1.1 La grenouille de Fibonacci

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Judith Corriveau
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1 1.1 La grenouille de Fibonacci Lors de Show Math, on apprendra que les suites de nombres sont parfois présentes dans des contextes inattendus comme la probabilité d obtenir plusieurs «pile» consécutivement lorsqu on lance une pièce de monnaie à plusieurs reprises. L animateur du spectacle demandera aux élèves s ils connaissent la suite de Fibonacci. Cette activité est donc une introduction à cette suite et présente un exemple d une de ses nombreuses applications. Intentions de l activité Donner aux élèves l occasion d émettre des conjectures Découvrir la suite de Fibonacci à l aide d un exemple concret Introduire le nombre d or 1 Forme de la production attendue Répondre aux questions présentées dans l activité Émettre des conjectures Concepts utilisés Suites récurrentes Quotient de deux nombres Radical d un nombre Ressources matérielles Aucune 1 Le nombre d or, noté φ, a pour valeur. Il est l unique solution positive de l équation x =x !" Présentation 1.1 La grenouille de Fibonacci

2 Déroulement Préparation Réactiver les connaissances portant sur les suites et la recherche de termes manquants. On pourrait aussi demander aux élèves d apporter des cocottes de pin ou un ananas en classe et leur demander d en compter les spirales. Réalisation Encourager les élèves à faire un dessin, une esquisse ou un diagramme pour compter le nombre de trajets que peut effectuer la grenouille. Faire l exemple avec si les élèves tardent trop à comprendre la situation. S assurer que les élèves ont les bons nombres avant de tenter de trouver une régularité. Les élèves risquent de proposer bien d autres façons de calculer la suite. Demandez-leur d essayer avec des nombres plus grands. Vérifier que les élèves ont bien compris comment se calcule la suite de Fibonacci. Intégration Pour s assurer de la compréhension des élèves, il peut être utile de leur demander d aller visiter le site : Il illustre très bien ce qui a été vu lors de l activité. Pistes de différenciation La suite de Fibonacci se retrouve dans la nature. Demander aux élèves d effectuer une recherche pour trouver où et comment on la retrouve. Demander aux élèves d effectuer une recherche pour trouver quels sont les autres endroits où l on retrouve le nombre d or. Consulter l article Spirales végétales dans la revue Accromath, volume, Été-Automne. Cet article est disponible gratuitement en ligne : Présentation 1.1 La grenouille de Fibonacci

3 Nom : 1.1 La grenouille de Fibonacci Peux-tu trouver le lien entre le nombre de courbes couvrant un ananas et le nombre de chemins différents que peut prendre une grenouille en sautant sur des de nénuphar alignées? Des personnes ont remarqué ce lien il y a très longtemps. La réponse se trouve dans la nature, tout autour de toi. Dans cette activité tu découvriras ce lien et bien plus encore! Dans un étang, on retrouve des de nénuphar alignées. Une grenouille placée sur le premier nénuphar cherche à rejoindre le dernier nénuphar. Pour s y rendre, elle peut sauter d une feuille de nénuphar à une autre. Elle peut également faire un grand saut et passer par-dessus une feuille, mais seulement une. Combien de chemins différents peut-elle emprunter 1? Observons d abord le cas où il n y a que deux nénuphars. Il n y a qu un chemin possible. Voyons avec trois nénuphars. Première façon : Deuxième façon : Il y a deux chemins possibles. 1 Vous comprendrez que la réponse à cette question dépend du nombre de entre la rive et la grenouille. Cahier de l élève 1.1 La grenouille de Fibonacci 1

4 Trouvez le nombre de chemins possibles pour un nombre de nénuphars allant de à 7. Inscrivez vos résultats dans le tableau. 1. Quels outils pourraient faciliter votre démarche? Nombre de 6 7 Nombre de chemins 1 Observez les nombres que vous avez obtenus dans le tableau précédent et émettez une ou des conjectures qui vous permettraient de trouver le nombre de chemins s il y avait 8, 9 ou 10.. Pouvez-vous trouver une façon de prédire le nombre suivant de la suite? Discutez-en avec vos coéquipiers.. Cahier de l élève 1.1 La grenouille de Fibonacci

5 La suite que vous avez générée est très célèbre. Elle se nomme la suite de Fibonacci. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise, qui est né vers 1170 à Pise et qui est mort dans cette même ville en 10. La suite est définie de la façon suivante : «Soit deux nombres, qui seront le premier et second terme de la suite, le troisième sera la somme des deux premiers, le quatrième sera la somme du troisième et du second, et ainsi de suite, jusqu à l infini. Chaque terme de la suite est ainsi calculé comme étant la somme des deux termes précédents.» Par exemple, une suite dont les deux premiers termes sont et 7 aura la forme :, 7, 1, 19, 1, etc. Maintenant, combien de chemins sont possibles s il y a 1 de nénuphar entre elle et la rive de l étang?. Une propriété bien spéciale Il est intéressant d observer la variation du nombre de chemins lorsqu on ajoute une feuille entre la grenouille et la rive. Si on passe de à, on passe de 1 à possibilités. On a donc un rapport de Nombre de chemins avec Nombre de chemins avec = =. 1 Faites-le pour les nombres que vous avez écrits dans le tableau de la page précédente.. Passer de... à à à à 6 6 à 7 7 à 8 Rapport = 1 Quel est le rapport du nombre de chemins entre 1 et 1?. Cahier de l élève 1.1 La grenouille de Fibonacci

6 Avez-vous remarqué que le rapport calculé dans le tableau se rapproche de plus en plus de 1,6? En fait, la division d un nombre de la suite de Fibonacci avec son précédent tend vers un nombre très spécial appelé le nombre d or. Le nombre d or Le mathématicien Pacioli associe ce nombre, aussi appelé divine proportion, à un idéal envoyé du ciel. Il est noté! et prononcé phi, en l honneur du grec Phidias. Il vaut : 1 + "# = 1, En mathématique, nous le retrouvons entre autres dans la construction du pentagone régulier. Dans le domaine des arts, il est considéré comme un idéal de beauté et se retrouve dans les peintures et la musique. Des spirales végétales Dans la nature, de nombreuses fleurs ou plantes présentent des structures spiralées. Il suffit de regarder le cœur d un tournesol, une pomme de pin, un ananas ou une rose pour s en rendre compte. On peut observer des spirales différentes sur ces végétaux, les unes tournant dans un sens et les autres dans le sens opposé. Dans le cœur de cette fleur de tournesol et sur cette pomme de pin, on observe ce phénomène. Comptez les spirales qu on retrouve dans chacun des sens. Que remarquez-vous? 6. Y a-t-il un rapport entre ces nombres et ceux vus précédemment? Le nombre de spirales tournant dans chaque sens a une caractéristique bien spéciale. Cahier de l élève 1.1 La grenouille de Fibonacci

7 Pourquoi des nombres de la suite de Fibonacci? Parce que le rapport entre deux nombres de la suite tend vers le nombre d or et que cela permet aux grains, dans le cas du tournesol, d être séparés par un angle qui tend vers!. On retrouve cette caractéristique chez de nombreux végétaux. La raison de cette disposition est complexe, mais elle est liée au fait que l espace autour du cœur du végétal est limité et que chacun des grains cherche à occuper une place maximale autour du centre. Cahier de l élève 1.1 La grenouille de Fibonacci

9 1.1 La grenouille de Fibonacci Corrigé Trouvez le nombre de chemins possibles pour un nombre de nénuphars allant de à 7. Quels outils pourraient faciliter votre démarche? Pour faciliter votre démarche, vous pouvez vous faire des points qui représentent les de nénuphar et dessiner les différents chemins possibles. Vérifiez bien que vous ne répétez pas le même chemin deux fois. 6 7 Inscrivez vos résultats dans le tableau. 1. (Page ) Nombre de 6 7 Nombre de chemins Corrigé 1.1 La grenouille de Fibonacci 1

10 Observez les nombres que vous avez obtenus dans le tableau précédent et émettez une ou des conjectures qui vous permettraient de trouver le nombre de chemins s il y avait 8, 9 ou 10. Pouvez-vous trouver une façon de prédire le nombre suivant de la suite? Discutez-en avec vos coéquipiers.. (Page ) On remarque qu un terme peut être obtenu en additionnant les deux termes précédents. Par exemple, on obtient 8 en additionnant et (+=8) et on obtient 1 en additionnant 8 et (8+=1). On peut facilement le voir avec les images suivantes.! Le nombre de chemins lorsqu on a, est égal au nombre de chemins à plus le nombre de chemins à Corrigé 1.1 La grenouille de Fibonacci

11 Maintenant, pouvez-vous dire combien de chemins possibles la grenouille peut prendre s il y a 1 de nénuphars entre elle et la rive de l étang?. (Page ) Nombre de Nombre de chemins !! = = Comptez les spirales qu on retrouve dans chacun des sens. Que remarquez-vous?. (Page ) Passer de à à à à 6 6 à 7 Augmentation "1 = " = 1, " = 1,6 8 " = 1,6 1 " 8 = 1,6 Quelle est le rapport du nombre de chemins entre 1 et 1?. (Page ) Nombre de chemins avec """"""""""""""""""######## = "" = 1, Nombre de chemins avec 1 77 Comptez les spirales qu on retrouve dans chacun des sens. Que remarquez-vous? 6. (Page ) Dans le tournesol, on retrouve courbes blanches et courbes noires. Dans la pomme de pin, on retrouve 8 courbes blanches et courbes noires. Ce sont des nombres de la suite de Fibonacci lorsque les deux premiers termes sont 1. Corrigé 1.1 La grenouille de Fibonacci

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