LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES

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1 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES 1. Les polynômes symétriques élémentaires Fixons quelques notations et terminologies pour les polynômes à plusieurs variables. On fixe un corps K. Un polynôme en X 1, X 2,..., X n avec coefficients dans K est une somme P (X) = a i1,...,i n X i1 2 Xin n (1) (i 1,...,i n) N n avec les a i1,...,i n K et tous sauf un nombre fini des a i1,...,i n égaux à 0. L ensemble de polynômes en X 1,..., X n avec coefficients dans K forme un anneau commutatif K[X 1,..., X n ]. Les produits a i1,...,i n X i 1 2 Xin n avec a i1,...,i n K sont des termes. Les X i 1 2 Xin n sont des monômes. Donc un polynôme est une somme d un nombre fini de termes et une combinaison linéaire d un nombre fini de monômes. Définition. Le degré d un terme ou monôme a i1,...,i n X i 1 2 Xin n est i 1 + i i n. Le degré d un polynôme non nul est le degré maximal de ses termes. Un polynôme non nul est homogène de degré d si tous ses termes sont de degré d. Le polynôme 0 est homogène de tout degré. Par exemple X 1 X3 3 + X2 2 X2 4 + X4 5 est homogène de degré 4. Les polynômes homogènes d un degré donné forment un espace vectoriel vectoriel. Les polynômes homogènes de degré 1 sont les formes linéaires n a i X i = a 1 X 1 + a 2 X a n X n. Les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques a ij X i X j = a 11 X1 2 + a 12 X 1 X a nn Xn. 2 1 i j n Parfois on parle de formes cubiques, quartiques, etc. Strictement dit le polynôme 0 n a pas de degré parce qu il n a pas de termes, mais parfois il est convenable de poser deg(0) = 1 ou deg(0) =. Dans ce cours nous étudierons principalement les polynômes symétriques. Définition. Un polynôme P K[X 1, X 2,..., X n ] en n variables est symétrique si pour toute permutation ρ S n on a P (X 1, X 2,..., X n ) = P (X ρ(1), X ρ(2),..., X ρ(n) ). Un polynôme P (X 1,..., X n ) = a i1,...,i n X i 1 2 Xin n est symétrique ssi pour toute permutation ρ S n et toute multi-indice (i 1,..., i n ) N n on a a i1,i 2,...,i n = a iρ(1),i ρ(2),...,i ρ(n) Par exemple X 1 + X 2 et X X 1X 2 + X2 2 sont des polynômes symétriques en deux variables, et X1 2X 2 + X1 2X 3 + X 1 X2 2 + X 1X3 2 + X2 2 X 3 + X 2 X3 2 est un polynôme symétrique en trois variables. 1

2 2 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES Définition. Pour 1 k n le k-ième polynôme symétrique élémentaire en n variables est σ i (X 1,..., X n ) = X i1 X i2 X ik (2) 1 i 1 <i 2 < <i k n Ainsi σ k est la somme de tous les produits de k variables distincts. Il est homogène de degré k. Il est la somme de ( n k) = C k n monômes. Par exemple les polynômes symétriques élémentaires en trois variables sont σ 1 = X 1 + X 2 + X 3, σ 2 = X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3, σ 3 = X 1 X 2 X 3. (3) Théorème 1.1. Soit r 1,..., r n K. Pour k = 1,..., n soit σ k = σ k (r 1,..., r n ) le k-ième polynôme symétrique élémentaire en r 1,..., r n. Alors on a n (T r i ) = T n σ 1 T n 1 + σ 2 T n 2 + ( 1) n σ n. Par exemple, les polynômes symétriques élémentaires en 1, 2 et 3 sont σ 1 = = 6, σ 2 = = 11, σ 3 = = 6, et on a (T 1)(T 2)(T 3) = T 3 6T T 6. Les polynômes symétriques élémentaires en u, u, v et v sont et on a bien σ 1 = u + ( u) + v + ( v) = 0, σ 2 = u( u) + uv + u( v) + ( u)v + ( u)( v) + v( v) = u 2 v 2, σ 3 = u( u)v + u( u)( v) + uv( v) + ( u)v( v) = 0, σ 4 = u( u)v( v) = u 2 v 2, (T u)(t + u)(t v)(t + v) = (T 2 u 2 )(T 2 v 2 ) = T 4 (u 2 + v 2 )T 2 + u 2 v 2. Démonstration du théorème 1.1. Quand on développe un produit de n facteurs, et chaque facteur est la somme de 2 termes, on trouve une somme de 2 n termes indexés par les parties I {1, 2,..., n} n (A i + B i ) = A i B i. I {1,2,...,n} i I (Cette formule se démontre par récurrence sur n.) Donc nous avons n (T r i ) = T ( r i ) i I i I I {1,2,...,n} Dans cette somme le terme correspondant à la partie I = {i 1,..., i k } de cardinal k est égal à ( 1) k r i1 r i2 r ik T n k. Donc en regroupant les termes selon les cardinaux k = I on a n n (T r i ) = ( 1) k( ) n r i1 r i2 r ik T n k = ( 1) k σ k T n k k=0 1 i 1 <i 2 < <i k n avec σ 0 = 1 et σ k = σ k (r 1,..., r n ) pour 1 k n. Le reste du paragraphe sera dédié à la démonstration du théorème suivant. i I k=0

3 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES 3 Théorème 1.2. Tout polynôme symétrique dans K[X 1, X 2,..., X n ] s écrit d une façon unique comme une expression polynomiale en les polynômes symétriques élémentaires σ 1, σ 2,..., σ n. C est-à-dire pour tout polynôme symétrique P K[X 1, X 2,..., X n ] il existe un unique polynôme Q en n variables tel qu on ait Par exemple dans K[X 1, X 2, X 3 ] on a P (X 1,..., X n ) = Q(σ 1,..., σ n ). X X X 2 3 = σ 2 1 2σ 2, X 2 1X 2 + X 2 1X 3 + X 1 X X 1 X X 2 2X 3 + X 2 X 2 3 = σ 1 σ 2 3σ 3. Ces formules se vérifient en substituant les formules (3) pour σ 1, σ 2 et σ 3 dans les membres de droite et en développant le résultat. Nous démontrerons la partie Existence du théorème 1.2 en donnant un algorithme qui pour chaque polynôme symétrique P (X 1,..., X n ) trouve le Q(σ 1,..., σ n ) qui lui est égal. Mais avant cela nous devons développer plusieurs notions. En travaillant avec un polynôme d une variable a d X d + + a 1 X + a 0, on regarde souvent son terme dominant, qui est a d X d (si on a a d 0). Pour faire quelque chose similaire avec les polynômes de plusieurs variables, il faut ordonner tous les monômes. Définition. Un monôme (ou un terme) est avant un autre dans l ordre lexicographique, noté 2 Xrn n X s 1 2 Xsn n si la première fois qu on a r i s i on a r i > s i. C est-à-dire, s il existe un m avec r i = s i pour i < m et avec r m > s m. Cet ordre a plusieurs propriétés : (i) Transitivité : Si on a 2 Xrn n X s 1 2 Xsn n et X s 1 2 Xsn n X t 1 2 Xtn n, alors on a 2 Xrn n X t 1 2 Xtn n. (ii) Trichotomie : Pour chaque couple de monômes exactement un des trois énoncés suivants est vrai : 2 Xrn n X s 1 2 Xsn n, 2 Xrn n = X s 1 2 Xsn n, X s 1 2 Xsn n 2 Xrn n. (iii) Compatibilité avec la multiplication : Si on a 2 Xrn n X s 1 2 Xsn n, alors en multipliant par un monôme X t 1 2 Xtn n, on garde 2 Xrn n X t 1 2 Xtn n X s 1 2 Xsn n X t 1 2 Xtn n (4) (iv) Pour toute variable on a X i 1. (v) Compatibilité avec l ordre des variables : X 1 X 2 X n. Les axiomes (i) (ii) décrivent un ordre total. Une relation sur les monômes de K[X 1,..., X n ] vérifiant (i) (iv) est un ordre monomial. La condition (v) est considérée plutôt comme une convénience que comme un axiome fondamental. Dans la littérature l axiome (iv) est parfois remplacé par des axiomes équivalents.

4 4 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES Rien ne change dans la suite si on utilise un autre ordre monomial vérifiant (v) dans la place de l ordre lexicographique. Définition. Le terme initial d un polynôme non nul P K[X 1, X 2,..., X n ] est le terme de P qui est avant tous les autres termes de P dans l ordre. On le note in(p ). Par exemple dans P = 2X1 2X 3 + 3X 1 X 2 X 3 + X2 3 on a trié les trois termes pour qu ils apparaissent dans l ordre lexicographique. Le terme initial est in(p ) = 2X1 2X 3 parce qu il est avant 3X 1 X 2 X 3 et X2 3 dans l ordre lexicographique. Lemme 1.3. Soit P, Q K[X 1, X 2,..., X n ] des polynômes non nuls. (a) On a in(p Q) = in(p ) in(q). (b) Si on a in(p ) = in(q), alors on a in(p ) in(p Q) si on a P Q 0. Preuve. (a) Les termes de P Q sont des sommes de produits de termes de P et de Q. Pour tout autre terme t P de P et tout autre terme t Q de Q on a in(p ) t P et in(q) t Q. Donc la formule (4) nous donne in(p ) in(q) in(p )t Q t P t Q, in(p ) in(q) t P in(q). Donc le produit de termes in(p ) in(q) est avant tout autre produit de termes de P et de Q. Il est le terme initial in(p Q). (b) Si on a in(p ) = in(q), alors ces deux termes s annulent l un contre l autre dans P Q, et le terme initial de P Q (si cette différence est non nulle) provient d un terme non initial de P ou de Q. Donc in(p Q) est après in(p ) dans l ordre. (c) Si on a in(p ) in(q i ) pour tout i, alors in(p ) est avant les autres termes de P et tous les termes de tous les Q i. Par conséquence in(p ) est le terme initial in(p + i Q i). Lemme 1.4. Soit P K[X 1, X 2,..., X n ] un polynôme symétrique non nul avec terme initial in(p ) = a 2 Xrn n. Alors on a r 1 r 2 r n 0. L idée est que dans un polynôme symétrique P un terme comme 3X 1 X3 4X2 4 ne peut pas être le terme initial parce que s il apparaît dans P, alors 3X1 4X2 2 X 3 y apparaît aussi car P est symétrique, et on a 3X1 4X2 2 X 3 3X 1 X3 4X2 4. Donc dans le terme initial in(p ) = axr 1 2 Xrn n les puissances des variables successives sont triées en ordre décroissant r 1 r 2 r n. Lemme 1.5. Soit r 1 r 2 r n 0 entiers, et posons Q = σ r 1 r 2 1 σ r 2 r 3 2 σ r n 1 r n n 1 σn rn. Alors on a in(q) = 2 Xrn n. En plus, si on a (s 1, s 2,..., s n ) (t 1,..., t n ) dans N n, alors les monômes in(σ s 1 1 σs 2 2 σsn n ) et in(σ t 1 1 σ t 2 2 σn tn ) sont distincts. Preuve. Les termes initiaux des polynômes symétriques élémentaires sont in(σ i ) = X 1 X 2 X i parce que la suite de i fois 1 s et n i fois 0 vérifiant la condition de décroissance du lemme 1.4 est (1,..., 1, 0,..., 0). Par la proposition 1.3(a) on a in(q) = r 2 1 (X 1 X 2 ) r 2 r3 (X 1 X n 1 ) r n 1 r n (X 1 X n 1 X n ) rn. La puissance totale de X i dans in(q) est Donc on a bien in(q) = Par un calcul similaire (r i r i+1 ) + (r i+1 r i+2 ) + + (r n 1 r n ) + r n = r i. n. 2 Xrn in(σ s 1 1 σs 2 2 σsn P n n ) = X s i P n i=2 1 X s i 2 X s n 1+s n n 1 X sn n.

5 Si on a in(σ s 1 1 σs 2 2 σsn n ) = in(σ t 1 1 σ t 2 2 σn tn ), alors on a n n n s k = s i s i = t i LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES 5 i=k i=k+1 pour tout k. On en déduit (s 1, s 2,..., s n ) = (t 1, t 2,..., t n ). Exemple. Illustrons comment écrire i=k n i=k+1 t i = t k P 0 = X X 2 1X 2 + X 2 1X 3 + X 1 X X 1 X 2 X 3 + X 1 X X X 2 2X 3 + X 2 X X 3 3. comme en termes des polynômes symétriques élémentaires σ 1, σ 2 et σ 3. Pour simplifier l écriture écrivons Notre polynôme est alors X = X X X 3 3, X 2 1X 2 + = X 2 1X 2 + X 2 1X 3 + X 1 X X 1 X X 2 2X 3 + X 2 X 2 3 P 0 = (X ) + (X 2 1X 2 + ) + X 1 X 2 X 3. Son terme initial est in(p ) = X1 3. Par le lemme 1.5 on a aussi in(σ3 1 ) = X3 1. On pose P 1 = P 0 σ 3 1 = ( (X ) + (X 2 1X 2 + ) + X 1 X 2 X 3 ) ( (X ) + 3(X 2 1X 2 + ) + 6X 1 X 2 X 3 ) = 2(X 2 1X 2 + ) 5X 1 X 2 X 3 Ce polynôme a in(p 1 ) = 2X 2 1 X 2. Par le lemme on a in(2σ 1 σ 2 ) = 2X 2 1 X 2. On pose P 2 = P 1 + 2σ 1 σ 2 = P 0 σ σ 1 σ 2 = ( 2(X 2 1X 2 + ) 5X 1 X 2 X 3 ) + ( 2(X 2 1 X 2 + ) + 6X 1 X 2 X 3 ) = X 1 X 2 X 3 On a in(p 2 ) = X 1 X 2 X 3 et in(σ 3 ) = X 1 X 2 X 3. Donc on pose P 3 = P 2 σ 3 = P 0 σ σ 1 σ 2 σ 3 = X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 3 = 0. On trouve donc P 0 σ σ 1σ 2 σ 3 = 0 et par conséquent P 0 = σ 3 1 2σ 1σ 2 + σ 3. Algorithme pour écrire un polynôme symétrique P (X 1,..., X n ) sous la forme Q(σ 1,..., σ n ). L algorithme calcule une suite de polynômes symétriques P i et une suite de polynômes Q i avec P i = P Q i (σ 1,..., σ n ). On commence en posant P 0 = P, Q 0 = 0. Maintenant supposons qu on a calculé P i et Q i. Il y a deux cas : Si P i = 0, on pose Q = Q i. STOP

6 6 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES Si P i 0, on cherche son terme initial. Selon le lemme 1.4 ce terme initial s écrit sous la forme in(p ) = a 2 Xrn n avec r 1 r 2 r n 0. On pose P i+1 = P i aσ r 1 r 2 1 σ r 2 r 3 2 σ r n 1 r n n 1 et on développe P i+1 comme un polynôme en X 1,..., X n en utilisant les formules pour les σ i en termes de X 1,..., X n. On pose Q i+1 = Q i + aσ r 1 r 2 1 σ r 2 r 3 2 σ r n 1 r n n 1 sans évaluer les σ j. (Dans les Q i on traite les σ j comme s ils étaient des variables.) On répète ce boucle calculant les P i et Q i successifs jusqu a ce qu on trouve un N avec P N = 0 et donc Q = Q N. L algorithme se termine pour les raison suivantes. Ecrivons R = aσ r 1 r 2 1 σ r 2 r 3 2 σ r n 1 r n Par le lemme 1.5 on a in(r) = a 2 Xrn n = in(p i ). Donc par le lemme 1.3(b) on a in(p i ) in(p i R) = in(p i+1 ) si P i+1 0. Donc on a in(p 0 ) in(p 1 ) in(p 2 ) σ rn n σ rn n n 1. tant que les P i sont non nuls. Donc il n y a pas de répétitions parmi monômes initiaux des P i. Mais d autre part si deg(p ) = d, alors tous les monômes et polynômes qui apparaissent dans le déroulement de l algorithme sont de degré d. Donc les monômes initiaux des P i appartiennent à un ensemble fini. Donc la suite des P i non nuls doit s arrêter, et on doit tomber sur un N avec P N = 0. Preuve du théorème 1.2. L algorithme ci-dessus montre la partie Existence du théorème : pour tout polynôme symétrique P K[X 1,..., X n ] il existe un polynôme Q en n variables avec P = Q(σ 1,..., σ n ). Unicité : L unicité de Q est équivalent à ce que l application K[T 1,..., T n ] K[X 1,..., X n ] Q(T 1,..., T n ) Q(σ 1,..., σ n ) soit injectif. Mais cette application est un morphisme d anneaux, et un morphisme d anneaux est injectif ssi son noyau est {0}. Donc il suffit de montrer que pour Q(T 1,..., T n ) 0 on a aussi Q(σ 1,..., σ n ) 0. Un tel Q s écrit Q = M j=1 a jt s j1 1 T s j2 2 T s jn n. On peut supposer trois hypothèses : (i) Les monômes apparaissant dans les différents termes de la somme sont distincts, c est à dire (s j1, s j2,..., s jn ) (s k1, s k2,..., s kn ) pour j k. (ii) Tous les coefficients sont non nuls : a j 0. (iii) Il y a au moins un terme dans la somme : M 1. Selon le lemme 1.5 l hypothèse (i) implique que les monômes initiaux in(σ s j1 1 σs j2 2 σ s jn n ) n ) sont distincts. Il y en a au moins 1 par l hypothèse (iii), donc il y en a un in(σ s j σ s j σ s j 0 n qui est avant tous les autres. Alors a j0 in(σ s j σ s j σ s j 0 n n ) est le terme initial non nul de Q(σ 1,..., σ n ) par le lemme 1.3(c). En particulier on a Q(σ 1,..., σ n ) 0. Exemple. Soit r 1, r 2 et r 3 les racines dans C du polynôme f(x) = x 3 6x 2 + 2x + 2. Quel est le polynôme g(x) avec racines r 1 + r 2, r 1 + r 3 et r 2 + r 3? Solution. Selon le théorème 1.1 on a σ 1 = r 1 + r 2 + r 3 = 6, σ 2 = r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = 2, σ 3 = r 1 r 2 r 3 = 2.

7 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES 7 Le polynôme unitaire avec racines r 1 + r 2, r 1 + r 3 et r 2 + r 3 est g(x) = x 3 a 1 x 2 + a 2 x a 3 avec a 1 = (r 1 + r 2 ) + (r 1 + r 3 ) + (r 2 + r 3 ) = 2r 1 + 2r 2 + 2r 3 = 2σ 1 = 12, a 2 = (r 1 + r 2 )(r 1 + r 3 ) + (r 1 + r 2 )(r 2 + r 3 ) + (r 1 + r 3 )(r 2 + r 3 ) = r r r r 1 r 2 + 3r 1 r 3 + 3r 2 r 3 = σ σ 2 = = 38, a 3 = (r 1 + r 2 )(r 1 + r 3 )(r 2 + r 3 ) = r 2 1r 2 + r 2 1r 3 + r 1 r r 1 r r 2 2r 3 + r 2 r r 1 r 2 r 3 = σ 1 σ 2 σ 3 = 2 6 ( 2) = 14. Donc le polynôme avec racines r 1 + r 2, r 1 + r 3 et r 2 + r 3 est g(x) = x 3 12x x La dérivée formelle d un polynôme Définition. La dérivée formelle d un polynôme dans K[X] est P (X) = a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0 P (X) = na n X n 1 + (n 1)a n 1 X n a 2 X + a 1. La dérivation de polynômes est linéaire et satisfait à la règle de Leibniz : ( ) P (X) + Q(X) = P (X) + Q ( (X) ap (X)) = ap (X) ( P (X)Q(X) ) = P (X)Q(X) + P (X)Q (X). Les deux membres de l équation de Leibniz sont bilinéaires en P (X) et Q(X), donc il suffit de vérifier la règle pour les monômes, et on a bien (X n X m ) = (X n+m ) = (n + m)x n+m 1 = nx n 1 X m + X n mx m 1. On a aussi la formule pour la composition : P (Q(X)) = P (Q(X))Q (X). Par linéarité en P (X) il suffit de montrer le cas P (X) = X n, qui est ( Q(X) n) = nq(x) n 1 Q (X), qui se démontre par récurrence sur n via la formule de Leibniz. Si le corps K est de caractéristique 0, les dérivées formelles se comportent comme on s attend d eux : par exemple : deg P (X) = deg P (X) 1 ; P (X) = 0 ssi X constante, etc. Mais en caractéristique p > 0 c est différent. Par exemple, si K est de caractéristique 2, alors pour tout tout polynôme de la forme satisfait à P (X) = 0. P (X) = a 0 + a 2 X 2 + a 4 X a 2m X 2m = Q(X 2 ) Définition. Un polynôme non nul P (X) avec coefficients dans un corps L est scindé sur L s il se factorise en L[X] en facteurs de degré 1 P (X) = a(x r 1 )(X r 2 ) (X r d ). avec a, r 1,..., r d L. Alors en groupant ensemble les r i répétés on peut l écrire aussi P (X) = a(x r 1 ) m 1 (X r 2 ) m2 (X r k ) m k

8 8 LES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES avec a K, les r 1,..., r k K distincts, et les m i 1. Alors m i est la multiplicité de la racine r i de P (X). Une racine simple est une racine de multiplicité 1. Une racine multiple est de multiplicité 2. La multiplicité m d une racine r K de P (X) K[X] se caractérise aussi par une factorisation P (X) = (X r) m Q(X) avec Q(r) 0. On a vu que pour tout polynôme non nul P (X) K[X] il y a une extension L de K tels que P (X) soit scindé sur L. La sous-extension K(r 1, r 2,..., r d ) engendré par les racines est le corps de décomposition de P (X) sur K. Théorème 2.1. Soit P (X) K[X] non nul, et soit L une extension de K sur lequel P (X) est scindé. Alors toutes les racines de P (X) dans L sont simples si et seulement si pgcd(p (X), P (X)) = 1 dans K[X]. Le calcul essentiel est le lemme suivant. Lemme 2.2. Soit P (X) L[X] non nul avec une racine r L. Alors r est une racine simple de P (X) ssi P (r) 0. Preuve. On peut écrire P (X) = (X r) m Q(X) avec m 1 et Q(r) 0. Quand m = 1 la dérivée est P (X) = Q(X) + (X r)q (X), et P (r) = Q(r) 0. Quand m 2 on a P (X) = m(x r) m 1 Q(X) + (X r) m Q (X). avec m 1 1, et P (r) = 0. (La multiplicité de r comme racine de P (X) est m 1 avec égalité ssi la caractéristique de L ne divise pas m.) Preuve. Les polynômes P (X) et P (X) sont premiers entre eux dans K[X] ssi ils sont premiers entre eux dans L[X] parce que (par exemple) dans les calculs de l algorithme d Euclide les quotients et restes dans K[X] sont des quotients et restes dans L[X]. Donc on peut supposer K = L sans perte de généralité. ( ) Si toutes les racines r i de P (X) sont simples, alors par le lemme P (r i ) 0 pour tout r i, et aucun X r i ne divise P (X). Comme les X r i sont les seuls facteurs irréductibles de P (X), on voit que P (X) et P (X) sont premiers entre eux. ( ) Si P (X) a une racine multiple r, alors on a P (r) = 0 par le lemme. Donc X r est un diviseur commun de P (X) et P (X), et ils ne sont pas premiers entre eux. Théorème 2.3. Soit K un corps de caractéristique nulle, P (X) K[X] un polynôme irréductible, et L une extension de K où P (X) est scindé. Alors les racines de P (X) dans L sont simples. Preuve. Le degré du polynôme irréductible est d 1. En caractéristique 0 la dérivée P (X) est non nul de degré d 1. Donc il n est pas divisible par P (X). Mais quand un irréductible ne divise pas un autre polynôme, il est premier avec lui. Lemme 2.4. Soit P (X) = a(x r 1 )(X r 2 ) (X r n ) un polynôme scindé. Alors les valeurs de P (X) aux racines de P (X) sont P (r i ) = a (r i r j ). 1 j n j i