Bac Blanc Terminale ES - Février 2016 Correction de l épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

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1 Bac Blanc Terminale ES - Février 206 Correction de l épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Exercice (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Question : La population d une ville augmente de 3 % tous les ans donc elle est multipliée tous les ans par 5 En 5 ans, elle est donc multipliée par 3,03 5, soit par environ,293 5, correspond à une augmentation sur 5 ans de la population de cette ville d environ 5,93 %. Question 2 : ce qui Dans une classe, il y a 60 % de filles, soit p(f) 0,6 et donc p(g) p(f) 0,4. On sait que 30 % des garçons sont blonds, soit p G (B) 0,3 et qu un élève sur 4 est blond soit p(b) 0,25. Je choisis un élève au hasard. La probabilité que ce soit une fille blonde est donnée par : p(f B) p(b) p(g B) d après la formule des probabilités totales, d où : p(f B) p(b) pg(b) p(g) 0,25 0,3 0,4 0,25 0,2 0,3 La probabilité que ce soit une fille blonde est donnée égale à 0,3. Question 3 : Je lance un dé à 6 faces non truqué 0 fois. La variable aléatoire X donnant le nombre de 6 obtenus suit la loi binomiale de paramètres 60. L événement contraire de «obtenir au moins une fois un 6» est 6 «ne pas obtenir de 6» donc la probabilité d obtenir au moins fois un 6 est donnée par : p(x 0) soit environ à la calculatrice 0, La probabilité d obtenir au moins une fois un 6 sur 0 lancés est environ de 0,838. Question 4 : Soit la fonction f définie sur par : f(x) x f est deux fois dérivable sur et on a : f (x) 3 6x 9 et f (x) 6x 6. La dérivée seconde f de f s annule en en changeant de signe et on a : f( ) ( ) 3 3 ( ) 2 9 ( ) 2 3 donc la courbe C f de la fonction f admet comme point d'inflexion le point de coordonnées ( 3). Question 5 : On considère la fonction f définie sur [0 4] par f(x) ()e x. f est dérivable sur [0 4] et on a f (x) e x ()e x (x )e x avec e x 0 pour tout x donc f (x) est du signe de (x ), soit négatif sur [0 ] et positif sur [ 4]. On en déduit que f est décroissante sur [0 ] et croissante sur [ 4]. f admet donc un minimum en avec f() e e. Le minimum de f sur [0 4] est donc e. /

2 Exercice (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH Partie A. L évolution du nombre de passagers du bus effectuant le trajet Rennes-Quimper pendant les quatre premiers mois de l année 205 peut être modélisée par une fonction définie sur [0 [ par f(x) ax 3 b cx d. La variable x désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 205 et f(x) exprime le nombre de passagers du bus. a) On a : f(0) 420 d 420 f() 444 a b c d 444 f(2) 490 8a 4b 2c d 490 f(3) a 9b 3c d 564 b) La forme matricielle du système est AX B où A a) A la calculatrice, A est inversible et A b) AX B A (AX) A B X A B car A A I 4. X donc pour x [0 [, f(x) x 3 8 5x 420. On obtient le système : d 420 a b c d 444 8a 4b 2c d a 9b 3c d f(4) donc, suivant ce modèle, le nombre de passagers du bus en mai 205 devait être de 672. Partie B. a) L ordre du graphe G est 6 (nombre de sommets). b) Le graphe G est connexe car la chaine A-D-F-E-B-C passe par tous les sommets (2 sommets quelconques du graphe sont donc toujours reliés par au moins une chaîne). c) Le graphe G n est pas complet car il y a au moins un sommet qui n est pas de degré 5, par exemple C qui est de degré 2. On peut aussi dire qu il existe au moins deux sommets non adjacents, les sommets C et A par exemple. 2. a) Soit M la matrice d adjacence associée au graphe G. M b) Dans M 3 on a a 34 3 donc il y a trois chaînes de longueur 3 reliant le sommet C au sommet D. Ce sont les chaînes : C-F-A-D, C-B-A-D et C-B-F-D. 3 X a b c d et B /2

3 3. Sommet A B C D E F Degré a) Le graphe G est connexe. Les sommets E et F et eux seulement sont de degré impair donc, d après le théorème d Euler, le graphe admet une chaîne eulérienne d extrémités E et F. Cette chaîne correspond à une promenade qui part d une intersection, passe une fois et une seule par chaque rue et dont le point d arrivée n est pas le même que le point de départ. On peut prendre par exemple : E-A-F-D-A-B-E-F-B-C-F. b) Il n y a pas de cycle eulérien dans le graphe G car il y a des sommets de degré impair donc la promenade qui passe une fois et une seule par chaque rue ne peut pas partir d une intersection et y revenir. 3/3

4 Exercice 2 (5 points). a) Le nombre d employés de l entreprise augmente de 2 % par an, donc u n u n,02. La suite ( u n ) est donc géométrique de raison,02 et de premier terme u b) D après la question précédente, on a : u n u 0 q n, soit u n 2000,02 n. pour tous les candidats 2. 2,5 % du personnel féminin part à la retraite tous les ans et l entreprise recrute 55 femmes tous les ans donc : f n ( 0,025)f n 55, soit f n 0,975f n Le nombre d employés en 207 est donné par : u 2000, et le nombre de femmes est donné f 0,975 f , Il y aura donc 049 hommes ( ) dans l entreprise en a) Déterminons le réel q tel que v n q v n pour tout n. v n f n 2200 pour tout n donc : v n f n ,975f n ,975f n 245 0,975( v n 2200) 245 0,975v n ,975f n On a donc v n 0,975v n ; la suite ( v n ) est donc géométrique de raison 0,975. De plus : v 0 f donc le premier terme de la suite ( v n ) est v b) D après la question précédente, on a v n v 0 q n, soit v n 240 0,975 n. c) On a v n f n 2200 donc f n v n 2200, soit f n ,975 n. d) 0,975 ]0 [ donc lim n 0,945 n 0 d où : lim n f n a) Les valeurs dans le tableau sont arrondies à l unité : U > 2 F Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux N U F L algorithme affiche 202 (206+5) ; cela signifie que c est en 202 que l entreprise emploiera plus de femmes que d hommes. b) On peut, par exemple, entrer les suites ( ) f n et 2 u n dans la calculatrice et observer les différents termes. On retrouve le résultat précédent, soit f n 2 u n à partir de n 5 mais on constate qu à partir de n 7 (c est-à-dire à partir de 2033), f n redevient plus petit que 2 u n, c est-à-dire que le nombre de femmes redevient inférieur au nombre d hommes. Le délégué syndical a donc raison. 4/4

5 Exercice 3 (5 points) pour tous les candidats Un organisme officiel est chargé de réglementer la fouille des fonds marins et d éviter ainsi les pillages. Un chasseur d épaves se rend sur la zone qu on lui a attribuée. Son bateau est équipé d un sonar pour détecter la présence d une épave. On note : - E l événement : «il y a une épave sur zone» et E l événement contraire de E, - S l événement : «le sonar indique l existence d une épave» et S l événement contraire de S.. La probabilité qu une épave soit sur zone est de 0,7 donc on a : p(e) 0,7 et p( E) p(e) 0,3. Au cours de la campagne de fouilles précédente, il a remarqué que si une épave est présente, le sonar S p E (S) 0,2. indique sa présence dans 80 % des cas donc on a : p E (S) 0,8 et p E ( ) S il n y a pas d épave, le sonar indique néanmoins la présence d une épave dans 5 % des cas donc on a : p E (S) 0,05 et p E ( S) p E (S) 0,95 On obtient l arbre pondéré suivant : 2. p(e S) p E (S) p(e) 0,8 0,7 soit p(e S) 0,56. La probabilité qu il existe une épave et que le sonar la détecte est de 0,56 (ou encore, le sonar détecte une épave qui existe réellement dans 56 % des cas). 3. D après la formule des probabilités totales, on a : p(s) p(e S) p( E S) 0,56 p E (S) p( ) E 0,56 0,05 0,3 0,575 La probabilité que le sonar indique la présence d une épave (réelle ou fictive) est bien de 0, Le sonar indique la présence d une épave. Il ne s agit pas d une fausse alerte si l épave est bien présente donc la probabilité qu il ne s agisse pas d une fausse alerte est donnée par : p S (E) p(s E) p(s) 0,56 0,575 avec 0,56 0,575 0,9739 Lorsque le sonar détecte une épave, la probabilité qu il ne s agisse pas d une fausse alerte est donc d environ 0, Lors d une sortie en mer, le chasseur d épaves se trouve toujours dans l une des trois situations suivantes : - Situation : une épave est présente sur la zone et le sonar la détecte. Les plongeurs la localisent et l identifient : une prime de 2000 est alors versée au chasseur d épaves. - Situation 2 : il n y a pas d épave présente sur la zone mais le sonar en détecte une. Les plongeurs descendent, font des recherches pour rien et la sortie coûte 500 au chasseur d épaves. - Situation 3 : le sonar ne détecte aucune épave (qu il y en ait ou pas). Les plongeurs restent à bord et la sortie coûte 300 au chasseur d épaves. 5/5

6 a) Soit X le gain en euros du chasseur d épaves lors d une sortie. On a : p(x 2000) p(s E) 0,56 p(x 500) p( S E) p E (S) p( ) p(x 300) p( S) p(s) 0,425 E 0,05 0,3 0,05 La loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé est donc donnée par : gain x i probabilité p i 0,56 0,05 0,425 On peut vérifier que : 0,56 0,05 0,425 b) Le chasseur d épaves effectue de nombreuses sorties. L espérance de la loi précédente est : E(X) ,56 ( 500) 0,05 ( 300) 0, Le gain par sortie en mer qu il peut espérer avoir est donc de Le chasseur d épaves prévoit d effectuer cinq sorties successives sur la zone de fouilles. A chaque sortie, la probabilité que le sonar reste muet est : p( S) 0,425. On a donc une succession de n 5 épreuves indépendantes et identiques à 2 issues possibles : - la réussite (le sonar reste muet) avec une probabilité p 0,425 - l échec (le sonar ne reste pas muet) avec une probabilité p 0,575 La variable aléatoire Y donnant le nombre de sorties où le sonar reste muet sur les 5 sorties suit donc la loi binomiale de paramètres n 5 et p 0, D après le cours : p(y 3) 3 0,425 3 ( 0,425) 5 3, soit p(y 3) 0, La probabilité pour que, sur les cinq sorties, le sonar reste muet sur exactement trois sorties est donc d environ 0,254. 6/6

7 Exercice 4 (5 points) f est la fonction définie sur [ ] par f(x) e. est sa courbe représentative dans un repère orthogonal, donnée ci-dessous. pour tous les candidats Partie A. On désigne par f la fonction dérivée de f. a) f e u avec u :x soit f (x) 0,0002xe b) On a f (x) 0,0002xe dérivable sur donc sur [ ], de dérivée u :x e x2 pour tout x de [ ]. avec e On en déduit le tableau de variations suivant : 0 pour tout réel x donc f (x) est du signe de 0,0002x signe de f + 0 f e 4 e 4 2. a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 200]. De plus : f(0) et f(200) e 4, soit f(200) 0,08 ; on a donc : f(200) 0,5 f(0). On en déduit, d après le théorème des valeurs intermédiaires, que l équation f(x) solution sur l'intervalle [0 200]. b) A la calculatrice, on trouve successivement : f(00) 0,5 f(0) donc 0 00 ; f(90) 0,5 f(80) donc f(84) 0,5 f(83) donc ; f(83,3) f(83,2) donc 83,2 83,3 f(83,26) 0,5 f(83,25) donc 83,25 83,26 Une valeur approchée de à 0 2 près est 83,26 (ou 83,25). 0,5 admet une unique 7/7

8 3. On donne f (x) 0,0002( 0,0002 ) e avec e 0,0002 avec : donc f (x) est du signe contraire de ( ) 0, , x 5000, d où : 0 pour tout réel x et 0, f(x) La fonction f est donc convexe sur [ ] et concave sur [ ]. Partie B On admet que la probabilité qu une catastrophe naturelle ne se produise pas en Gironde pendant les x années à venir est donnée par f(x) e où x désigne un nombre réel positif.. f(0) e 0 2 e 00 soit f(0) 0,99 (à 0 2 près). La probabilité qu'une catastrophe naturelle ne se produise pas en Gironde au cours des 0 années à venir est donc d environ 0, En passant par l événement contraire, on trouve que la probabilité qu une catastrophe naturelle se produise dans les 20 prochaines années en Gironde est donnée par f(20) où f(20) représente la probabilité qu une catastrophe naturelle ne se produise pas dans les 20 prochaines années avec f(20) 0,96 (à 0 2 près). La probabilité qu une catastrophe naturelle se produise dans les 20 prochaines années en Gironde est donc d environ 0, Une assurance propose de couvrir les risques d'une catastrophe naturelle en Gironde pendant un temps T en échange d une cotisation. Toutefois l'assureur estime que le contrat n est pas rentable pour lui s il a plus de 50 % de chance de devoir indemniser un client. D après la partie A, la fonction f est décroissante sur [0 200] et f(x) 0,5 admet pour solution avec 83,26. On a donc f(x) 0,5 pour x. On en déduit que le temps T maximal que l assureur peut proposer est de 83 ans. 8/8