Fonction linéaire. Le nombre a étant donné, la fonction f qui, à la variable x, associe son image f(x) = ax est appelée fonction linéaire.

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1 Fonction linéaire Définition : Le nombre a étant donné, la fonction f qui, à la variable x, associe son image f(x) = ax est appelée fonction linéaire. Exemples : La fonction f définie par f(x) = 2x ; la fonction g définie par g(x) = fonction h définie par h(x) = 3 x ; sont des fonctions linéaires. 3 x ; la 7 Image, antécédent : Pour la fonction linéaire définie par f(x) = 4x : 1. L image de 3 se note f(3) ; on la calcule : f(3) = 4 x 3 = L image de 3 par la fonction f est L antécédent de 20 par la fonction f est le nombre x qui vérifie : f(x) = 20 c'est-à-dire 4x = 20 soit x = 20 : 4 = 5 4. L antécédent de 20 par la fonction f est 5 Proportionnalité et fonction linéaire : 1. Toute situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire. 2. A toute fonction linéaire on peut associer une situation de proportionnalité. 3. Pour la fonction linéaire définie par f(x) = ax, le nombre a correspond au coefficient de proportionnalité.

2 Représentation graphique d une fonction linéaire Propriété n 1 : La représentation graphique d une fonction linéaire définie par f(x) = ax est une droite passant par l origine du repère. a est appelé «coefficient directeur» de la droite. Propriété n 2 : Un point appartient à la représentation graphique de f si ses coordonnées sont de la forme (x ; ax). Comment représenter graphiquement une fonction linéaire : Exemple : Représenter graphiquement la fonction linéaire définie par f(x) = 2x 1. On connait un point de cette représentation : l origine du repère. 2. Pour tracer une droite, il faut connaître un deuxième point. Pour cela, on choisit une valeur de x autre que 0 et on calcule son image. Si x = 3 alors f(3) = 2 x 3 = 6 La droite passe donc par le point de coordonnées (3 ; 6). 3. On trace alors la droite :

3 Comment reconnaître la représentation graphique d une fonction linéaire : Pour qu une représentation graphique soit celle d une fonction linéaire, il faut que ce soit une droite passant par l origine : Les points ne sont pas alignés ; la fonction n est pas linéaire. Les points sont alignés entre eux mais pas avec l origine ; la fonction n est pas linéaire. Les points sont alignés entre eux et avec l origine ; la fonction est linéaire.

4 Trouver l expression algébrique d une fonction linéaire Situation n 1 : Déterminer la fonction linéaire f telle que f(2) = 7 1. La fonction f est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel que f(x) = ax 2. On sait que f(2) = 7 donc a x 2 = 7 soit a = 7 : 2 = 3,5 (on utilise ici la donnée d une valeur et de son image par f pour obtenir une équation dans laquelle l inconnue est le nombre a cherché) Conclusion : f est la fonction linéaire définie par f(x) = 3,5 x Situation n 2 : Déterminer la fonction linéaire g sachant que sa représentation graphique passe par le point A(3 ; 2,7) 1. La fonction g est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel que g(x) = ax 2. La représentation graphique de g passe par A(3 ; 2,7) donc g(3) = 2,7 (on utilise ici le fait qu un point de la représentation graphique d une fonction a pour ordonnée l image de son abscisse par cette fonction ) 3. On sait que g(3) = 2,7 donc a x 3 = 2,7 soit a = 2,7 : 3 = 0,9 (on utilise ici la donnée d une valeur et de son image par f pour obtenir une équation dans laquelle l inconnue est le nombre a cherché) Conclusion : g est la fonction linéaire définie par g(x) = 0,9x

5 Situation n 3 : Déterminer la fonction h connaissant sa représentation graphique 10 8 (d) La représentation graphique de la fonction h est une droite passant par l origine du repère ; h est donc une fonction linéaire. (on utilise ici la nature de la représentation graphique de la fonction pour déterminer la nature de cette fonction) 2. La fonction h est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel que h(x) = ax 3. Le point (2 ; 4) appartient à la droite, donc ses coordonnées sont telles que h(2) = 4 (on cherche sur la droite un point dont les coordonnées sont simples à déterminer avec précision et on utilise le fait qu un point de la représentation graphique d une fonction a pour ordonnée l image de son abscisse par cette fonction ) 4. Comme h(2) = 4 alors a x 2 = 4 et a = 4 : 2 = 2 Conclusion : h est la fonction linéaire définie par h(x) = 2x