Mathématique Secondaire Enseignant : Maryse Daoust M. Said Kadi. Nom :

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1 Mathématique Secondaire Enseignant : Maryse Daoust M. Said Kadi Nom : Groupe :

2 Tale des matières Les ensemles de nomres p. Notation scientifique... p. Mise en pratique.. p. Appellation des nomres... p.6 La loi des eposants p. Rappel p. Loi de la multiplication... p.8-9 Loi de la division p.10 Puissance d eposant négatif.. P.11 Puissance d une puissance p.1 Puissance d eposant négatif... p.1 Méli mélo.. Algère... p.1 Définitions... p.1 Mise en pratique.. p.1 Opérations algériques... p.1 Multiplication. P.1 Division.. p.18 Multiplication. p.0 Résolution de prolèmes... p. Factorisation (mise en évidence simple). p. Résumé... p.6 Mise au point.. p.

3 Les ensemles de nomres Q Q Z N R N c est l ensemle des nomres Z c est l ensemle des nomres Q c est l ensemle des nomres E : Q c est l ensemle des nomres E : R c est l ensemle des nomres

4 La notation scientifique La notation scientifique est universelle. Utilisée surtout en sciences, cette notation facilite la lecture, l écriture et la comparaison de très grands et de très petits nomres. Écrire un nomre en notation scientifique, par eemple , c est le décomposer en deu facteurs. Premier facteur (appelé «la mantisse») Nomre décimal supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10, formé de chiffres significatifs.,0 X 10 6 Deuième facteur Puissance de 10 en notation eponentielle. L eposant indique de comien de position on doit avancer ou reculer la virgule Premier chiffre significatif non nul Autres chiffres significatifs conservés Si l eposant est positif, on avance la virgule. ( devient grand nomre) Si l eposant est négatif on recule la virgule. ( devient petit nomre) Calculatrice EXP EE 10 _ Eemples : 1) diamètre du système solaire : km Réponse : ) diamètre d un atome d argent : 0, km Réponse:

5 Étapes à suivre pour écrire en notation scientifique : 1) Placer la virgule afin d otenir un nomre décimale entre 1 et 10 (10 non-inclus) ) Indiquer le «10» ) Déterminer l eposant pour le nomre 10 et indiquer s il est positif ou négatif Mise en pratique 1) Transforme les nomres décimau en notation scientifique ou vice versa. a) 800 = ),00 = c) 0 = d),8 10 = e) 0,000 = f), 10 = g) 0,01 = h), 10 - = i) km = j) 0, km = k),6 10 = l) 1, 10 - = e) 10 - = g) () =

6 Appellation des petits nomres Nom Notation scientifique Diième Centième Millième Di-Millième Cent-Millième Millionième Milliardième Appellation des grands nomres Préfie Symole Puissance de 10 par laquelle l unité est multipliée Eemple nano η micro µ 10 9 = 0, = 0, milli m 10 = 0, 001 centi c 10 = 0, nm=110 mètre 6 0,1 um=0,110 mètre 6 mm=610 mètre,1 cm=,110 déci d 10 = 0, 1 1 dm=110 mètre déca da 10 1 = 10 9 dam=910mètres hecto h 10 = hm=1110 mètres kilo k 10 = 1000 km=10 mètres méga M 10 6 = Mm=810 6 mètres giga G 10 9 = Gm=610 9 mètres Nom Notation scientifique Gogol Gogolple Le nom de l'entreprise Google a pour origine le terme mathématique «googol» ou gogol en français. 6

7 Loi des eposants BASE = 16 EXPOSANT PUISSANCE Calculatrice ^ y y 1) Complète le taleau ci-dessous 8 (-) - (-1) 8 (-) ase eposant puissance ) Effectue a) (-1) 0 = ) (-1) 1 = c) (-1) 100 = d) (-1) 101 = ) Vrai ou Fau a) (-) = ) - 0 = -1 c) (-10) 0 = 8 0 d) - = (-)

8 ) Quel est le signe de la puissance? (positif ou négatif) a) (-) : ) (-) 00 : c) - : ) À l aide de ta calculatrice, calcule la puissance de chaque epression. La touche est y a) 8 = ) - = c) - = d) 1 0, = e) 10 1 = f) (-) = 6) Décompose chaque produit en facteurs et eprime-le sous la notation eponentielle. Eemple : = () () = a) = = ) (-) (-) = = c) a a a = = Quelle conclusion peut-on en tirer? Lorsque l on des puissances de, on les eposants. 8

9 Loi de la multiplication Lorsque tu multiplies deu puissances de même ase, tu additionnes leurs eposants : m a m = m a ) Vrai ou fau? a) = ) 6 = 6 = 8 c) 6 = 10 d) a 6 a = a 8 8) Écris chacun des produits suivants en utilisant la notation eponentielle. a) = ) = c) (-) (-) 8 = d) a a = e) a a a = f) a a = 9) Trouve la valeur du y. a) y = 9 ) y = 6 c) (-) (-) y = (-) d) a a y = 8a 10) Écris les produits suivants sous la forme d une puissance selon la ase demandée. Eemple : 16 8 (ase ) = a) 8 (ase ) = d) (ase ) = ) (ase ) = e) 9 (ase ) = c) 9 (ase ) = f) (ase 10) = 9

10 11) Décompose chaque quotient sous forme de facteurs, puis eprime le résultat en notation eponentielle. Eemple : = = a) = = 8 ) = 8 = a c) = a = Loi de la division : Lorsque tu divises deu puissances de même ase, tu soustrais leurs eposants : a m a a a = m ou m m = m m 1) Eprime chaque quotient en notation eponentielle a a a a 6 8a a Réponse : 10

11 1) À l aide de ta calculatrice, calcule la puissance de chaque epression. i. La touche est ^ ou y ou y a) = ) = 1 c) = d) = 1) Vérifie avec ta calculatrice si les égalités suivantes sont vraies ou fausses. 1 a) = ) ( ) = 1 ( ) Puissance d eposant négatif Tout nomre affecté d un eposant négatif se transforme en un eposant positif en faisant l inverse : a n = 1 n a ou 1 a n = a n ( a 0) 1) Écris les epressions suivantes sous la forme d une puissance d eposant positif a a a a c Réponse : 11

12 16) Décompose chaque epression sous une forme de facteurs, puis eprime le produit en notation eponentielle. Eemple : ( ) = = 6 a) ( ) = = ) (8 ) = = c) (a ) = = = d) ( ) = 1) Vrai ou fau? a) ( ) = 8 ) (6 ) = 6 6 c) (a ) = a 10 d) (a ) = a 10 Puissance d une puissance : (a m ) n = a m n 18) Décompose chaque epression en facteurs, puis eprime le produit en notation eponentielle. Eemple : ( ) = ( ) ( ) ( ) = a) (6 ) = = ) ( 8) = = c) (a ) = = Puissance d un PRODUIT : Oui mais.. ( ) = (a ) n = a n n 1

13 Puissance d eposant fractionnaire Tout nomre affecté d un eposant fractionnaire peut se transformer en une racine et vice versa: 1 1 a = a et 1 a = a 1 19) Transforme les eposants fractionnaires en racine et vice versa. 1 a) 6 = ) 8 = c) 16 = d) = e) 81 = f) = Méli Mélo 1) Écris les nomres suivants en notation scientifique. a) 0, ) -0, c) d) e) 0, f) a) ) Réduis chaque epression sous la forme d une puissance positive de. 6 = ) 8 6 = 9 c) 9 = d) = 9 ) Écris les nomres suivants en notation décimale. 11 a),6 10 = 9 ), 10 = 8 c) 8,96 10 = d), 10 1 = e) 8,8 10 = 6 f) 8, 10 = 1

14 ) Utilise les lois des eposants pour simplifier les epressions suivantes sans les calculer. 9 a) 6 6 = ) = c) ( 9) = d) ( ) = 8 e) = 6 f) = 16 ) On considère les nomres,,,, 6, 9, 16 et. a) Quels sont ceu qui sont rationnels? ) Quels sont ceu qui sont irrationnels? 6) Calculs avec des nomres eprimés en notation scientifique : a) (, 10 ) (, 10 ) = ), 10,1 10 = 1, 10 c) = 10 ( 1 ) (,6 10 1, 10 ) d) 10 0 = 1

15 Algère Définitions algériques : Epression algérique : écriture où l on retrouve des nomres et des lettres (variales). - - Termes : Ce sont les différentes parties d une epression algérique séparées par les additions ou soustractions. Différents noms reliés au epressions algériques : Monôme : Binôme : Trinôme : - Terme constant : terme qui ne contient pas de variale le terme constant est : - Coefficient : nomre qui multiplie la ou les variales E : dans - : - est le coefficient du 1 er terme 1 est le coefficient du ème terme Termes semlales : termes ayant les mêmes variales affectés des mêmes eposants ³y E :-³y, y³ et Degré : somme des eposants de chacune des variales constituant un terme puis on prend le degré le plus élevé. E : y => degré E : y y => degré Attention : 8 est un monôme de degré 0 1

16 1) Complète les taleau ci-dessous : a) Monôme Coefficient du monôme Eposant de Degré de l epression π y 9 y ) Polynôme y 8 Nomre de termes Type de polynôme Degré du polynôme Coefficient du e terme y - y -y 6 9 y 9 ) Calcule la valeur numérique de chacune des epressions suivantes lorsque = et y = - y y -10 ( ) y Résultat : 16

17 1 ) Réduis les epressions algériques suivantes : a) ( ) ( ) 1 ) ( ) ( ) 1 c) ( ) ( ) a a a a 6 8 d) y y y y ) Soit les polynômes suivants : A = ( y), B = (- y) et C = ( y) a) A B ) A B c) A C B Addition ou soustraction On additionne ou on soustrait les coefficients des termes semlales. E : y y y 8 = Attention : Règle des parenthèses : Addition : Soustraction : ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = Méthode : on enlève les parenthèses en changeant le signe de chaque terme à l intérieur de la deuième parenthèse.

18 ) Représente chacune des situations par une epression algérique. a) Luc a ans. Lise a trois ans de plus que Luc. Comien ont-ils ensemle? ) Quelle est la somme de trois nomres consécutifs dont le premier nomre est? c) Quelle est la somme de trois nomres pairs consécutifs dont le premier nomre est? d) Marc a ans de plus que sa sœur Kim. Quelle est la somme de leur âge dans ans? 6) a) Quelle epression algérique représente le périmètre du rectangle ci-dessous? - 1 ) Le périmètre du triangle ci-dessous est de (1 ) cm. Trouve l epression du côté manquant. - 18

19 Multiplication algérique Monôme multiplié par un monôme Règle : 1. a a = 6 a 1 o on multiplie les coefficients;. a (-) ( a ) = -0 a o Pour chaque variale, on additionne les eposants. (a ) = a a = a 6 On a qu à schtrouffer les lois des eposants! 1) Effectue les multiplications suivantes. a) 6a = a ) ( a ) ( ) ( a ) = c) ( a ) ( ) ( a ) = d) a ( ) ( a ) = ) Soit les monômes suivants : A=, B= - et C =. Détermine : a) A C ) A B c) A B C d) B AC 19

20 ) Quelle epression algérique représente le périmètre et l aire des rectangles cidessous? a) ) c) 1, P = P = P = A = A = A = Multiplication algérique CAS #1 : monôme multiplié par un polynôme ( a a ) = a a a a a a On applique la règle de la = 1a 10a a distriutivité Sans oulier la loi des eposants ) Effectue les multiplications suivantes. a) a ( a ) ) a ( a ) c) ( a ) ( a ) d) a ( a ) ( a ) e) a( a ) ( a a) ( a ) 0

21 ) Quelle epression algérique représente le périmètre et l aire des rectangles ci-dessous. a) ) - P= A= P= A= 6) Si le périmètre d un rectangle est de (18a 0a -1) et la hauteur est de (a a -1). Quelle epression algérique représente la ase? 1

22 CAS # : inôme multiplié par un inôme ( )( a 8) = a a a 8 a 8 Multiplication algérique a On applique la règle de la distriutivité =6a a a 16 =6a 8a 16 Sans oulier la loi des eposants ) Effectue les multiplications suivantes. a) (a ) (a 8) ) (a - ) (a ) c) (a ) d) (a )

23 Division d un monôme par un monôme 1. = = 1 o On divise les coefficients. 10 y y = y o Pour chaque variale, on soustrait les eposants 8) Effectue les divisions suivantes. a) 8a a = ) 1a = a c) 1a 1a = d) a ( 1a ) = Division d un polynôme par un monôme 1. ( 1 1) = 1 8 = - On divise chaque terme du polynôme par le monôme. a 1a a a = a a 1a a a a = a a 1 9) Effectue les divisions suivantes. a) ( 8 8 1) ) ( 6a 1a 9a ) a

24 Simple mise en évidence : La simple mise en évidence est un type de factorisation. Elle consiste à eprimer un polynôme comme le produit de deu facteurs dont un facteur est commun à tous les termes. On cherche à mettre en évidence le plus grand facteur commun. multiplication ( ) = 1 factorisation Eemple : Soit y 1y 9y 1 0 On recherche le plus grand diviseur commun. 0 On eprime le polynôme sous une forme équivalente en mettant en évidence ce facteur. y 1y 9y = y (8 y) Eercices : 1) Fait la simple mise en évidence de l epression ² 1 ) Fait la simple mise en évidence de l epression 1 y 1

25 Factorise par simple mise en évidence, chacun des polynômes suivants. a) 9a 6a ) mn n c) 10 y 1 y y a) 6a -1c 18d 6cd e) 18s t v st v 9s t v f) nm n m n m nm g) 6 a 8a a 1a 8

26 1) Effectue les multiplications suivantes Méli Mélo a) a (a ) (a ) ) a ( a ) 6