Espace et géométrie. COURS Cinquième

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1 COURS Cinquième Espace et géométrie 1Symétrie centrale et parallélogramme...2 1Définir la symétrie centrale et le centre de symétrie...3 2Utiliser les propriétés de la symétrie centrale...4 3Utiliser les propriétés des angles alternes-internes...5 4Définir et utiliser les propriétés du parallélogramme...6 2Triangle:côtés et angles...7 1Utiliser l'inégalité triangulaire. Construire des triangles...8 2Utiliser la somme des angles d'un triangle...9 3Médiatrices et hauteurs Définir une médiatrice et la construire à l'équerre Caractériser une médiatrice et la construire au compas Définir les hauteurs d'un triangle...13 Utilisation prioritaire : du bleu (bleu 3), du rouge (rouge) et du vert (vert 4) 1/13

2 1 SYMÉTRIE CENTRALE ET PARALLÉLOGRAMME 2/13

3 1 Définir la symétrie centrale et le centre de symétrie Fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision. 1.1) Définition 1. Dire que le point M' est le symétrique du point M par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment [MM']. Remarque : effectuer une symétrie centrale ; c'est effectuer un demitour autour d'un point. 2. Lorsque le symétrique d'une figure par rapport à un point se superpose avec elle-même alors ce point est un centre de symétrie de la figure. Exemple: Le point O est le centre de symétrie de la figure. 3/13

4 2 Utiliser les propriétés de la symétrie centrale 2.1) Propriétés, Dans une symétrie centrale : L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; L'image d'un segment est un segment de même longueur ; L'image d'un angle est un angle de même mesure ; L'image d'un cercle est un cercle de même rayon. 2.2) Utiliser les propriétés de la symétrie centrale pour démontrer Énoncé : Sur cette figure, M' et N' sont les symétriques de M et N par rapport à O et le cercle (C') est le symétrique du cercle (C) par rapport à O. Démontrer que : 1. Les droites (MN) et (M'N') sont parallèles ; 2. MN = M'N' 3. ^ MON =^ M ' O' N ' 4. ID = I'D' Solution : 1. Les droites (MN) et (M'N') sont symétriques par rapport à O donc (MN) // (M'N'). 2. [MN] et [M'N'] sont symétriques par rapport à O donc MN =M'N'. 3. ^ MON et ^ M ' O ' N ' sont symétrique par rapport à O donc ^ MON =^ M ' O' N '. 4. Les deux cercles (C) et (C') sont symétrique par rapport à O donc donc ID = I'D'. 2.3) Propriétés Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à un point, elles sont superposables. Le symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires. 4/13

5 3 Utiliser les propriétés des angles alternesinternes Molécule d'eau. 3.1) Vocabulaire Sur la figure ci-contre, la droite (d) est sécante aux droite (d1)et(d2). On dit que les deux angles codés sur la figure sont alternes-internes. 3.2) Propriétés 1. Si deux angles alternes-internes sont définis par deux droites parallèles alors ils sont égaux. 2. Si deux angles alternes-internes sont égaux alors ils définissent deux droites parallèles. Remarques : Le point O est le centre de symétrie de la figure. 5/13

6 4 Définir et utiliser les propriétés du parallélogramme Fourche parallélogramme appelée ainsi pour la forme de la partie bleue qui se déforme en restant un parallélogramme. 4.1) Définition Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. 4.2) Propriétés 1. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors : 1. ses côtés opposés sont de même longueur ; 2. ses diagonales se coupent en leur milieu qui est centre de symétrie ; 3. ses angles opposés sont égaux. 2. Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme. 3. Si un quadrilatère a deux côtés opposés de même longueur et parallèles alors c'est un parallélogramme. 4. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. 6/13

7 2 TRIANGLE:CÔTÉS ET ANGLES 7/13

8 1 Utiliser l'inégalité triangulaire. Construire des triangles. Un bateau parcours moins de distance en ligne droite qu'en tirant des bords. Mais parfois il va plus vite en tirant des bords car il évite d'avoir le vent de face. 1.1) propriété Le plus court chemin entre deux points est le segment qui relie ces deux points. Autrement dit : Si A, B et M sont les trois sommets d'un triangle alors AB < AM + MB (inégalité triangulaire). 1.2) Utiliser l'inégalité triangulaire pour déterminer si on peut construire un triangle Énoncé : 1. Peut-on construire un triangle EFG tel que EF= 10 cm, FG= 12 cm et EG= 6cm? 2. Peut-on construire un triangle RTS tel que RS= 3 cm, RT= 8 cm et ST= 12 cm? 3. Peut-on construire un triangle IJK tel que JK= 12 cm, IJ= 5 cm et IK= 7 cm? Solution : On doit comparer la plus grande longueur (12 cm) à la somme des deux autres : =16 et 12<16 donc on peut construire le triangle EFG =11 et 12>11 donc on ne peut pas construire le triangle RST =12 le point I appartient donc au segment [JK]. 8/13

9 2 Utiliser la somme des angles d'un triangle 2.1) Propriétés La somme des angles d'un triangle est égale à 180. Les angles d'un triangle équilatéral sont égaux à 60. 9/13

10 3 MÉDIATRICES ET HAUTEURS 10/13

11 1 Définir une médiatrice et la construire à l'équerre 1.1) Définition La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment. 1.2) Construire la médiatrice d'un segment avec une règle graduée et une équerre Énoncé : Tracer un segment et construire la médiatrice à ce segment. Solution : Avec une règle graduée, on mesure la longueur du segment et on place son milieu. Avec une équerre, on construit la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Médiatrice de [AB] On prolonge la droite obtenue sans oublier de coder la figure. 11/13

12 2 Caractériser une médiatrice et la construire au compas Théorème de Johnson (1916) : Si les cercles bleus (de même rayon) on un point commun alors il existe un cercle rouge qui passe par les trois autres points d'intersections ayant aussi le même rayon. «Il reste une mine de propriétés géométriques encore cachées»d Wells Alors à vos stylos et feuilles blanches ) Définition Lorsqu'un point M est à la même distance de deux points A et B, on dit que M est équidistant de A et de B. 2.2) Propriétés Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. 2.3) Construire la médiatrice d'un segment avec un compas Énoncé : Tracer à l'aide du compas la médiatrice d'un segment [AB] Solution : 1. On prend un écartement de compas (plus grand que la moitié du segment), et on le conserve tout au long de la construction. 2. On place la pointe sur chacune des extrémités du segment et on trace ainsi deux arcs de cercle. 3. On trace la droite passant par les deux points d'intersections des deux arcs de cercle : c'est la médiatrice du segment [AB]. 12/13

13 3 Définir les hauteurs d'un triangle Au repos les cordes des balancelles sont alignées avec la hauteur du triangle formé par les poteaux. 3.1) Définition Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. (Δ1) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet B et (Δ2) celle issue du sommet A. 13/13