Applications et fonctions

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1 15 Cours - Applications et fonctions.nb 1/9 Applications et fonctions I) Généralités 1) Application, fonction, domaine de définition 2) Notation standard 3) Ensemble des applications de E dans F 4) Image, antécédent 5) Représentation graphique 6) Composition des applications 7) Application identité 8) Restriction d une application à une partie 9) Fonction indicatrice d une partie d un ensemble II) Image directe ou réciproque d une partie par une fonction 1) Définitions 2) Schémas 3) Propriétés 4) Exemples III) Application injective, surjective 1) Définitions 2) Démontrer qu une application est ou non injective ou surjective 3) Exemples 4) Propriétés 5) Etude de réciproques 6) Exercice IV) Application bijective 1) Application bijective, bijection réciproque 2) Exemples 3) Rapport entre injection, surjection et bijection 4) Composée de deux bijections 5) Exercice 6) Propriétés de la bijection réciproque 7) Fonction inversible Dans ce chapitre, on reprend et on approfondit le chapitre 4, intitulé Fonction réciproque

2 15 Cours - Applications et fonctions.nb 2/9 I) Généralités 1) Application, fonction, domaine de définition On précise la nuance qu il y a entre les termes application et fonction. Il y a souvent confusion entre ces deux termes, dans ce cours comme ailleurs. Le plus souvent en algèbre, on utilise le terme application et en analyse on emploie le terme fonction. Comme ce cours est un cours d algèbre, c est le plus souvent le terme application qui sera utilisé. Une application est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble de départ et un ensemble d arrivée, qui à tout élément de l ensemble de départ associe un unique élément de l ensemble d arrivée. Une fonction est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble de départ et un ensemble d arrivée, qui à tout élément de l ensemble de départ associe au plus un élément de l ensemble d arrivée. Le domaine de définition D f d une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F est l ensemble des éléments x œ E pour lesquels f HxL existe. L ensemble de définition d une fonction est inclus dans l ensemble de départ. Il est égal à l ensemble de départ lorsque la fonction est une application. Une application est donc toujours une fonction, mais la réciproque n est vraie que lorsque l ensemble de définition de la fonction est égal à l ensemble de départ. Par contre, la restriction d une fonction à son ensemble de définition est toujours une application. Par exemple, en définissant f : ö, on définit une fonction mais pas une application car f H0L n existe pas. Comme D f = x ö 1êx *, alors g : * ö est une application. x ö 1êx Une fonction f : E öf définie sur l ensemble E est une application. Dans la suite du cours, tout ce qui est énoncé pour des fonctions est (c est normal) vrai pour des applications, et tout ce qui est énoncé pour des applications est souvent vrai pour des fonctions, en considérant leur restriction à leur ensemble de définition. 2) Notation standard f : E ö F xöf HxL avec f = nom de la fonction E = ensemble de départ F = ensemble d ' arrivée x un élément de E f HxL l' élément de F associé à x ou f : E ö F plus simplement. 3) Ensemble des applications de E dans F On note F HE, FL ou encore F E l ensemble des applications de E dans F.

3 15 Cours - Applications et fonctions.nb 3/9 4) Image, antécédent Soit f : EöF une fonction, soient x œ E et y œ F. Alors: (1) y est l'image de x par f ñ y = f HxL (Notez l'article défini l' : il y a unicité) (2) x est un antécédent de y par f ñ y = f HxL ( Notez l'article indéfini un : pas d'unicité à priori) ATTENTION : tous les éléments x de l ensemble de départ E ont au plus une image dans l ensemble d arrivée F (par définition d'une fonction), MAIS tous les éléments de F n'ont pas forcémént un antécédent dans E (ils peuvent avoir aucun ou plusieurs antécédents) ATTENTION: Si f : E öf est une fonction, l'ensemble d'arrivée F est en général différent (il est plus gros) de l'ensemble, xöf HxL noté f HEL, des images des éléments de E par f. Par exemple, pour les fonctions f, g de dans qui à x associe f HxL = x 2 et g HxL = sin HxL, déterminer f H ) et g H L. 5) Représentation graphique a) Graphe Le graphe G f d une fonction f : E ö F est G f = 9Hx, f HxLL ê x œ D f =. C est une partie de l ensemble E äf. Dans le cas des fonctions numériques (fonction définies sur une partie de et à valeurs dans ), on peut le représenter facilement dans le plan, mais dans le cas général, on ne peut pas le voir... ATTENTION: même pour les fonctions numériques, une fonction n est pas son graphe, et un graphe n est pas une fonction... b) Cas des ensembles finis Les patates peuvent rendre service. Par exemple: 6) Composition des applications (que l on adapte sans peine à des fonctions) a) Définition Soient f : E öf et g : G ö H xöf HxL xöghxl deux applications. Lorsque F Õ G, on peut définir l application h = g ë f ( se lit g rond f ) par : g ë f : E öh. xøg Hf HxLL L application h = gë f est l application composée des applications g et f. On a : " x œ E, gëf HxL = g Hf HxLL.

4 15 Cours - Applications et fonctions.nb 4/9 Schéma de composition : b) Propriétés Soient f, g, h trois applications. Lorsque les composées sont définies: (1) En général, f ëg gëf. La loi de composition ë n est pas commutative. (2) f ëhgëhl = Hf ëglëh. La loi de composition ë est associative. (3) on a Hf + glëh = f ëh + gëh, MAIS PAS f ëhg + hl = f ëg + f ëh 7) Application identité a) Définition Soit E un ensemble. L application identité de E, notée Id E, est définie par: Id E : EöE xöx. Chaque élément de E est son image par Id E. b) Théorème Pour toute application f : E öf, on a f ëid E = f = Id F ëf. 8) Restriction d une application à une partie (que l on adapte sans peine à des fonctions) Soit f : EöF une application et soit A une partie de E. La restriction de f à A, notée f A, est l application f A : AöF. xøf HxL xøf HxL On garde l ensemble d arrivée et la correspondance, mais l ensemble de départ est plus petit. 9) Fonction indicatrice d une partie d un ensemble a) Définition Soit A une partie d une ensemble E. La fonction indicatrice de A, notée 1 A, est la fonction 1 A : E ö x Ø 1 si x œ A. 0 si x A b) Exercice Soient A et B deux parties d un ensemble E. Simplifier 1 A + 1 B - 1 A B.

5 15 Cours - Applications et fonctions.nb 5/9 II) Image directe ou réciproque d une partie par une fonction 1) Définitions Soit f : E öf une fonction. Soient A une partie de E et B une partie de F. Alors: (Version Symbolique): (1) L'image directe de A par f est f HAL = 8y œ F ê $ x œ A ê y = f HxL < = 8f HxL ê x œ A< en "bref" (2) L'image réciproque de B par f est f -1 HBL = 8 x œ E ê f HxL œ B < (Version Française): (1) f HAL, l image directe de A par f, est l ensemble des images des éléments de A par f. H2L f -1 (B), l image réciproque de B par f, est l ensemble des antécédents des éléments de B par f. ATTENTION: Ne pas confondre le f -1 de l'image réciproque d'une partie par une fonction avec le f -1 de la bijection réciproque de f. 2) Schémas (patates ou graphes) 3) Propriétés Soit f : E öf une fonction. Soient A Õ E et B Õ F. Alors: (1) f HAL Õ F et f -1 HBL Õ E. (2) " y œ F, y œ f HAL ñ $ x œ A ê f HxL = y (3) " x œ E, x œ f -1 HBL ñ f HxL œ B. 4) Exemples a) Avec f : ö telle que f HxL = x 2, calculer A = f H@-3, 2DL ; B = f H - L ; C = f -1 H84<L ; D = f -1 H@-3, 2DL ; E = f -1 H - L b) Avec g : ö telle que g HxL = sin HxL, calculer A = g H@0, pdl ; B = gi + M ; C = g -1 H80<L ; D = g -1 H@-2, 2DL ; E = g -1 H@0, 1DL

6 15 Cours - Applications et fonctions.nb 6/9 III) Application injective, surjective 1) Définitions (Version Symbolique): (1) L application f : E öf est injective ñ " x, y œ E, f HxL = f HyL fl x = y. (2) L application f : E öf est surjective ñ " y œ F, $ x œ E ê f HxL = y. (Version Française): (1) L application f : E öf est injective ñ Tout élément de F a au plus un antécédent par f dans E. (2) L application f : E öf est surjective ñ Tout élément de F a au moins un antécédent par f dans E. Une application injective est une injection, une application surjective est une surjection. 2) Démontrer qu une application est ou non injective ou surjective Ecrire les quatre plans de démonstration pour une application f : E ö F. 3) Exemples Les applications f, g de dans qui à x associe f HxL = x 2 et ghxl = sin HxL sont-elles injectives? surjectives? Si non, comment (par exemple) modifier les ensembles de départ ou (et) d arrivée pour qu elles le deviennent? 4) Propriétés (1) La application f : EöF est surjective ñ f HEL = F. (2) La composée de deux applications injectives est une application injective. (3) La composée de deux applications surjectives est une application surjective.

7 15 Cours - Applications et fonctions.nb 7/9 5) Etude de réciproques: vrai pou faux? Lorsque les composées sont définies: A: gëf injective fl f injective. B: gëf injective fl g injective. C: gë f surjective fl f surjective. D: gëf surjective fl g surjective. 6) Exercice Soit f : E öf une application. a) Prouver que: " A, B œ P HEL, f HA BL Õ f HAL f HBL. b) Prouver que la réciproque est fausse en "général", mais vraie lorsque f est injective. IV) Application bijective 1) Application bijective, bijection réciproque (Version Symbolique): f : E öf est une bijection ñ " y œ F, $! x œ E ê y = f HxL (Version Française): La fonction f : E öf est une bijection si et seulement si tout élément de l ensemble d arrivée F a un unique antécédent par l application f dans l ensemble de départ E

8 15 Cours - Applications et fonctions.nb 8/9 Soit f : E ö F une bijection. La bijection réciproque de f, notée f -1, est l application : f -1 : F ö E yöl' unique x de E tel que y=f HxL 2) Exemples a) L application f : ö définie par f HnL = n + 1 si n est pair et f HnL = n - 1 si n est impair est une bijection. Calculer f -1. b) L application f : ö définie par f HnL = n - 1 n est pas une bijection: pourquoi? c) L application f : ö définie par f HnL = n + 1 n'est pas une bijection: pourquoi? d) Avec f HxL = x 2, quels ensembles de départ et d arrivée peut-on choisir pour que f soit bijective? Calculer alors f -1. e) f : * ö définie par f HxL = 1 x alors f -1. n est pas une bijection. Pourquoi? Que peut-on modifier pour que f soit bijective? Calculer 3) Rapport entre injection, surjection et bijection Une application est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. 4) Composée de deux bijections La composée de deux applications bijectives est une application bijective. 5) Exercice Soient f et g deux applications de dans telles que gëf = Id. a) Prouver que g est surjective et f injective. b) Montrer que l affirmation: (g est injective) ou (f surjective) peut être fausse.

9 15 Cours - Applications et fonctions.nb 9/9 6) Propriétés de la bijection réciproque Soit f : EöF une bijection. Alors: (1) f -1 est une bijection et If -1 M -1 = f (2) " x œ E, f -1 Hf HxLL = x, c est à dire f -1 ë f = Id E. (3) " y œ F, f If -1 HyLM = y, c est à dire f ë f -1 = Id F. (4) Si f et g sont bijectives et si gëf existe, alors gëf est bijective et Hgëf L -1 = f -1 ëg -1 (Attention à l ordre) 7) Fonction inversible a) Rappel La fonction f : E öf est inversible si et seulement si l application g : E ö f HEL est une bijection. xöf HxL x ö f HxL Dans ce cas la fonction réciproque f -1 : f HELöE est la bijection réciproque de g. On utilise le terme fonction inversible que pour des fonctions définies sur leur ensemble de départ, c est à dire des fonctions qui sont des applications... b) Théorème La fonction f : E öf xöf HxL est inversible si et seulement si elle est injective. c) Cas des fonctions numériques Soit I un intervalle de. La fonction continue f : I ö est inversible si et seulement si elle est strictement monotone, c est à dire si et seulement si f est strictement croissante ou f est strictement décroissante sur I. On peut remarquer que: Une fonction strictement monotone est inversible, même si elle n est pas continue ou pas définie sur un intervalle d) Exercice a ) Trouver une fonction f 2D ö inversible et pas strictement monotone b ) Trouver une fonction f : * ö continue, inversible et pas strictement monotone