. Sur l axe des abscisses, colorier l intervalle sur lequel est croissante. 3. Compléter les phrases suivantes Sur l intervalle [-1 ; 0], est.. Sur l intervalle, est décroissante Sur l intervalle [2 ;3], est. 4. Comparer en utilisant le sens de variations de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemple 2 Tracer la courbe représentative d une fonction définie sur [-4 ; 6 ] telle que : est croissante sur [-4 ; 2 ], est décroissante sur [2 ; 6 ] ( ) ( ) ( ) 3. Tableau de variations On résume le sens de variations d une fonction par un tableau de variations qui schématise la courbe représentative de

3 Exemple 3 : a. Tracer une courbe pouvant représenter la fonction donnée par le tableau de variations suivant b. Dresser le tableau de variations de la fonction dont la courbe est donnée ci-dessous : 3 Maximum minimum 5 est la plus grande ordonnée : c est la maximum de la fonction sur [-7 ; 6] ; il est atteint pour -4 est la plus petite ordonnée : c est le minimum de la fonction sur [-7 ; 6] ; il est atteint pour Définition Soit une fonction définie sur un intervalle I La fonction admet un maximum atteint pour sur l intervalle I, si pour tout réel de I, on a ( ) ( ) La fonction admet un minimum atteint pour sur l intervalle I, si pour tout réel de I, on a ( ) ( ) On dit que la fonction sur I admet un extremum sur l intervalle I, si elle admet un minimum ou un maximum 3

4 Exemple 4 : 1. Déterminer le max et le min du tableau de variations précédent 2. Soit la fonction définie sur par ( ) a. Conjecturer l existence d un maximum à l aide de la calculatrice b. Démontrer que pour tout réel, ( ) ( ) c. En déduire que admet un maximum sur Pour quelle valeur de est-il atteint? II. Fonctions affines 1. Rappels a. Définition Une fonction affine est une fonction définie sur par ( ), où sont des réels coefficient directeur de : ordonnée à l origine de Exemples : Remarques : Si =0, la fonction est une fonction linéaire ; Si =0,la fonction est une fonction constante ; b. Représentation graphique d une fonction affine Propriétés Dans un repère du plan, La représentation graphique d une fonction affine est caractérisée par une droite non parallèle à l axe des ordonnées. La représentation d une fonction linéaire est caractérisée par une droite passant par l origine ( sauf l axe des ordonnées ) Exemples : Comment représenter graphiquement une fonction affine On détermine les coordonnées de deux points appartenant à la droite à l aide d un tableau de valeurs. ( ) 4

5 Méthode graphique : - On détermine l ordonnée à l origine et on place le point correspondant sur l axe des ordonnées - On détermine le coefficient directeur qui indique le déplacement à partir de l ordonnée à l origine. c. Détermination d une fonction affine Graphiquement : déterminer les fonctions affines associées aux droites Par le calcul : déterminer l expression d une fonction affine définie par deux images Exemples : - Déterminer la fonction affine définie par ( ) ( ) - Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par les points ( ) ( ) 5

6 2. Sens de variations d une fonction affine Exemple : Tracer à l aide de votre calculatrice les fonctions affines suivantes et noter leur sens de variations ( ) ( ) ( ) ( ) Observation avec Geogebra : Tracer puis faire varier Propriété Soit une fonction affine définie par ( ), où et réels. Preuve : Si >0 : est strictement croissante sur Si < 0 : est strictement décroissante sur Si = 0 : est constante sur Exemples : donner le sens de variations, en justifiant, des fonctions suivantes 3. Signe de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sur Geogebra, tracer plusieurs fonctions affines et observer le signe + valeur qui annule Propriété : soit une fonction affine définie par ( ) La courbe de coupe l axe des abscisses en ( ) - ( ) + Etablir le signe des fonctions et précédentes. 6

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