Devoir de mathématiques n 3. (sujet A)

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1 Compétences: Calculs Equation Fonctions Identité remarquables- Développer - factoriser Théorème de Thalès et réciproque Géométrie Le 17 / 11 / 2008 classe : Devoir de mathématiques n. (sujet A) Durée 2h calculatrice autorisée présentation et rédaction : 4 point. Activités numériques. (14 points) Exercice I. (2 pts): On donne : A 6 18 = : 7 B= / Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 2 / Calculer B et donner le résultat en écriture scientifique. Exercice II. ( pts): Aujourd hui, Marc a 14 ans et Pierre a 9 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc? La démarche suivie sera détaillée sur la copie. Exercice III. (9 pts): On note A =(4x )² (x + 2)² et B = (x + )(2x 1) + 9x² 2. 1 / a) Développer et réduire les expressions A et B. b) Calculer A pour x = / a) Factoriser l'expression A. b) Factoriser 9x² 2, puis en déduire une factorisation de B. / Résoudre les équations : (x + )(x 6) = 0 et (4x )² = (x + 2)² Activités géométriques. (10 points) Exercice III. (, pts) On considère la figure ci-contre où OA = 6 mm, OB = 48 mm, AB = 2 mm, OI = 24 mm et (AB) // (MI). 1 / Calculer les longueurs OM et IM. 2 / On donne OL = 18 mm et OC = 21 mm. Les droites (AB) et (CL) sont-elles parallèles? (justifier) Exercice IV. (6, pts) Soit un triangle ADB tel que DB = 12 cm AD = cm et AB = 1 cm. 1. Construire le triangle ADB, puis déterminer sa nature. Placer le point C du segment [AB] tel que BC = 4 cm. Tracer le cercle de diamètre [BC], il recoupe (BD) en E. 2. Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E. En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.. Calculer EC et BE. Problèmes. (12 points) Teva roule en moto et tout à coup, il aperçoit un piéton. La distance de réaction est la distance parcourue entre le temps où Teva voit l'obstacle et le moment où il va ralentir ou freiner. Teva est en bonne santé, il lui faut 1 seconde en moyenne pour réagir. La distance de freinage correspond à la distance parcourue pendant que Teva freine. Première partie 1. Si Teva roule à 4 km/h. a. Quelle est sa vitesse en m/s? b. En déduire la distance de réaction de Teva. 2. On admettra que la distance de réaction se calcule avec la formule suivante : D R =V 18, où D R est la distance de réaction en mètre et V est la vitesse en km/h. Compléter le tableau suivant : (détailler les calculs sur la copie)

2 Vitesse en km/h 4 72 Distance de réaction en m 2 0 Deuxième partie On admettra que la distance de freinage se calcule avec la formule suivante : D F = V2 4, où D F est la distance de freinage en mètre et V est la vitesse en km/h. 1. a. Quelle est la distance de freinage lorsque Teva roule à 4 km/h. b. En déduire la distance d'arrêt lorsque Teva roule à 4 km/h. On appelle x la vitesse à laquelle peut rouler un conducteur. Sur la feuille de papier millimétré ci-dessous, on a tracé la représentation graphique de la fonction d définie par d x = x Un conducteur roule à la vitesse de 0 km/h. a. Déterminer graphiquement la distance de freinage de ce conducteur. (On laissera apparents les traits de construction ) b. Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.. En utilisant le graphique (on laissera les traits apparents), donner la vitesse à partir de laquelle la distance de freinage est supérieure à m. 4. Déterminer pour quelle(s) vitesse(s) du conducteur, la vitesse de réaction et la vitesse de freinage sont égales. Distance de freinage en m. C d Vitesse en km/h

3 Compétences: Calculs Equation Fonctions Identité remarquables- Développer - factoriser Théorème de Thalès et réciproque Géométrie Le 17 / 11 / 2008 classe : Devoir de mathématiques n. (sujet B) Durée 2h calculatrice autorisée présentation et rédaction : 4 point. Activités numériques. (14 points) Exercice I.(2 pts): On donne : A = : 18 7 B= / Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 2 / Calculer B et donner le résultat en écriture scientifique. Exercice II. ( pts): Aujourd hui, Marc a 11 ans et Pierre a 2 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc? La démarche suivie sera détaillée sur la copie. Exercice III. (9 pts): On note A =(4 + x)² (2x 1)² et B = ( + x)(2 x) + 9 2x². 1 / a) Développer et réduire les expressions A et B. b) Calculer A pour x = / a) Factoriser l'expression A. b) Factoriser 9 2x², puis en déduire une factorisation de B. / Résoudre les équations : ( + x)( 6x) = 0 et (4 + x)² = (2x 1)² Activités géométriques. (10 points) Exercice IV. (, pts) On considère la figure ci-contre où OA = 49 mm, OB = 42 mm, AB = mm, OI = 24 mm et (AB) // (MI). 1 / Calculer les longueurs OM et IM. 2 / On donne OL = 18 mm et OC = 21 mm. Les droites (AB) et (CL) sont-elles parallèles? (justifier) Exercice V. (6, pts) Soit un triangle ADB tel que DB = 12 cm AD = cm et AB = 1 cm. 1. Construire le triangle ADB, puis déterminer sa nature. Placer le point C du segment [AB] tel que BC = 4 cm. Tracer le cercle de diamètre [BC], il recoupe (BD) en E. 2. Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E. En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.. Calculer EC et BE. Problème. (12 points) Teva roule en moto et tout à coup, il aperçoit un piéton. La distance de réaction est la distance parcourue entre le temps où Teva voit l'obstacle et le moment où il va ralentir ou freiner. Teva est en bonne santé, il lui faut 1 seconde en moyenne pour réagir. La distance de freinage correspond à la distance parcourue pendant que Teva freine. La distance d'arrêt correspond à la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage. Première partie 1. Si Teva roule à 4 km/h. a. Quelle est sa vitesse en m/s? b. En déduire la distance de réaction de Teva. 2. On admettra que la distance de réaction se calcule avec la formule suivante :

4 D R =V 18, où D R est la distance de réaction en mètre et V est la vitesse en km/h. Compléter le tableau suivant : (détailler les calculs sur la copie) Vitesse en km/h 108 Distance de réaction en m 20 12, Deuxième partie On admettra que la distance de freinage se calcule avec la formule suivante : D F = V2 0, où D F est la distance de freinage en mètre et V est la vitesse en km/h. 1. a. Quelle est la distance de freinage lorsque Teva roule à 4 km/h. b. En déduire la distance d'arrêt lorsque Teva roule à 4 km/h. On appelle x la vitesse à laquelle peut rouler un conducteur. Sur la feuille de papier millimétré ci-dessous, on a tracé la représentation graphique de la fonction d définie par d x = x Un conducteur roule à la vitesse de 40 km/h. a. Déterminer graphiquement la distance de freinage de ce conducteur. (On laissera apparents les traits de construction ) b. Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.. En utilisant le graphique (on laissera les traits apparents), donner la vitesse à partir de laquelle la distance de freinage est supérieure à m. 4. Déterminer pour quelle(s) vitesse(s) du conducteur, la vitesse de réaction et la vitesse de freinage sont égales. Distance de freinage en m. C d Vitesse en km/h

5 Correction du devoir de mathématiques n. (sujet A) Exercice I. 1 / A= = 7 1 = = / B= = =, 10 Exercice II. Choix de l'inconnue : Soit x le nombre d'année pour lequel l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc. Mise en équation : Dans x années, l'âge de Pierre sera 9 + x et celui de Marc sera de 14 + x. Donc, 9 + x = 2(14 + x). Résolution : 9 + x = x donc 9 28 = 2x x donc 11 = x. Conclusion : Dans 11 ans l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc. Exercice III. 1 / a) A = 16x² 24x + 9 x² 4x 4 = 1x² 28x + B = 6x² x + 10x + 9x² 2 = 1x² + 7x - 0 b) 2 / a) A =(4x x 2)(4x + x + 2) = (x )(x 1). b) 9x² 2 = (x )(x + ) donc B = (x + )(2x 1) + (x + )(x ) = (x + )(2x 1 + x ) = (x + )(x 6) / (x + )(x 6) = 0 or, si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. Donc x + =0 ou x 6 = 0. Soit x= ou x= 6 Les solutions sont et 6. (4x )² = (x + 2)² (4x )² - (x + 2)² = 0 (x )(x 1) = 0 or, si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. Donc x =0 ou x 1 = 0. ou x= 1 Soit x= Les solutions sont et 1 Exercice IV. 2 /On sait que MOI et BOA forment une configuration de Thalès où (MI) //(AB). D'après le théorème de Thalès on a : OA OM =OB AB 6 OI = donc MI 0M = = Soit : OM= donc OM = 28. et MI = donc MI = 16. MI La longueur OM est de 28 mm et la longueur MI est de 16 mm. OA / OC =6 21 = 8 OB et OL =48 18 =8 On sait maintenant que OA / OC = OB / OL et que les points O, C, A et O, L, B sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (AB) // (CL). Exercice V. 1. AB² = 1² = 169 et DB² + AD² = 12² + ² = = 169. On sait maintenant que AB² = BD² + AD², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que ABD est rectangle en D. 2. On sait que E est un point du cercle de diamètre [BC]. Donc, BCE est un triangle rectangle en E. On sait maintenant que (AD) (BD) et que (CE) (BD). Donc, (AD) // (CE).. On sait que ABD et BCE forment une configuration de Thalès où (AD) //(CE). D'après le théorème de Thalès on a : BA BD AD BC = BE = CE donc = BE = Soit : BE= donc 48 4 BE=. et CE= donc 20 CE= CE La longueur BE est de cm et la longueur CE est de 1 1 cm. Problème. Première partie 1. Si Teva roule à 4 km/h. a. 4 km 000m V=4 km/h= =4 1 h 600 s =1 m =1 m/s 1 s b. On en déduit que Teva parcourt 1 m en 1 seconde 2. Vitesse en km/h Distance de réaction en m 12,

6 Deuxième partie 1. a. Pour V = 4 km/h on a : D F = =4 4 =64,8. Donc pour 4 km/h, sa distance de freinage est de 64,8 m. b. On a : D A = D F + D R = 64,8 + 1 = 79,8. Donc, la distance d'arrêt pour 4 km/h est de 79,8 m. 2. Un conducteur roule à la vitesse de 0 km/h. a. Graphiquement, la distance de freinage pour une vitesse de 0 km/h est d'environ : 20 m. b. D F = 02 4 =0 =20. Donc, la distance de freinage pour une vitesse de 0 km/h est de 20 m. 4. Graphiquement, la distance de freinage est supérieure à m à partir d'une vitesse d'environ : 64 km/h. 4. Choix de l'inconnue : Soit x la vitesse du conducteur. Mise en équation : Pour la distance de réaction et la distance de freinage sont égales, on a : x 18 = x2 4 x Résolution : Donc 18 x² 2x =0 donc 4 2x2 =0 donc 2x 2x² =0 donc x(2 2x) = 0. Or, si A.B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Donc x = 0 ou 2 2x = 0. Donc x = 0 ou x = Les solutions de l'équations sont 0 et 2. Conclusion : La distance de réaction et la distance de freinage sont égales lorsque la vitesse est de 0 km/h ou 12, km/h. Distance de freinage en m Vitesse en km/h

7 Correction du devoir de mathématiques n. (sujet B) Exercice I. 1 / A= = 7 21 = =14 21 =2 2 / B= = =, 10 6 Exercice II. Choix de l'inconnue : Soit x le nombre d'année pour lequel l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc. Mise en équation : Dans x années, l'âge de Pierre sera 2 + x et celui de Marc sera de 11 + x. Donc, 2 + x = 2(11 + x). Résolution : 2 + x = x donc 2 22 = 2x x donc 10 = x. Conclusion : Dans 10 ans l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc. Exercice III. 1 / A = x + 9x² 4x² + 4x 1 = x² + 28x + 1 B = 6 x + 10x x² + 9 2x² = 1 + 7x - 0x² 2 / a) A =(4 + x 2x + 1)(4 + x + 2x 1) = (x + )(x + ). b) 9 2x² = ( x)( + x) donc B = ( + x)(2 x) + ( + x)(x ) = ( + x)(2 x + x) = (x + )(x 6) / (x + )(x 6) = 0 or, si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. Donc x + =0 ou x 6 = 0. Soit x= ou x= 6 Les solutions sont et 6. (4 + x)² = (2x 1)² (4 + x)² - (x 1)² = 0 (x + )(x + ) = 0 or, si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. Donc x + =0 ou x + = 0. Soit x = - ou x= Les solutions sont et Exercice IV. 2 /On sait que MOI et BOA forment une configuration de Thalès où (MI) //(AB). D'après le théorème de Thalès on a : OA OM =OB AB 49 OI = donc MI 0M = = Soit : OM = donc OM = 28. et MI = donc MI = 20. MI La longueur OM est de 28 mm et la longueur MI est de 20 mm. OA / OC =49 21 =7 OB et OL =42 18 =7 On sait maintenant que OA / OC = OB / OL et que les points O, C, A et O, L, B sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (AB) // (CL). Exercice V. 1. AB² = 1² = 169 et DB² + AD² = 12² + ² = = 169. On sait maintenant que AB² = BD² + AD², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que ABD est rectangle en D. 2. On sait que E est un point du cercle de diamètre [BC]. Donc, BCE est un triangle rectangle en E. On sait maintenant que (AD) (BD) et que (CE) (BD). Donc, (AD) // (CE).. On sait que ABD et BCE forment une configuration de Thalès où (AD) //(CE). D'après le théorème de Thalès on a : BA BD AD BC = BE = CE donc = BE = Soit : BE= donc 48 4 BE=. et CE= donc 20 CE= CE La longueur BE est de cm et la longueur CE est de 1 1 cm. Problème. Première partie 1. Si Teva roule à 4 km/h. a. 4 km 4 000m V=4 km/h= = 1 h 600 s =12, m =12, m/s 1 s b. On en déduit que Teva parcourt 12, m en 1 seconde 2. Vitesse en km/h Distance de réaction en m ,

8 Deuxième partie 1. a. Pour V = 4 km/h on a : D F = 42 0 = =40,. Donc pour 4 km/h, sa distance de freinage est de 40, m. b. On a : D A = D F + D R = 40, + 12, =. Donc, la distance d'arrêt pour 4 km/h est de m. 2. Un conducteur roule à la vitesse de 40 km/h. a. Graphiquement, la distance de freinage pour une vitesse de 40 km/h est d'environ : 2 m. b. D F = = 1600 =2. Donc, la distance de freinage pour une vitesse de 40 km/h est de 2 m. 0. Graphiquement, la distance de freinage est supérieure à m à partir d'une vitesse d'environ : 67 km/h. 4. Choix de l'inconnue : Soit x la vitesse du conducteur. Mise en équation : Pour la distance de réaction et la distance de freinage sont égales, on a : x 18 = x2 0 x Résolution : Donc 18 x² 12x =0 donc x2 =0 donc 12x 9x² =0 donc x(12 9x) = Or, si A.B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Donc x = 0 ou 12 9x = 0. Donc x = 0 ou x = 12. Les solutions de l'équations sont 0 et Conclusion : La distance de réaction et la distance de freinage sont égales lorsque la vitesse est de 0 km/h ou km/h. Distance de freinage en m Vitesse en km/h