Suites - cours - 1 STG

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1 Suites - cours - STG F.Gaudon 0 juin 2006 Table des matières Notion de suite 2. Définitions Méthodes de construction des suites Définition explicite Définition par récurrence Sens de variation Représentation graphique Suites arithmétiques 4 2. Définition Reconnaissance Expression en fonction de n Suites géométriques 6. Définition Reconnaissance Expression en fonction de n

2 Notion de suite. Définitions On appelle suite toute application u de N dans R. u : N R n n On a u 4 = 4 = 8. L image de n par la suite u est notée u n au lieu de u(n). u n est appelé terme de la suite La suite u est notée (u n ) n N ou (u n ) n. Remarque : Si u 0 est le premier terme de la suite, u n est le n + e terme. Si u est le premier terme de la suite, u n est le n e terme..2 Méthodes de construction des suites.2. Définition explicite Soit f une fonction de R + dans R, on définit une suite (u n ) n en posant pour tout n N, u n = f(n). 2

3 u : N R n u n = n On a u = =, u 2 = 2 = 6, u 0 = 0 = Définition par récurrence Soit f une fonction de R dans R. Une suite définie par récurrence est une suite définie par la donnée de son premier terme u 0 et par la relation pour tout n N, u n+ = f(u n ). u n = { u0 = u n+ = 2u n + On a u = 2u 0 + = 2 + = 5 puis u 2 = 2u + = =, u = 2u 2 + = 2 + = 6.. Sens de variation Une suite (u n ) n est croissante si pour tout entier n, u n+ u n > 0. Une suite (u n ) n est décroissante si pour tout entier n, u n+ u n < 0..4 Représentation graphique La représentation graphique d une suite (u n ) dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (n; u n ).

4 La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par u n = 4 2 n pour tout entier naturel n Suites arithmétiques 2. Définition Soit r un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison r toute suite définie par son premier terme et pour tout entier naturel n par la relation : u n+ = u n + r La suite définie par u 0 = 7 et u n+ = u n 2 pour tout entier naturel n est arithmétique. On a u = u 0 2 = 7 2 = 5, u 2 = u 2 = 5 2 =,etc. 2.2 Reconnaissance 4

5 Une suite (u n ) n est arithmétique si et seulement si pour tout entier n, la différence u n+ u n est constante. Cette constante est alors la raison de la suite. On considère la suite (u n ) définie par u n = 5n 7 pour tout entier naturel n. On a alors u n+ u n = 5(n + ) 7 (5n 7) = 5n n + 7 = 5 pour tout entier n donc la suite (u n ) est arithmétique de raison 5. On considère la suite (w n ) définie par w n = n 2 + pour tout entier n. On a alors w n+ w n = (n + ) 2 + (n 2 + ) = (n 2 + 2n + ) + n 2 = n 2 + 6n + n 2 = 6n + 2 donc la suite n est pas arithmétique. Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique dans un repère du plan est constituée de points alignés. La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par u n = 4 + 2n pour tout entier naturel n

6 2. Expression en fonction de n Si (u n ) n est une suite arithmétique de raison r, alors : si le premier terme est u 0, alors pour tout entier n, u n = u 0 + nr ; si le premier terme est u, alors pour tout entier n, u n = u + (n )r. Pour la suite arithmétique définie par u 0 = 7 et u n+ = u n 2 pour tout entier naturel n, on a r = 2 et donc u n = u 0 + nr donne u n = 7 2n, expression en fonction de n de la suite, ce qui permet de calculer par exemple u 0, u 0 = =. Suites géométriques. Définition Soit q un réel. On appelle suite géométrique de raison q toute suite définie par son premier terme u 0 (ou u ) et telle que pour tout entier naturel n 0 (ou n ) : u n+ = qu n La suite (v n ) définie par v 0 = 9 et v n = v n non nul, est géométrique de raison. pour tout entier naturel n.2 Reconnaissance Une suite (u n ) n est géométrique si pour tout entier n, le quotient u n+ u n est constant. Sa valeur est alors la raison q de la suite. 6

7 On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = 2 n. On a v n+ v n.. Expression en fonction de n = 2 n+ 2 n = donc la suite est géométrique de raison Si (u n ) n est une suite géométrique de raison q et de premier : u 0, alors u n = q n u 0 ; u, alors u n = q n u. Si (v n ) est la suite définie par v 0 = 9 et v n = v n pour tout entier naturel n non nul, on a v n = v 0 q n = 9 ( )n = 9 = ce qui permet n n 2 de calculer par exemple u 0 =. 8 7