Analyse de données. Données bidimensionnelles. Jamal Atif Université Paris-Dauphine, Licence MIDO
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- Jean-Michel Trudeau
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1 Analyse de données Données bidimensionnelles Jamal Atif Université Paris-Dauphine, Licence MIDO / 27 Jamal Atif Analyse de données
2 Cet épisode Lien entre deux variables quantitatives : Covariance Centrage, réduction Corrélation qualitatives : Tableaux de contingence Test χ 2 2 / 27 Jamal Atif Analyse de données
3 Variables quantitatives 1. Deux variables quantitatives sont-elles liées? 2. Evoluent-elles dans le même sens? Exemple Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Premières intuitions Dessiner le nuage de points Analyse l évolution simultanée des données par rapport à leurs moyenne Covariance 3 / 27 Jamal Atif Analyse de données
4 Variables quantitatives 1. Deux variables quantitatives sont-elles liées? 2. Evoluent-elles dans le même sens? Exemple Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Premières intuitions Dessiner le nuage de points Analyse l évolution simultanée des données par rapport à leurs moyenne Covariance 3 / 27 Jamal Atif Analyse de données
5 Variables quantitatives 1. Deux variables quantitatives sont-elles liées? 2. Evoluent-elles dans le même sens? Exemple Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Premières intuitions Dessiner le nuage de points Analyse l évolution simultanée des données par rapport à leurs moyenne Covariance 3 / 27 Jamal Atif Analyse de données
6 Variables quantitatives 1. Deux variables quantitatives sont-elles liées? 2. Evoluent-elles dans le même sens? Exemple Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Premières intuitions Dessiner le nuage de points Analyse l évolution simultanée des données par rapport à leurs moyenne Covariance 3 / 27 Jamal Atif Analyse de données
7 Nuage de points Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Ecart-type / 27 Jamal Atif Analyse de données
8 Covariance Définition La covariance la moyenne de la somme du produit des écarts des valeurs des deux variables par rapport à leur moyenne arithmétique ( ). Le terme «covariation» désigne cette dernière somme. On peut définir la covariance comme la moyenne de la covariation. σ xy = n i=1 (x i x)(y i y) n 5 / 27 Jamal Atif Analyse de données
9 Exemple : calcul Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Variables : x=années d expériences, y = Productivité n = 4, x = 2, y = 3. Produit des écart d expérience par personne : Jean : (0 2) (1 3) = 4 Robert : (1 2) (3 3) = 0 Isham : (2 2) (4 3) = 0 Marc : (5 2) (4 3) = 3 La covariance moyenne est donc : = / 27 Jamal Atif Analyse de données
10 Exemple : calcul Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Variables : x=années d expériences, y = Productivité n = 4, x = 2, y = 3. Produit des écart d expérience par personne : Jean : (0 2) (1 3) = 4 Robert : (1 2) (3 3) = 0 Isham : (2 2) (4 3) = 0 Marc : (5 2) (4 3) = 3 La covariance moyenne est donc : = / 27 Jamal Atif Analyse de données
11 Exemple : calcul Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Variables : x=années d expériences, y = Productivité n = 4, x = 2, y = 3. Produit des écart d expérience par personne : Jean : (0 2) (1 3) = 4 Robert : (1 2) (3 3) = 0 Isham : (2 2) (4 3) = 0 Marc : (5 2) (4 3) = 3 La covariance moyenne est donc : = / 27 Jamal Atif Analyse de données
12 Exemple : calcul Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Variables : x=années d expériences, y = Productivité n = 4, x = 2, y = 3. Produit des écart d expérience par personne : Jean : (0 2) (1 3) = 4 Robert : (1 2) (3 3) = 0 Isham : (2 2) (4 3) = 0 Marc : (5 2) (4 3) = 3 La covariance moyenne est donc : = / 27 Jamal Atif Analyse de données
13 Exemple : inteprétation Règle La règle générale d interprétation veut que plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte. Si les écarts des deux variables avec la moyenne sont toutes deux négatives, leur produit donne un nombre positif qui contribue à la covariance : l écart de Jean vaut -2 sur les années d expérience et -2 également sur la productivité. Le produit de -2 * -2 donne 4, qui ajoute autant à la covariance. Lorsqu elles ne varient pas ensemble, le signe des écarts est inversé. leur produit est négatif et diminue la valeur de la covariance. Par exemple, un écart de -3 pour les années d expérience et de +2 pour la productivité donne un produit de -3 * 2 = -6. La covariance est réduite d autant. C est pourquoi une valeur positive de la covariance indique que les deux variables varient ensemble. Pour revenir à notre exemple, plus nous avons de l expérience plus nous sommes productifs. 7 / 27 Jamal Atif Analyse de données
14 Exemple : inteprétation Règle La règle générale d interprétation veut que plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte. Si les écarts des deux variables avec la moyenne sont toutes deux négatives, leur produit donne un nombre positif qui contribue à la covariance : l écart de Jean vaut -2 sur les années d expérience et -2 également sur la productivité. Le produit de -2 * -2 donne 4, qui ajoute autant à la covariance. Lorsqu elles ne varient pas ensemble, le signe des écarts est inversé. leur produit est négatif et diminue la valeur de la covariance. Par exemple, un écart de -3 pour les années d expérience et de +2 pour la productivité donne un produit de -3 * 2 = -6. La covariance est réduite d autant. C est pourquoi une valeur positive de la covariance indique que les deux variables varient ensemble. Pour revenir à notre exemple, plus nous avons de l expérience plus nous sommes productifs. 7 / 27 Jamal Atif Analyse de données
15 Exemple : inteprétation Règle La règle générale d interprétation veut que plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte. Si les écarts des deux variables avec la moyenne sont toutes deux négatives, leur produit donne un nombre positif qui contribue à la covariance : l écart de Jean vaut -2 sur les années d expérience et -2 également sur la productivité. Le produit de -2 * -2 donne 4, qui ajoute autant à la covariance. Lorsqu elles ne varient pas ensemble, le signe des écarts est inversé. leur produit est négatif et diminue la valeur de la covariance. Par exemple, un écart de -3 pour les années d expérience et de +2 pour la productivité donne un produit de -3 * 2 = -6. La covariance est réduite d autant. C est pourquoi une valeur positive de la covariance indique que les deux variables varient ensemble. Pour revenir à notre exemple, plus nous avons de l expérience plus nous sommes productifs. 7 / 27 Jamal Atif Analyse de données
16 Exemple : inteprétation Règle La règle générale d interprétation veut que plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte. Si les écarts des deux variables avec la moyenne sont toutes deux négatives, leur produit donne un nombre positif qui contribue à la covariance : l écart de Jean vaut -2 sur les années d expérience et -2 également sur la productivité. Le produit de -2 * -2 donne 4, qui ajoute autant à la covariance. Lorsqu elles ne varient pas ensemble, le signe des écarts est inversé. leur produit est négatif et diminue la valeur de la covariance. Par exemple, un écart de -3 pour les années d expérience et de +2 pour la productivité donne un produit de -3 * 2 = -6. La covariance est réduite d autant. C est pourquoi une valeur positive de la covariance indique que les deux variables varient ensemble. Pour revenir à notre exemple, plus nous avons de l expérience plus nous sommes productifs. 7 / 27 Jamal Atif Analyse de données
17 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
18 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
19 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
20 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
21 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
22 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
23 Interprétation Plus la covariance est élevée, plus la relation entre les deux variables est forte Si cov = 0 les deux variables sont indépendantes linéairement Si cov < 0, les deux variables varient en sens inverse. exemple : vitesse à la course à pied des hommes de 40 ans et plus est négative + l âge est élevé, - la vitesse l est La covariance est une mesure symétrique, Une relation non linéaire peut exister même si cov=0 Toute comparaison avec d autres variables est interdite (cov non standardisée). Ne s applique qu aux variables quantitatives. 8 / 27 Jamal Atif Analyse de données
24 Limites de la covariance Problème On ne peut pas comparer des covariances entre elles (et plus généralement des variables numériques) présentant des unités de mesures différentes. Solution : standardiser les données Principe : Toute répartition statistique définie par une moyenne et un écart-type peut être transformée en une autre distribution statistique qui a pour moyenne 0 et pour écart-type 1. La nouvelle variable obtenue est alors dite "centrée réduite". 9 / 27 Jamal Atif Analyse de données
25 Limites de la covariance Problème On ne peut pas comparer des covariances entre elles (et plus généralement des variables numériques) présentant des unités de mesures différentes. Solution : standardiser les données Principe : Toute répartition statistique définie par une moyenne et un écart-type peut être transformée en une autre distribution statistique qui a pour moyenne 0 et pour écart-type 1. La nouvelle variable obtenue est alors dite "centrée réduite". 9 / 27 Jamal Atif Analyse de données
26 Distance entre individus Quel individu est le plus similaire de l individu représenté par un carré (au sens de la distance euclidienne)? 10 / 27 Jamal Atif Analyse de données
27 Distance entre individus Quel individu est le plus similaire de l individu représenté par un carré (au sens de la distance euclidienne)? Solution Quand les variables sont mesurées avec des échelles différentes, il peut s avérer utile de «réduire» (normer) ces variables. 11 / 27 Jamal Atif Analyse de données
28 Distance entre individus Quel individu est le plus similaire de l individu représenté par un carré (au sens de la distance euclidienne)? Solution Quand les variables sont mesurées avec des échelles différentes, il peut s avérer utile de «réduire» (normer) ces variables. 11 / 27 Jamal Atif Analyse de données
29 Normalisation Centrage Soustraire la moyenne : z i = x i x Réduction Diviser par l écart-type : z i = x i σ x Variable centrée réduite : z i = x i x σ x La moyenne de la variable est nulle et son écart-type est égal à un. z = 0, σ z = / 27 Jamal Atif Analyse de données
30 Normalisation Centrage Soustraire la moyenne : z i = x i x Réduction Diviser par l écart-type : z i = x i σ x Variable centrée réduite : z i = x i x σ x La moyenne de la variable est nulle et son écart-type est égal à un. z = 0, σ z = / 27 Jamal Atif Analyse de données
31 Normalisation Centrage Soustraire la moyenne : z i = x i x Réduction Diviser par l écart-type : z i = x i σ x Variable centrée réduite : z i = x i x σ x La moyenne de la variable est nulle et son écart-type est égal à un. z = 0, σ z = / 27 Jamal Atif Analyse de données
32 Exemple Centrage Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Ecart-type Années d exp. Productivité (tonnes) Jean -2-2 Robert -1 0 Isham 0 1 Marc 3 1 Moyenne 0 0 Ecart-type Centrage du nuage de points Les unités sont encore en temps et en tonnes 13 / 27 Jamal Atif Analyse de données
33 Exemple Réduction Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Ecart-type Années d exp. Productivité (tonnes) Jean Robert Isham Marc Moyenne Ecart-type / 27 Jamal Atif Analyse de données Il n y a plus d unités du fait de la division.
34 Exemple Centrage et Réduction Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Ecart-type Années d exp. Productivité (tonnes) Jean Robert Isham Marc Moyenne 0 0 Ecart-type / 27 Jamal Atif Analyse de données
35 Corrélation hypothèse sur la «forme» de la relation entre x et y (p.ex. linéaire) coefficient de Pearson (corrélation linéaire) d une série de valeur (x i, y i ) n i=1 ρ xy = i (x i x) (y i y) n σ x σ y Covariance après réduction : ρ xy = σ xy σ y σ y attention au problème d instabilité numérique lors du calcul indique la «force» d une corrélation linéaire entre les données 16 / 27 Jamal Atif Analyse de données
36 Corrélation hypothèse sur la «forme» de la relation entre x et y (p.ex. linéaire) coefficient de Pearson (corrélation linéaire) d une série de valeur (x i, y i ) n i=1 ρ xy = i (x i x) (y i y) n σ x σ y Covariance après réduction : ρ xy = σ xy σ y σ y attention au problème d instabilité numérique lors du calcul indique la «force» d une corrélation linéaire entre les données 16 / 27 Jamal Atif Analyse de données
37 Corrélation hypothèse sur la «forme» de la relation entre x et y (p.ex. linéaire) coefficient de Pearson (corrélation linéaire) d une série de valeur (x i, y i ) n i=1 ρ xy = i (x i x) (y i y) n σ x σ y Covariance après réduction : ρ xy = σ xy σ y σ y attention au problème d instabilité numérique lors du calcul indique la «force» d une corrélation linéaire entre les données 16 / 27 Jamal Atif Analyse de données
38 Corrélation hypothèse sur la «forme» de la relation entre x et y (p.ex. linéaire) coefficient de Pearson (corrélation linéaire) d une série de valeur (x i, y i ) n i=1 ρ xy = i (x i x) (y i y) n σ x σ y Covariance après réduction : ρ xy = σ xy σ y σ y attention au problème d instabilité numérique lors du calcul indique la «force» d une corrélation linéaire entre les données 16 / 27 Jamal Atif Analyse de données
39 En image 17 / 27 Jamal Atif Analyse de données
40 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
41 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
42 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
43 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
44 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
45 En texte ρ est une mesure symétrique. 1 < ρ < 1. si ρ = 0, il n y a pas de relation linéaire entre les deux variables. Le signe de la relation indique le sens de la relation. Plus ρ est proche de 1 (ou -1) plus la relation entre les deux variables est forte. 18 / 27 Jamal Atif Analyse de données
46 Calcul sur l exemple Années d exp. Productivité (tonnes) Jean 0 1 Robert 1 3 Isham 2 4 Marc 5 4 Moyenne 2 3 Ecart-type ρ(exp, prod) =? 19 / 27 Jamal Atif Analyse de données
47 Autres mesures le coefficient de Pearson ne permet de détecter que certaines dépendances très particulières il existe des mesures plus générales permettant de détecter quasiment toutes les dépendances fonctionnelles : information mutuelle corrélation polychorique copule / 27 Jamal Atif Analyse de données
48 Autres mesures le coefficient de Pearson ne permet de détecter que certaines dépendances très particulières il existe des mesures plus générales permettant de détecter quasiment toutes les dépendances fonctionnelles : information mutuelle corrélation polychorique copule / 27 Jamal Atif Analyse de données
49 Corrélation et causalité Il n y a pas de lien entre corrélation et causalité corrélations : certaines valeurs «évoluent» dans le même sens causalité : lien «physique» quantification d observations statistiques modélisation d un système 21 / 27 Jamal Atif Analyse de données
50 Exemple 22 / 27 Jamal Atif Analyse de données
51 Un peu de math! Produit scalaire : rappel Soit deux vecteurs x, y dans R n : x = {x 1,, x n } et y = {y 1,, y n } x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n i=1 Lien avec la covariance : x x, y y = n (x i x)(y i y) = nσ xy i=1 Lien avec la corrélation : ρ xy = σ n xy i=1 = (x i x)(y i y) = 1 x x, y y σ x σ y nσ x σ y n σ x σ y 23 / 27 Jamal Atif Analyse de données
52 Un peu de math! Produit scalaire : rappel Soit deux vecteurs x, y dans R n : x = {x 1,, x n } et y = {y 1,, y n } x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n i=1 Lien avec la covariance : x x, y y = n (x i x)(y i y) = nσ xy i=1 Lien avec la corrélation : ρ xy = σ n xy i=1 = (x i x)(y i y) = 1 x x, y y σ x σ y nσ x σ y n σ x σ y 23 / 27 Jamal Atif Analyse de données
53 Un peu de math! Produit scalaire : rappel Soit deux vecteurs x, y dans R n : x = {x 1,, x n } et y = {y 1,, y n } x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n i=1 Lien avec la covariance : x x, y y = n (x i x)(y i y) = nσ xy i=1 Lien avec la corrélation : ρ xy = σ n xy i=1 = (x i x)(y i y) = 1 x x, y y σ x σ y nσ x σ y n σ x σ y 23 / 27 Jamal Atif Analyse de données
54 Approche multidimensionnelle simultanée : calcul matriciel Un tableau de données peut être vu comme une matrice X = [x ij ] j=1,,m i=1,,n X = x 11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m. x n1 x n2 x nm où x ij est la valeur de la variable j de l individu i. a) La matrice Y des données centrées s obtient par : Y = AX, où A = [a ij ] est la matrice de centrage définie par : { 1 1 a ij = n si i = j 1 i, j {1,, n} n sinon 24 / 27 Jamal Atif Analyse de données
55 Approche multidimensionnelle simultanée : calcul matriciel Un tableau de données peut être vu comme une matrice X = [x ij ] j=1,,m i=1,,n X = x 11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m. x n1 x n2 x nm où x ij est la valeur de la variable j de l individu i. a) La matrice Y des données centrées s obtient par : Y = AX, où A = [a ij ] est la matrice de centrage définie par : { 1 1 a ij = n si i = j 1 i, j {1,, n} n sinon 24 / 27 Jamal Atif Analyse de données
56 Approche multidimensionnelle simultanée : calcul matriciel b) La matrice V des variances-covariances est la matrice V = [b ij ] où : { σ 2 si i = j b ij = x i i, j {1,, m} j sinon σ x i x Elle est obtenue de la matrice Y par : V = 1 n Yt Y où Y t est la transposée de Y, i.e. Y t = ([y ij ]) t = [y ji ]. 25 / 27 Jamal Atif Analyse de données
57 Approche multidimensionnelle simultanée : calcul matriciel c) La matrice R des corrélations est la matrice R = [r ij ] où : { 1 si i = j r ij = i, j {1,, m} ρ x i xj sinon R est obtenue de la matrice V par : V = DVD où D = [d ij ] est définie comme suit : d ij = { 1 σ x i si i = j 0 sinon 26 / 27 Jamal Atif Analyse de données
58 Conclusion : le danger des stat. descriptives Toutes les propriétés statistiques de ces populations sont identiques (moyenne, variance, corrélation) 27 / 27 Jamal Atif Analyse de données
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