Introduction à la théorie des sondages - Cours 2

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1 Introduction à la théorie des sondages - Cours 2 Antoine Rebecq antoine.rebecq@insee.fr INSEE, direction de la méthodologie 17 mars / 95

2 Sommaire I 1 Correction du QCM 2 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal 3 sur un domaine d un ratio 2 / 95

3 Sommaire II Échantillonnage dans le temps Conclusion sur le SAS 3 / 95

4 Chapitre 1 Correction du QCM 4 / 95

5 Rappel sur les π k π k = P(k S) = P(δ k = 1) = p(s) s k π kl = P(k, l S) = P(δ k δ l = 1) = p(s) s k,l (où δ k est l indicatrice d appartenance de k à S, appelée aussi variable de Cornfield) 5 / 95

6 Rappel sur les estimateurs pondérés Estimateur pondéré : ˆΦ = k s w k y k Estimateur pondéré de la moyenne : ˆΦ = 1 w k y k N k s 6 / 95

7 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Chapitre 2 7 / 95

8 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Plan de sondage sans remise - définition On note S l ensemble des parties de U. Le plan de sondage p est une loi de probabilité sur S tel que : s S, p(s) 0 p(s) = 1 s S 8 / 95

9 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple Soit U = {1, 2, 3}. On a alors : S = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} On peut définir un plan de sondage p par : p({1}) = 0 p({1, 2}) = 1 2 p({1, 2, 3}) = 0 p({2}) = 0 p({1, 3}) = 1 3 p({3}) = 0 p({2, 3}) = / 95

10 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple d estimation Avec ce plan de sondage, on tente d estimer le revenu moyen à l aide de la moyenne dans l échantillon (estimation plugin). Le revenu dans la population est : Y 1 = 1000 Y 2 = 2000 Y 3 = 3000 On a donc : Ȳ = / 95

11 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple d estimation Loi de l estimateur ˆΦ : ˆΦ 1 = ˆΦ 2 = ˆΦ 3 = = 1500, probabilité 1 2 = 2000, probabilité 1 3 = 2500, probabilité / 95

12 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple d estimation L espérance de l estimateur est donc : E[ˆΦ] = Ȳ = 2000 ˆΦ est donc biaisé (ce n est pas une surprise!) 12 / 95

13 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Espérance E(ˆΦ) = s p(s) ˆΦ(s) C est la valeur moyenne de ˆΦ obtenue avec le plan de sondage considéré sur tous les échantillons possibles. 13 / 95

14 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Partie 1 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne 14 / 95

15 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Définition Définition L estimateur d Horvitz-Thompson (ou π-estimateur) est défini : y k π k pour un total : ˆT yπ = k s pour une moyenne : ˆȳ π = 1 N k s y k π k C est donc un estimateur pondéré utilisant les poids w k = 1 π k 15 / 95

16 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal sans biais Théorème Si k U, π k > 0, alors l estimateur d Horvitz-Thompson est sans biais pour le total et la moyenne. 16 / 95

17 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal sans biais Démonstration. E[ ˆT yπ ] = E = E = k U [ k s [ k U y k π k ] y k δ k π k y k E[δ k ] π k ] = k U y k = T (y) 17 / 95

18 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple On reprend le plan de la slide 9. Le plan est de taille fixe 2 et : π 1 = 5 6 π 2 = 2 3 π 3 = / 95

19 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple La loi de l estimateur d Horvitz-Thompson Φ HT est donc : ˆ Φ HT 1 = = 4200, probabilité 1 2 ˆ Φ HT 2 = = 7200, probabilité 1 3 ˆ Φ HT 3 = = 9000, probabilité / 95

20 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Exemple d estimation L espérance de l estimateur est donc : Et : E[ ˆ Φ HT ] = = 6000 = Y E[ ˆȲ HT ] = 1 3 ˆ Φ HT = 2000 = Ȳ... ce qui permet de vérifier que ˆ Φ HT est sans biais. 20 / 95

21 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Variance de l estimateur de Horvitz-Thompson Propriété La variance de l estimateur de Horvitz-Thompson s écrit : Var[ˆT yπ ] = y k y l kl π k π l k U l U (où : kl = π kl π k π l ) 21 / 95

22 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Variance de l estimateur de Horvitz-Thompson Démonstration. Var(ˆt yπ ) = Var( k U = k U = k U = k,l U yk 2 πk 2 yk 2 πk 2 y k π k δ k ) Var(δ k ) + k U l U,l k π k (1 π k ) + k U y k π k y l π l kl y k π k y l π l Cov(δ k, δ l ) l U,l k y k π k y l π l (π kl π k π l ) 22 / 95

23 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Variance pour un plan de taille fixe Propriété Si le plan de sondage est de taille fixe (formule de Yates-Grundy) : Var(ˆt yπ ) = 1 2 k U l U,l k ( y k y l ) 2 kl π k π l 23 / 95

24 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Variance de l estimateur de Horvitz-Thompson Démonstration. Découle de la formule de Horwitz-Thompson quand le plan de sondage est de taille fixe. Pour démontrer la formule, il vaut mieux procéder à rebours : 1 2 = 1 2 = 1 2 = k U = k U k U l U,l k k U l U,l k ( y k y l ) 2 kl π k π l ( y k y l ) 2 (π k π l π kl ) π k π l ( y 2 k π 2 k U l U,l k k l U,l k y 2 k π 2 k + y l 2 πl 2 (π k π l π kl ) k U 2 y ky l π k π l )(π k π l π kl ) l U,l k yk 2 ( π l 1 yk 2 π kl ) π k π k π k l U,l k k U y k y l (1 π kl π k π l ) l U,l k y k y l (1 π kl π k π l ) 24 / 95

25 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Variance de l estimateur de Horvitz-Thompson Démonstration. Or, d après le cours 1, on a dans le cas taille fixe : k U π k = n et l U,l k π kl = π k (n 1), cela donne : 1 2 k U l U,l k ( y k y l ) 2 kl π k π l = yk 2 (n π k π k(n 1) ) π k π k k U k U = yk 2 π π 2 k (1 π k ) k U k k U l U,l k = y k y l kl π k π l k,l U l U,l k y k y l π k π l (π k π l π kl ) y k y l (1 π kl π k π l ) Et on retombe bien sur la formule d Horvitz-Thompson. 25 / 95

26 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal : calculer la variance de l estimateur d Horvitz-Thompson dans le cas de la slide 9, et vérifier les formules de Yates-Grundy et de Horvitz-Thompson dans ce cas. 26 / 95

27 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal de variance Les quantités précédentes sont les vraies variances. On peut utiliser les estimateurs suivants, qui sont sans biais dès lors que k, l, π kl > 0 : ˆ Var(ˆt yπ ) = k s yk 2 πk 2 Pour un plan de taille fixe : (1 π k ) k s Var(ˆt ˆ yπ ) = 1 2 k s l s,l k l s,l k y k y l π k π l π kl (π k π l π kl ) ( y k π k y l π l ) 2 π kπ l π kl π kl 27 / 95

28 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Construction d un intervalle de confiance On fait l hypothèse : ˆΦ(s) N (Φ, Var(Φ)) L intervalle de confiance à 95% est défini par : IC 95% = [ˆΦ 2σ(ˆΦ); ˆΦ + 2σ(ˆΦ)] L intervalle de confiance estimé est défini par : IC ˆ 95% = [ˆΦ 2ˆσ(ˆΦ); ˆΦ + 2ˆσ(ˆΦ)] 28 / 95

29 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Remarque Remarque : si le plan de sondage ne vérifie pas : k l U, π kl π k π l 0 (condition de Sen-Yates-Grundy), ces estimateurs de variance peuvent prendre des valeurs négatives. 29 / 95

30 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Partie 2 L estimateur de Hájek 30 / 95

31 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Définition L estimateur de Horvitz-Thompson de la moyenne nécessite la connaissance de N, la taille de la population. On peut utiliser dans ce cas l estimateur : ˆȳ H = k s k s y k π k 1 π k 31 / 95

32 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Propriété L estimateur de Hájek est biaisé, mais en général, le biais est négligeable. 32 / 95

33 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Estimateur de Hájek du total L estimateur de Hájek peut être utilisé pour estimer un total : y k ˆ T (Y ) H = N k s k s π k 1 π k... mais cela impose de connaître N. 33 / 95

34 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Partie 3 Recherche d un estimateur optimal 34 / 95

35 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Estimateur de Horvitz-Thompson L estimateur de Horvitz-Thompson constitue le fondement de l estimation par sondage (même si d autres estimateurs peuvent être utilisés, la logique de construction découle souvent de celle de Horvitz-Thompson, voir cours suivants) 35 / 95

36 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Estimateur de Horvitz-Thompson L estimateur de Horvitz-Thompson n est pas le seul estimateur sans biais. 36 / 95

37 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Recherche d optimalité Existe-t-il un estimateur optimal en sondages? Question centrale pour les théoriciens des sondages dans les années 1950 à 1970 : Godambe, Hanurav, Basu, etc. 37 / 95

38 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Recherche d optimalité Théorème (Godambe, 1955) Dans la classe des estimateurs sans biais, pour un plan sans remise avec n < N tel que k U, π k > 0, il n existe pas d estimateur optimal de ȳ 38 / 95

39 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Recherche d optimalité Démonstration. Si les k U, π k > 0, alors il existe toujours au moins un estimateur sans biais : l estimateur d Horvitz-Thompson. Mais on peut également définir : ˆȳ 2 = ˆȳ π + x ˆ x π, où x est un total supposé connu sur la population. ˆȳ 2 est la somme d estimateurs sans biais, il est donc également sans biais. De plus, si k, x k = y k, alors : EQM(ˆȳ 2) = EQM( x) = 0 Ainsi, un estimateur optimal doit avoir une variance inférieure ou égale à 0, ce qui n est possible que par recensement. 39 / 95

40 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Admissibilité Définition (Admissibilité) Pour un plan donné p, un estimateur ˆΦ est dit admissible si et seulement s il n existe pas d estimateur meilleur que ˆΦ pour toute valeur de y 40 / 95

41 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Admissibilité Découle sur des résultats assez pauvres : beaucoup d estimateurs sont admissibles (Horvitz-Thomspon, différence, etc.) 41 / 95

42 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Admissibilité Définition (Hyperadmissibilité) Un estimateur est dit hyperadmissible s il est admissible pour tout domaine non-vide de U 42 / 95

43 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal Admissibilité L estimateur d Horvitz-Thompson est le seul estimateur sans biais hyperadmissible. Mais ce résultat n est pas si intéressant en soi! (voir éléphants de Basu) 43 / 95

44 L estimateur de Horvitz-Thompson pour un total ou une moyenne L estimateur de Hájek Recherche d un estimateur optimal sans biais L estimation par un estimateur sans biais est un choix, qui peut parfois ne pas être judicieux. Lien intéressant à ce sujet : 44 / 95

45 Chapitre 3 45 / 95

46 Partie 1 46 / 95

47 Définition sans remise (SAS) de taille n : plan de sondage sans remise de taille fixe n tel que tous les échantillons de taille n ont la même probabilité d être tirés. Cette probabilité vaut : p(s) = 1 ( n N) si s = n = 0 sinon. On note le taux de sondage : f = n N 47 / 95

48 Probabilités d inclusion k U, π k = P(k s) = n N = f k l U, π k,l = P(k l s) = n(n 1) N(N 1) 48 / 95

49 Notations On note, dans la population : Total : T (Y ) = k U Y k Moyenne : Ȳ = 1 Y k N k U Variance : S 2 = 1 N 1 k U ( Yk Ȳ ) 2 49 / 95

50 Notations On note, dans l échantillon s : Total : nȳ = k s y k Moyenne : ȳ = 1 y k n k s Variance : s 2 = 1 (y k ȳ) 2 n 1 k s 50 / 95

51 Partie 2 51 / 95

52 Estimateur d Horvitz-Thompson L estimateur d Horvitz-Thompson pour le total et la moyenne s écrit : ˆ T (Y ) = k s ˆȲ = 1 N 1 y k = N π k n k s 1 π k y k = ȳ k s y k = Nȳ 52 / 95

53 Poids de sondage Les poids pour l estimation par Horvitz-Thompson sont : w k = 1 π k = N n On peut dire que l individu k représente w k = N n population U. individus de la Attention, w k n est pas un effectif (en particulier, w k n est pas forcément entier!) 53 / 95

54 Précision Théorème En utilisant la formule de Yates-Grundy, la vraie variance des estimateurs d Horvitz-Thompson s écrit : Var(ȳ) = (1 f ) S 2 n Var( T(Y)) ˆ = N 2 (1 f ) S 2 n 54 / 95

55 Précision Démonstration. Var[ˆȲ] = 1 N 2 Var[ T(Y)] ˆ = 1 2N 2 = 1 2N 2 = N n nn = N n nn S2 = (1 f ) S2 n k U l U,l k ( yk N n k U l U,l k 1 2N(N 1) ( yk y ) 2 l kl π k π l y ) l N 2 n(n n) n N 2 (N 1) k U l U,l k (y k y l ) 2 55 / 95

56 de la précision Théorème La variance empirique (ou dispersion) dans l échantillon s 2 = 1 (y k ȳ) 2 est un estimateur sans biais de n 1 k s S 2 = 1 ( Yk Ȳ ) 2 N 1 k U 56 / 95

57 = S 2 57 / 95 Correction du QCM de la précision Démonstration. E[s 2 ] = E 1 (y k ȳ) 2 n 1 k s = E 1 (y k y l ) 2 2n(n 1) k s l s,l k 1 = (y k y l ) 2 E(δ k δ l ) 2n(n 1) k U l U,l k 1 2 n(n 1) = (y k y l ) 2n(n 1) N(N 1) k U l U,l k 1 = (y k y l ) 2 2N(N 1) k U l U,l k

58 de la précision On peut estimer sans biais la variance de l estimateur d Horvitz-Thompson par : Var(ȳ) ˆ = (1 f ) s2 n Var( ˆ T (Y ˆ )) = N 2 (1 f ) s2 n 58 / 95

59 Partie 3 59 / 95

60 On cherche à estimer P la proportion d individus portant une caractéristique dans la population U. p, la proportion dans s d individus portant la caractéristique, est un estimateur sans biais de P. 60 / 95

61 Variance N P(1 P) Var(p) = (1 f ) N 1 n Var(p) ˆ p(1 p) = (1 f ) n 1 61 / 95

62 Précision Demi-longueur de l intervalle de confiance : L = 2 Coefficient de variation estimé : ˆ CV (p) = p(1 p) n 1 Var(p) ˆ p 1 = (1 f ) n 1 1 p p 62 / 95

63 Taille pour une précision absolue donnée On fixe L ( précision absolue ). Si f 0, on a : n 4p(1 p) L 2 Cas général (f pas forcément petit, et niveau de confiance z, quantile d ordre 1 α 2 de la loi N (0, 1)) : n = 1 + n n 0 N avec : n 0 = z2 p(1 p) L 2 63 / 95

64 Taille pour une précision relative donnée On se fixe une précision relative δ, définie par le rapport de la demi-longueur de l intervalle de confiance à l estimation : δ = 2ˆσ p 64 / 95

65 Taille pour une précision relative donnée De manière équivalente, on peut fixer le coefficient de variation : Si f 0 : CV ˆ (p) = δ 2 = (1 f ) 1 p p(n 1) n 1 p p( CV ˆ (p)) 2 65 / 95

66 Taille pour une précision relative donnée Taille de l échantillon pour une précision relative de ±δ% selon la valeur de la proportion recherchée : 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 1 % % % % % % / 95

67 : surface cultivée Exemple d application : la législation sur la méthode des quotas, en France. instituts.htm elections-departementales-ump-udi / 95

68 Partie 4 68 / 95

69 : surface cultivée On veut estimer la surface moyenne cultivée dans les fermes d un canton rural. Sur N = 2010 fermes que comprend ce canton, on en tire 100 par sondage aléatoire simple. On mesure y k la surface cultivée dans la ferme k (en hectares), et on trouve : y k = 2907 ha k s k s y 2 k = ha2 1 Donner un estimateur sans biais pour la moyenne 2 Donner un intervalle de confiance à 95% pour cet estimateur 69 / 95

70 Partie 5 70 / 95

71 Paragraphe 1 sur un domaine 71 / 95

72 Notations U d U = sous-population d intérêt N d = taille de U d (connue ou inconnue) P d = N d N = taille relative de U d Q d = 1 P d s d = s U d n d = taille de s d p d = n d n = taille relative de s d q d = 1 p d 72 / 95

73 de la taille d un domaine On définit sur U la variable Z indicatrice d appartenance au domaine : Z k = 1 si k U d Z k = 0 sinon 73 / 95

74 de la taille d un domaine Alors : T (Z) = k U Z k = N d Z = N d N = P d z = 1 z k = p d n k s S 2 = N N 1 P dq d s 2 = n n 1 p dq d 74 / 95

75 de la taille d un domaine Théorème Nˆ d = N p d = N nd n est un estimateur sans biais de N d Pˆ d = p d est un estimateur sans biais de P d 75 / 95

76 de la taille d un domaine Démonstration. Toutes ces quantités s écrivent sous la forme d un total (via Z) et correspondent à l estimateur d Horvitz-Thompson, qui est sans biais. 76 / 95

77 de la taille d un domaine On a aussi : Var( ˆN d ) = N 2 N P d Q d (1 f ) N 1 n Var( ˆP N d ) = Var(p d ) = (1 f) N 1 P d Q d n Var( ˆ Nˆ d ) = N 2 (1 f ) p dq d n 1 Var( ˆ Pˆ d ) = Var(p ˆ d ) = (1 f ) p dq d n 1 77 / 95

78 d un total sur un domaine On veut estimer le total T Ud (Y ) d une variable Y sur le domaine U d. On définit sur U la variable Y d par : Y d k Y d k = Y k si k U d = 0 sinon Alors le total à estimer s écrit : T (Y d ) = k U Y d k = k U d Y k = T Ud (Y ) 78 / 95

79 d un total sur un domaine Un estimateur sans biais de T Ud (Y ) est : ˆT Ud (Y ) = n d n Nȳ d où : ȳ d = 1 n d k s d y k 79 / 95

80 d un total sur un domaine Et pour ce qui est de la précision : Var(ˆT Ud (Y)) = N 2 (1 f ) S 2 Y d n avec S 2 Y = 1 d N 1 Var( ˆ ˆT Ud (Y )) = N 2 (1 f ) s2 Y d n avec s2 Y = 1 d n 1 avec : Y d = moyenne de Y d sur U y d = moyenne de Y d sur s k U k s (Y d k Y d ) 2 (y d k y d ) 2 80 / 95

81 d un total sur un domaine Remarque sur la précision : Si on pose : alors on a : Ȳ d = 1 Y k = moyenne de Y sur U d N d k U d S d 2 = 1 (Y k N d 1 Ȳd) 2 = dispersion de Y sur U d k U d Var(ˆT Ud (Y)) N 2 d ( 1 E(n d ) 1 N d ) [ 1 1 ] N d 1 1 S 2 d + N N d N 1 Ȳd 2 N C est donc la taille (attendue) de l échantillon dans le domaine qui est déterminante et non n. 81 / 95

82 Estimateur alternatif pour le total Si on connaît la taille du domaine N d, un autre estimateur naturel de T Ud (Y ) est : ˆT alt U d (Y ) = N d ȳ d C est-à-dire que l on remplace un estimateur sans biais de N d : Nˆ d = n d n N par N d. En général, ˆT alt U d (Y ) est préférable à ˆT Ud (Y ). 82 / 95

83 de la moyenne sur un domaine On veut estimer : Y d = T U d (Y ) N d. On peut utiliser : Y ˆ d = ˆT Ud (Y ) Y ˆ d alt = N d si on connaît N d ˆT U alt d (Y ) = y d que l on connaisse N d ou non! N d Ce dernier estimateur est assez intuitif (plugin!), et est en général meilleur que le premier. 83 / 95

84 Paragraphe 2 d un ratio 84 / 95

85 d un ratio On cherche à estimer le rapport des totaux (ou des moyennes) de deux variables X et Y : R = T (X ) T (Y ) = X Ȳ Attention! L estimateur d Horvitz-Thompson est sans biais quand on estime un total ou une moyenne. 85 / 95

86 d un ratio On peut utiliser l estimateur : Son biais s écrit : ˆR = T (X ˆ ) ˆ X T (Y ˆ ) = ˆȲ = x ȳ B( ˆR) 1 X 2 (1 f )S XY RSX 2 n où : S XY = 1 (y k ȳ)(x k x) N 1 k U 86 / 95

87 Précision de l estimateur du ratio Son écart quadratique moyen et l EQM estimé s écrivent : EQM( ˆR) = 1 f n X 2 (S 2 Y + R2 S 2 X 2RS XY ) EQM( ˆ ˆR) = 1 f n x 2 (s2 Y + ˆR 2 sx 2 2 ˆRs XY ) 87 / 95

88 Paragraphe 3 Échantillonnage dans le temps 88 / 95

89 Problème On veut estimer l évolution de la moyenne d une variable Y entre deux dates 1 et 2 : Y = Ȳ 1 Ȳ 2 89 / 95

90 Méthode 1 Méthode 1 : On tire deux échantillons indépendants aux dates 1 et 2, selon un sondage aléatoire simple. On a alors : Y ˆ = ȳ 2 ȳ 1 un estimateur sans biais de Y, de variance : Var( ˆ Y) = Var(ȳ 1 ) + Var(ȳ 2 ) 90 / 95

91 Méthode 2 : panel Méthode 2 : On utilise un panel, c est-à-dire que l on tire un échantillon en date 1, et on le réinterroge à la date 2. On a alors : Y ˆ = ȳ 2 ȳ 1 un estimateur sans biais de Y, de variance : Var( ˆ Y) = Var(ȳ 1 ) + Var(ȳ 2 ) 2Cov(ȳ 1, ȳ 2 ) où : Cov(ȳ 1, ȳ 2 ) = (1 f ) S 12 n et : S 12 = 1 (Y 1k N 1 Ȳ1)(Y 2k Ȳ2) k U 91 / 95

92 Méthode 2 : panel Dans les bons cas, on a : S 12 > 0, d où : Var( ˆ Y) < Var(ȳ 1 ) + Var(ȳ 2 ) 92 / 95

93 Exemple : enquête emploi à l INSEE Année Trimestre Sous-échantillons T n T T T T n+1 T T T / 95

94 Paragraphe 4 Conclusion sur le SAS 94 / 95

95 Conclusion sur le SAS Les estimateurs ont une forme simple Ne nécesssite aucune information sur les individus de la base de sondage Est essentiel pour comprendre les plans de sondage plus complexes Peut permettre d approximer les plans de sondage plus complexes 95 / 95