APPLICATIONS LINEAIRES APPLICATIONS AFFINES SUJETS DE BREVETS - Serie 4 CORRECTION

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1 THEME : APPLICATIONS LINEAIRES APPLICATIONS AFFINES SUJETS DE BREVETS - Serie 4 CORRECTION Brevet 3 : Problème Groupe Est 2006 La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle. On donne: AB = 14 m, AE = 5 m AD = 1,80 m, BC = 0,80 m. Sur le schéma ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. On rappelle les formules suivantes : (somme des bases) hauteur Aire d'un trapèze = 2 ; Volume d'un prisme = (aire de la base) hauteur. Partie A 1) Montrer que le volume de cette piscine est 91 m 3. 2) A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5 m 3 par heure. a) Calculer le nombre de m 3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures. b) On admet que le nombre de m 3 d'eau restant dans la piscine au bout de x heures est donné par la fonction affine f définie par : f(x ) = 91-5x. Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que : en abscisse, 1 cm représente 1 heure, en ordonnée, 1 cm représente 5 m 3. Représenter graphiquement la fonction f dans ce repère. c) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m 3 d'eau dans cette piscine. d) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine. e) Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes. Partie B M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25 m comme le montre le schéma ci-contre. 1) Calculer les distances IJ et JK en cm.

2 2) Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur a est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible. Expliquer pourquoi a est le PGCD de 750 et de ) Calculer la valeur de a, en indiquant la méthode utilisée. 4) Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine? Solution : 1) Volume de la piscine : PARTIE A : Cette piscine est un prisme droit. Attention, les deux bases de ce prisme sont les deux trapèzes identiques ABCD et EFGH. Rappelons qu un prisme droit est formé par deux polygones ( figures à plusieurs côtés ) identiques appelés bases et des faces latérales rectangulaires qui «lient» les deux bases. De plus la hauteur de prisme est, ici, égale à 5 m! Les deux bases de ce prisme : Aire de la base ( aire du trapèze ABCD ) : ( 1,80 0,80 ) 14 A trapèze 2 2, , A trapèze 2, ,2 ( m²) 2 2 Volume du prisme ( de la piscine ) : Le volume d un prisme étant égal au produit de l aire de la base par la hauteur, nous avons : V piscine = 18,2 5 = 91 ( m 3 ) V piscine = 91 ( m 3 ) 2 a) Nombre de m 3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures : Le débit de la pompe est de 5m3/h. Au bout de 5 heures, la pompe aura enlevé de la piscine 5 5, soit 25 m 3 d eau. Il restera donc, dans la piscine soit 66 m 3 d eau. Nous pouvions également écrire que le nombre de m 3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures est : = = 66 ( m 3 ) Au bout de 5 heures, il reste 66 m 3 d eau dans la piscine b) Représentation graphique de la fonction f : La fonction f qui représente le nombre de m 3 d eau restant dans la piscine au bout de x heures et définie par : f(x ) = 91-5x Cette fonction f est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite D f.

3 Détermination du premier point ( que nous appellerons A ) : Si x = 0, alors f(0 )= = 91 La droite D f passe par le point A de coordonnées ( 0 ; 91 ) A( 0 ; 91 ) D f. Détermination du deuxième point ( que nous appellerons B ): Nous pouvons donner à x une autre valeur quelconque ( 1, ou 2, ou 3, ou. ) Pour éviter de refaire un calcul, nous pouvons utiliser les résultats des questions précédentes. Nous savons ( question 2a ) qu au bout de 5 heures, le nombre de m 3 d eau restant dans la piscine est 66 m 3. Donc l image de 5 dans la fonction f est 66. ( vous pouvez évidemment faire la calcul pour vous en convaincre ) La droite D f passe par le point B de coordonnées ( 5 ; 66 ) B( 5 ; 66 ) D f. c) Nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m 3 d'eau dans cette piscine ( lecture graphique ) : Au bout de 7 heures ( lecture graphique ), il reste 56 m 3 d eau dans la piscine.

4 d) Nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine ( lecture graphique ) : Il ne restera plus d eau dans la piscine lorsque le nombre de m 3 d eau restant sera 0! En utilisant du papier millimétré, nous constatons ( voir l agrandissement sur le dessin ) que le temps nécessaire est 8,2 heures. Nous laisserons cette durée sous forme décimale. Le changement en heures et minutes sera donné dans la question suivante. Au bout de 8,2 heures, la piscine est vide. e) Nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine ( calcul ) : Le nombre de m3 d eau restant est donné par la fonction définie par : f(x ) = 91-5x Il ne restera plus d eau dans la piscine lorsque f(x) sera égal(e) à 0. C'est-à-dire lorsque : 91-5x = 0 Cette équation se résout comme suit : 91 = 5x 91 = x 5 Soit x = 8,2 Il faudra donc 8,2 heures pour vider cette piscine. Ecriture en heures et minutes : 8,2 heures = 8 heures + 0,2 heures Comme 1 heure représente 60 minutes, nous avons : 8,2 heures = 8 heures + 0,2 heures = 8 heures + 0,2 60 minutes = 8 heures + 12 minutes Soit 8 h 12 min Pour vider la piscine, il faudra 8 h 12 min

5 PARTIE B : 1) Calcul des distances IJ et JK : Rappelons que EA = FB = 5 m et AB = EF = 14 m Donc IJ = ,25 = 5 + 2,50 = 7,50 ( m ) JK = ,25 = ,50 = 16,50 ( m ) IJ = 7,50 ( m ) et JK = 16,50 ( m ) 2) Recherche de la longueur d un panneau rectangulaire : On appelle a la longueur ( en cm ) d un panneau rectangulaire ( a est de plus un nombre entier de centimètres ) Comme a est exprimé en centimètres, nous devons exprimer la longueur et la largeur du rectangle à clôturer dans la même unité ( en centimètres ). La longueur est donc 1650 cm et la largeur 750 cm. Nous désirons mettre sur la longueur un nombre entier de panneaux. Donc la longueur d un panneau ( ici a ) doit diviser la longueur Nous désirons mettre sur la largeur un nombre entier de panneaux. Donc la longueur d un panneau ( ici a ) doit diviser la largeur 750. Par conséquent a est un diviseur commun à 1650 et 750. Comme, de plus, le nombre a doit être le plus grand possible, a est le P.G.C.D. des deux nombres 1650 et 750. a = P.G.C.D. ( 1650 ; 750 ) 3) Calcul de a : Utilisons l algorithme d Euclide. Nous avons : Premier nombre Deuxième nombre Reste dans la division euclidienne = = Donc : a = P.G.C.D. ( 1650 ; 750 ) = 150cm ( soit 1,50 m ) 4) Nombre de panneaux nécessaires pour clôturer la piscine : 1650 Longueur : Largeur : Le nombre de panneaux est donc : soit panneaux sont nécessaires pour clôturer la piscine

6 Nous pouvions également chercher le périmètre à clôturer : = 4800 Le nombre de panneaux est alors égal à : La plus grande piscine du Monde : C'est au Chili, en Amérique du Sud, qu'est située la plus grande piscine du monde avec une longueur de 1 kilomètre! Elle contient l'équivalent de 6000 piscines domestiques régulières.