Chapitre 1 : Matrices

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1 Chapitre 1 : Matrices Sommaire I. Définitions... 3 II. Opérations sur les matrices ) Egalité de matrices, matrice nulle ) Addition, multiplication par un réel ) Multiplication de matrices... 5 III. Application à la résolution de systèmes d équations : matrice inverse ) Matrice identité ) Matrice inversible ) Résolution de systèmes d équations linéaires... 6 i) Système d équation à deux inconnues :... 6 ii) Généralisation à un système linéaire à n inconnues... 7 iii) Retour sur n= IV. Matrice de commande, matrice de prix... 8 V. Problème de Leontieff

2 Matrices : Ce cours correspond au chapitre 10 «MATRICES» de votre livre TRANSMATH L objectif 1 page 278 de ce livre fait partie des savoirs à maitriser. A la fin de ce chapitre, vous devez vérifier que vous savez répondre aux questions page 279 de votre livre «POUR SE TESTER». La mention HP signifie Hors Programme. Les notions ainsi repérées ne font pas partie des savoirs à maitriser en terminale ES. Elles apparaissent pour vous familiariser avec un langage qui sera vu dans le supérieur. 2

3 I. Définitions Définition 1 : Soient n et p deux entiers naturels non nuls, on appelle matrice de taille (ou dimension ou format) à coefficients dans R, un tableau à n lignes et p colonnes d éléments de R. On note le coefficient de la è ligne et la è colonne. Si n=1, la matrice est une matrice ligne (ou vecteur ligne) Si p=1, la matrice est une matrice colonne (ou vecteur colonne) Si n=p, la matrice est une matrice carrée. HP : L ensemble des matrices de taille à coefficients dans R est noté (R). Si =, on notera simplement (R) Exemple : la matrice A = de dimension 2 3 avec =1, = 4 Remarques : Dans une matrice carrée, les coefficients constituent la diagonale. Soit une matrice carrée : si pour tout 1 < on a =0, alors la matrice est dite triangulaire supérieure, si pour tout 1 < on a =0, alors la matrice est dite triangulaire inférieure, si pour tout 1 1 n, on a =0, alors la matrice est dite diagonale. Exercice : donner un exemple de matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée. donner un exemple de matrice triangulaire supérieure, triangulaire inférieure et diagonale de dimension 4 4 Définition 2 : Soit A une matrice de dimension et coefficients. On appelle matrice transposée de A, la matrice notée, de dimension et coefficients, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. On a donc pour tout 1 1, =. Une matrice A est dite symétrique ssi elle est égale à sa transposée (voir la définition de matrices égales au paragraphe II-1 ci-dessous). Exercice : Prouver qu une matrice symétrique est nécessairement carrée. Donner un exemple de matrice symétrique de dimensions 3 3 3

4 II. Opérations sur les matrices 1) Egalité de matrices, matrice nulle Définition 3 : Soit A et B deux matrices de dimension et coefficients et. a) La matrice A est nulle ssi pour tout i et j, tels que 1 1, on a =0 b) Les matrices A et B sont égales ssi : ê pour tout i et j,tels que 1<< 1,on a = Exercice : Soient les matrices A= et B= Déterminer x et y pour que A et B soient deux matrices égales. En déduire la transposée de la matrice A. Exercices : 14 à 27 page 280 2) Addition, multiplication par un réel Définition 4 : Soit A et B deux matrices de dimension et coefficients et et soit un nombre réel. a) On appelle somme de deux matrices et on note A+B la matrice de même ordre que A et B et telle que (+) = + b) On appelle différence de deux matrices et on note A+B la matrice de même ordre que A et B et telle que (+) = + c) On appelle produit de la matrice A par le réel, la matrice notée, de même ordre que A et telle que () = Nota Bene : si = 1, on note =, qui est la matrice opposée de A. Propriétés : Soient A, B et C trois matrices de dimension et soient soit un nombres réels. Alors : a) +=+ symétrie de l addition matricielle b) ++=+(+)=(+)+ transitivité de l addition matricielle c) (+)=+ distributivité de la multiplication par un réel sur l addition d) ( )= ()= 4

5 Exercices : 28 à 45 page 281 3) Multiplication de matrices Définition : Principe préalable : le produit de deux matrices A et B est possible ssi le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Soient alors (,) (,). On appelle matrice produit de A et B, notée, la matrice de dimension (,) telle que pour tout i et j, tels que 1 1, on a : =( ) = Illustration : = avec = + + Produit de la première ligne par la première colonne. = avec = + + Produit de la deuxième ligne par la deuxième colonne. Attention : Le produit de deux matrices n est possible que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B Le produit de deux matrices n est pas commutatif en général. Donc éé Propriétés : Soient A, B et C trois matrices. Sous réserve que les produits de matrices soient possibles, alors : a) (+)= + b) (+) = + c) ( )=( ) d) si = alors = = Définition : Puissances d une matrice carrée Soit (,) et p un nombre entier naturel non nul. On définit =.. (p facteurs A). Exercice : 46 à 67 pages 282, 283 5

6 III. Application à la résolution de systèmes d équations : matrice inverse 1) Matrice identité Définition : On appelle matrice identité de rang n, la matrice carrée, notée dont les coefficients de la diagonale sont égaux à 1 et tous les autres coefficients sont nuls. Propriétés : pour toute matrice carrée A de dimension n, on a alors = = On dit que est un élément neutre de la multiplication matricielle. 2) Matrice inversible Définition : Soit A, une matrice carrée d ordre n. La matrice A est inversible ssi il existe une matrice B telle que =. On dit que B est la matrice inverse de A. Elle est notée. Propriétés : a) la matrice inverse d une matrice carrée A est carrée et du même ordre que A. b) Si A a une matrice inverse B alors = mais on a aussi = (il suffira de vérifier l une ou l autre de ces égalités pour prouver que les matrices sont inverses). c) l inverse d une matrice est unique. Démonstration de l unicité de l inverse : Soit B la matrice inverse de A. Supposons que C est également l inverse de A. Alors = = et = = Et donc = Multiplions par B : = Soit : ( ) =( ) avec = Donc : = 3) Résolution de systèmes d équations linéaires i) Système d équation à deux inconnues : Soit le système suivant : 2+3=5 +4= 1 Il peut s écrire sous forme matricielle sous la forme : = 5 1 soit = avec = , = et = 5 1 Si la matrice A est inversible, alors soit son inverse. Il suffit de multiplier à gauche de l équation matricielle par. On obtient : = soit = Avec votre calculatrice : pour obtenir l inverse de la matrice A, taper les touches : 2 ND = MATRIX Menu : NOMS et choisir la matrice A puis ENTER 6

7 Appuyer sur la touche (et STO puis nom de la matrice où l on veut stocker l inverse) Dans l exemple précédent on trouve = 23/11 3/11 ii) Généralisation à un système linéaire à n inconnues Définition : on appelle système linéaire de n équations à n inconnues, un ensemble d équations qui peut s écrire sous la forme =, où A est une matrice carrée de coefficients, X est un vecteur colonne de coefficients et B est un vecteur colonne de coefficients. On a donc =. Propriété : Etant donné un système linéaire AX=B, avec A matrice carrée de rang n, alors : ce système possède une solution unique ssi A est inversible. La solution est = Démonstration : si A inversible alors il existe tel que = Or = ssi = ssi =. Donc la solution existe et est unique. Attention : toutes les matrices ne sont pas inversibles (penser aux systèmes de deux équations à deux inconnues qui n ont aucune solution ou une infinité de solutions). En ce cas, la matrice est dite singulière. Exercice type : recherche de courbe polynomiale : Problème 6 page 275, baccalauréat Pondichéry Avril 2014 exercice 2 partie B Exercices d application : Une entreprise spécialisée dans les énergies renouvelables pour les particuliers propose trois types d installation. L installation : De panneaux solaires : 2,5 jours de main-d œuvre et 350 kg de matériel D un chauffe-eau solaire : 1 jour de main d oeuvre et 20 kg de matériel D une éolienne : 1,5 jour de main d œuvre et 90 kg de matériel. Cette année, cette entreprise a réalisé 156 installations qui ont nécessité 306 jours de main d œuvre et kg de matériel. a) Etablir le système d équations. b) Combien d installation de chaque type l entreprise a-e-elle effectuées cette année? iii) Retour sur n=2 Propriété : soit la matrice carrée d ordre 2, =. La matrice A est inversible ssi 0 La matrice inverse est = 7

8 Interprétation géométrique : la matrice A est la matrice représentative d un système linéaire de la forme = qui correspond géométriquement à l intersection de deux droites d équations +=. += Ces deux droites ont un point d intersection unique si leurs coefficients directeurs sont différents. Or les coefficients directeurs sont et. On doit donc avoir soit 0 Nota Bene : si b=0 ou d=0, les coefficients directeurs ne sont pas définis (droites verticales). La propriété reste vraie. Exercices de base : exercices 68 à 89 page 285 Résolution de systèmes linéaires : exercices 90 à 96 page 285 Exercices d application : exercices 97 et 98 page 286 IV. Matrice de commande, matrice de prix Observons le problème suivant : Une usine fabrique des pantalons, des vestes et des chemises. Au premier semestre 2012, deux clients passent une commande. Le premier commande 10 pantalons, 15 vestes et 50 chemises, Le second commande 5 pantalons, 7 vestes et 20 chemises ; 1. Les prix unitaires d achat sont respectivement (en Euros) de 20 pour un pantalon, 55 pour une veste et 4 pour une chemise. On peut dire que les commandes et les prix peuvent être exprimés en fonction des trois produits de base : les pantalons, les vestes et les chemises On note =15 7 la matrice donnant les quantités demandées par les clients par produit(quantité) 20 =55 la matrice des prix (prix unitaires et frais d envoi) 4 Le montant total commandé est donné par le produit : = = = 1225 soit un coût de 1225 Euros pour le client A et 565 Euros pour le client B. Et l on appelle : = la matrice des commandes P = la matrice des prix. 8

9 2. Aux prix unitaires se rajoutent des frais d envoi sont de 3,4 et 2 Euros (pour les pantalons, les vestes et les chemises) La nouvelle matrice de prix devient =55 4 (prix unitaires et frais d envoi) 4 2 Le montant total commandé est donné par le produit : = = = Le client A achète pour 1225 Euros de produits et paie 190 Euros de frais d envois. Le client B achète pour 565 Euros de produits et paie 83 Euros de frais d envois. Nota Bene : le mot commande doit être pris dans le sens large : il s agit des quantités de produits nécessaires pour satisfaire un achat, une production Exercice 1 : Commande _ Fabrication _ PRix Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs : un «premier prix» un «haute technologie». Pour fabriquer un téléviseur premier prix, il faut 1 unité de bureau d études, 1.5 unité de main-d oeuvre et 3 unités de composants électroniques ; Pour fabriquer un téléviseur haute technologie il faut 2 unités de bureau d études, 2 unités de main-d oeuvre et 6 unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les suivants : 1 unité de bureau d études coûte 40, 1 unité de main-d oeuvre coûte 20 et 1 unité de composants électroniques coûte 25. L entreprise doit satisfaire une commande de 90 téléviseurs premiers prix et 30 téléviseurs haute technologie. Finalement il y a deux interactions : a) L entreprise qui produit deux types de téléviseur et utilise des quantités exprimés en 3 unités différentes, chacune avec ses coûts. b) le client qui achète le produit fini : le téléviseur. 1. Plaçons nous du point de vue de l entreprise. Elle exprime ses besoins dans la base des unités : bureau d études, main d œuvre et composants électroniques La matrice des quantités est alors : =1,5 2 et la matrice des prix est = Le coût de fabrication pour l entreprise est alors : = = 1 1, = A est également appelée «matrice de fabrication» 2. Plaçons nous du point de vue de l acheteur. Il exprime ses besoins dans la base des téléviseurs : premier prix et haute technologie. 9

10 La matrice des quantités est alors : = et la matrice des prix est = Le coût de fabrication pour l entreprise est alors : = =(90 30) 145 =(21 150) 270 Exercice 2 : Chocolat 1 Chocolat 1 Chocolat 1 Cacao Lait Sucre Matière grasse Un chocolatier fabrique trois qualités de chocolat. La fabrication du chocolat nécessite 4 matières premières : cacao, lait, sucre et matière grasse. Le tableau des coefficients techniques ci-dessus peut être considéré comme une matrice M où chaque colonne indique la quantité d unités nécessaire à la fabrication d une unité de chocolat. 1) Comment interpréter chaque ligne? 2) Le chocolatier reçoit une commande de 7 unités de chocolat N 1, 4 unités de chocolat N 2 et 11 unités de chocolat N 3. On connaît le prix unitaire de chaque composant intervenant dans la fabrication du chocolat. Cacao : 3 Euros, Lait : 2 Euros, Sucre : 4 Euros et Matière grasse : 5 Euros. a) Calculer le coût de production de chaque chocolat pour le chocolatier b) Calculer le montant total de la commande. V. Problème de Leontieff Le modèle de Leontieff permet de déterminer la production d un secteur économique en prenant en compte les demandes qui pèse sur ce secteur, notamment les interactions entre les diverses unités de production. Exercice : Problème 7 page