Problème 1 : Puissances de matrices

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1 SESSION 3 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Soit n N Problème : Puissances de matrices xn+ y n+ On en déduit par récurrence que Partie A : étude d un exemple 4 x n + y n x n + 3 y n n N, xn y n 4 3 xn A n x y y n xn A y n χ A X TrAX + deta X 7 X + X X Donc la matrice A admet deux valeurs propres simples à savoir et En particulier, la matrice A est diagonalisable x x Soit M y, R KerA I y Donc KerA I Vecte où e x x Soit M y, R y Ker A I Donc Ker A I Vecte où e On sait alors que A PDP où D 3 On en déduit que pour tout entier naturel n, diag x+ y x y x+ y x+ y x y x+y,, P et donc P 3 A n PD n P 3 n + 3 n + n n n 3 n n http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

2 n N, A n 3 n + n + n n 4 Puisque < n <, et donc la suite A n n N converge et An 3 D après les questions et 4, pour tout n N, x n 3 + n x + Les suites x n n N et y n n N convergent et n y et y n 3 x n x +y et 3 Pour tout n N, posons A n a i,j n i p Posons encore L l i,j i p y n x +y 3 Partie B : résultats préinaires et M m i,j i p et B n b i,j n i p n x + + n y Soit i,j,p,q Pour tout n N, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A n +B n est a i,j n+b i,j n La suite a i,j n+b i,j n i p converge vers l i,j +m i,j Donc, la suite de matrices A n +B n n N converge et a pour ite la matrice l i,j +m i,j i p qui est la matrice L+M A n +B n L+M Soit i,j,p,q Pour tout n N, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice αa n est αa i,j n La suite αa i,j n i p converge vers αl i,j Donc, la suite de matrices αa n n N converge et a pour ite la matrice αl i,j i p qui est la matrice αl αa n αl 3 Soit i,j,p,q Pour tout n N, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice α n B est α n b i,j La suite α n b i,j i p converge vers αb i,j Donc, la suite de matrices α n B n N converge et a pour ite la matrice αb i,j i p qui est la matrice αb α nb αb p Soit i,j,p,q Pour tout n N, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A n X est a i,k nx k,j La k p p suite a i,k nx k,j converge vers l i,k x k,j k i p k p Donc, la suite de matrices A n X n N converge et a pour ite la matrice l i,k x k,j qui est la matrice LX k i p http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

3 A nx LX De même, pour toute matrice X M q,p C, XA n XL 3 D après la question précédente, pour tout vecteur colonne X M p, C, A nx LX On a donc pour tout vecteur colonne X M p, C, LX Soit f l endomorphisme de C p canoniquement associé à L On a donc pour tout x de C p, fx et donc f puis L Finalement, A n L Soit λ une valeur propre de u Partie C : condition nécessaire Il existe X x i i p M p, C tel que X et AX λx Soit i,p tel que x i On sait que pour tout entier naturel n, A n X λ n X Par hypothèse, la suite A n n N converge D après la question de la partie B, la suite A n X n N converge ou encore la suite λ n X n N En particulier, la suite λ n x i n N converge et finalement la suite λ n n N converge puisque x i En résumé, si la suite A n n N converge et si λ est une valeur propre de A, alors la suite λ n n N converge Si λ >, la suite λ n n N diverge et donc la suite A n n N diverge Par contraposition, si la suite A n n N converge, alors λ Supposons de plus que λ Puisque la suite λ n n N converge, la suite λ n+ λ n converge vers Or, pour n N tout entier naturel n, Puisque λ n+ λ n λ n λ λ λ n+ λ n, on en déduit que λ puis que λ Soit x Keru Id Imu Id Donc ux x et il existe y tel que x uy y On en déduit que uuy y uy y puis que u y uy+y Montrons par récurrence que n, u n y nuy+ ny Puisque u y y, l égalilté est vraie quand n Soit n Supposons que u n y nuy+ ny Alors u n+ y uu n y unuy+ ny nu y+ nuy nuy y+ nuy n+uy + n+y Le résultat est démontré par récurrence Ainsi, pour tout entier naturel n, u n y nuy y + y nx + y Puisque la suite u n y n N converge, la suite nx+y n N converge ce qui impose x On a montré que Keru Id Imu Id {} Partie D : condition suffisante Théorème de d Alembert-Gauss Tout polynôme à coefficients dans C de degré supérieur ou égal à est scindé sur C On sait que χ u est de degré p et de coefficient dominant p Si on note α,,α p, la famille des p racines distinctes ou confondues de χ u dans C, on a p χ u p X α i i p α i X 3 u est un endomorphisme de C p qui est un C-espace de dimension finie On sait alors que u est triangulable Par suite, il existe une base de C p dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure Le polynôme caractéristique de cette matrice triangulaire est le polynôme caractéristique de u On trouve donc sur la diagonale de cette matrice triangulaire la famille des racines de χ u Quite à réordonner les vecteurs de base, on a montré qu il existe une base e,,e p dans laquelle u admet une matrice de la forme http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés i

4 T α α 4 α p 4 ue α e puis, pour tout entier naturel n, u n e α n e Comme α <, on a αn puis un e αn e 4 Montrons par récurrence que i,p, un e i Le résultat est vrai pour i d après la question précédente Soit i, Supposons que pour tout j,i, un e j et montrons que un e i+ Par hypothèse de récurrence, pour toutj,i, un e j et donc, par linéarité, pour toutxde Vecte,,e i, un x Soit n N Puisque T est triangulaire supérieure, il existe un vecteur x de Vecte j j i tel que ue i+ α i+ e i+ +x On en déduit que pour tout entier naturel k, u k+ e i+ α i+ u k e i+ u k x puis que En sommant ces égalités, on obtient u n e i+ α n i+e i+ α n k i+ u k+ e i+ α n k i+ uk e i+ α n k i+ u k x n α n k i+ u k+ e i+ α n k i+ uk e i+ n somme télescopique Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, Déjà, puisque α i+ <, on a n u n e i+ α n i+ e i+ + αi+ n k u k x αn i+e i+ Montrons alors que n α n k i+ u k x α n k i+ u k x Soit ε > Puisque uk x et que α i+ <, il existe un entier naturel non nul n tels que, pour tout entier k n, u k x < ε α i+ Pour n n, on a D autre part, n n n i+ u k x α i+ n k u k x n + α i+ n k u k x kn α n k n n n α i+ n k u k x + ε α i+ α i+ n k u k x + ε α i+ α i+ n k u k x + ε n kn α i+ n k + α i+ k α i+ n k u k x est la somme d un nombre fixe quand n varie de suites géométriques, convergentes, de ites nulles Donc, n α i+ n k u k x On en déduit qu il existe un entier naturel http ://wwwmaths-francefr 4 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

5 n n n tel que pour n n, α i+ n k u k x ε n < Pour n n, on a Ceci montre que n On a montré par récurrence que i,p, α n k i+ u k x et finalement que un e i+ un e i i+ u k x < ε + ε ε α n k 43 Pour tout n C et tout i,p, les composantes de la i-ème colonne C i,n de T n sont les coordonnées de u n e i dans la base e,,e p de C p Puisque pour tout i,p, un e i, on en déduit que chaque colonne C i,n de T n tend vers la colonne nulle quand n tend vers + ou encore chaque suite de coefficients de T n tend vers quand n tend vers + Mais alors la matrice T n tend vers quand n tend vers + Il existe une matrice inversible P telle que A PTP Pour tout entier naturel n, A n PT n P D après la question de la partie B, la suite A n n N converge vers la matrice P P En résumé, la suite A n n N converge vers la matrice nulle Keru Id Imu Id {} et d autre part, d après le théorème du rang, dimkeru Id+dimImu Id dimc p < + On sait alors que C p Keru Id Imu Id Les endomorphismes u et u Id commutent On sait alors que Keru Id et Imu Id sont stables par u Si Imu Id {}, alors C p Keru Id puis u Id Dans ce cas, A I p et il n y a rien à dire dans cette question Sinon, Imu Id {} et u est un endomorphisme d un C-espace de dimension finie non nulle u admet donc au moins une valeur propre Soit λ une valeur propre de u dans C Il existe un vecteur non nul x de Imu Id tel que u x λx Mais alors, x est un vecteur non nul de C p tel que ux λx λ est donc une valeur propre de u Si λ, alors x est un vecteur non nul tel que ux x et donc x est un vecteur non nul de Keru Id Imu Id ce qui est impossible Donc, λ λ On a montré que toute valeur propre de u est une valeur propre de u distincte de λ 3 Si Imu Id {}, A I p et donc la suite A n n N converge vers I p Sinon, la matrice de u dans une base adaptée à la décomposition C p Keru Id Imu Id est de la forme Id T puisque Imu Id est stable par u A est semblable à T Un calcul par blocs montre que A T n est semblable à T n Id T n Les valeurs propres de T sont les valeurs propres de A de modules tous strictement inférieurs à D après la question 4, la suite T nnn converge vers la matrice nulle et donc la suite T n nn Id converge vers la matrice Mais alors, comme à la question 43, la suite A n Id n N converge vers une matrice semblable à la matrice oùd dimkeru Id, ce qui reste vrai dans la cas où Imu Id {} Partie E : conclusion et applications La partie C montre que la condition est nécessaire et la partie D montre que la condition est suffisante la lecture de l énoncé étant conventionnelle dans le cas m χ A X,X+,4 X,X,4 A est de format et a deux valeurs propres distinctes dont les modules sont strictement plus petits que D après la question précédente, la suite A n n N converge A est triangulaire supérieure de format 3 Ses valeurs propres deux à deux distinctes sont et i qui est de module < D après la question précédente, la suite An n N converge si et seulement si KerA I 3 ImA I 3 {} i A I 3 + i i rga I 3 rg + i i car + i 3 +i Donc, ImA I 3 est un plan et KerA I 3 est une droite d après le théorème du rang Le vecteur e est un vecteur non http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

6 nul de KerA I 3 et donc KerA I 3 Vecte On en déduit que la suite A n n N converge si et seulement si e / ImA I 3 ImA I 3 est engendré par les colonnes de A I 3 et donc une base de ImA I 3 est e,e 3 où e + i et e 3 i car ImA I 3 est un plan La matrice de la famille e,e,e 3 dans la base canonique de M 3, C est i + i Cette matrice n est pas inversible car sa dernière ligne est nulle Donc, la famille e,e,e 3 est liée puis e Vecte,e 3 ImA I 3 car la famille e,e 3 est libre Ceci montre que la suite A n n N diverge 3 En développant suivant la première colonne, on obtient χ A X X 6+ i +6+ i X+ 6+ i 6+ i +36 X X ix 4 X X i Comma à la question précédente, la suite A n n N converge si et seulement si KerA I 3 ImA I 3 {} Puisque A I 3 7+ i 9 7+ i i et que 4 + i 7i, la matrice A I 3 est de rang KerA I 3 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur e et e 3 9 et ImA I 3 est le plan vectoriel de base e,e 3 où Enfin, la matrice de la famille e,e,e 3 dans la base canonique de M 3, C e 7+ i 4 + i est 7+ i 9 7i 4 + i Le déterminant de cette matrice est La famille e,e,e 3 est libre et donc e / Vecte,e 3 ou encore KerA I 3 ImA I 3 {} Dans ce cas, la suite A n n N converge Problème : quelques théorèmes d arithmétique Partie A : théorème de Lagrange Soient n N puis k,n n n! k k k k!n k! n! k!n k! n n! n k!n k! n k p Soientpun nombre premier puisk, Alorsketpsont premiers entre eux Ensuite,pdivisep k k k p p En résumé, p divise k et p est premier à k D après le théorème de Gauss, p divise k k 3 3 Soient p un entier premier impair donc p 3 et x R http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

7 x+fx+ xfx x+ x++k x x+k x+k+ x+k k k k p x+k x+k x+p x x+k pfx 3 f est un polynôme de degré et il existe donc des réels a,,a tels que pour tout réel x, k fx a x +a x p ++a p x+a a k x k 33 Le coefficient de x est et donc a D autre part, a f! 34 Soit k, pa k est le coefficient de x k dans pf D autre part, pour tout réel x pfx x+fx+ xfx x+ a k x+ k x a k x k p k p k a k x+ p k a k x p k a k x p k i i i p k p k a k x p k i i i p k a k x j en posant j k+i j+ k jk j p k a k x j j+ k j k p i a i x k en posant k i et j k k+ i Pour tout k,p, le coefficient de x k dans pf est aussi coefficients, i i,, pa k k i k i p i a i k+ i 3 Quand k, on obtient pa pa ce qui n apporte rien p p Quand k, on obtient pa a + a +a et donc a Pour k,, on a et donc p p ka k pa k p a + k+ p a + k+ k i p i k+ i k i p i a i + k+ i a i puis ka k a k x p k p i a k et donc, par identification des k+ i p k p + k+ a k k i p p i a i k+ i 36 Montrons par récurrence sur k que k,p, a k est divisible par p p a p Puisque p est impair, est un entier et donc p divise a Ceci achève la démonstration si p 3 On suppose forénavant p http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

8 k Soit k,p Supposons que i,k, p divise a i Alors, p divise déjà D autre part, k+, et donc, d après la question, p divise Finalement, p divise p + k+ k i p i a i ka k k+ i p k+ i p i a i k+ i Ainsi, p divise ka k et p est premier avec k car p est premier et k, D après le théorème de Gauss, p divise a k Le résultat est démontré par récurrence Partie B : théorème de Wilson! et [] Donc la propriété est vraie pour p p! +i f i p! est divisible par p et! [p] p a k a + k p a k +a + k a k +! d après la question 33 de la partie A p a k est divisible par p d après la question 36 Donc p! + [p] ou encore k 3 Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que p! [p] Alors, il existe un entier naturel q tel que j k,, k + qp Le théorème de Bézout montre que p est premier avec chacun des entiers k j p, j k tels que k et donc que p est un nombre premier Puisque est premier, le résultat est vrai quand p On a montré que 4 p, p premier! [p] 4 Posons n p p m où p et p sont deux nombres premiers tels que p < p et m est un entier naturel non nul Alors p < p p m < n car si p m n, alors p ce qui est faux Ainsi, p et p m sont deux diviseurs de n, inférieurs ou égaux à n et tels que p < p m n! est un multiple de p p m n et donc n! [n] 4 Posons n p α où p est un nombre premier et α 3 Alors, p, α puis p < p α < p α par stricte croissance de la fonction x p x sur R p et p α sont deux diviseurs de n, inférieurs ou égaux à n et tels que p < p α n! est un multiple de p p α n et donc n! [n] 43 Posons n p où p est un nombre premier supérieur ou égal à 3 car si p, alors n 4 ce qui est faux p > et d autre part, p < p p n Donc < p < n et même < p < p < n n! est un multiple de p p n En particulier, n! est un multiple de n et donc n! [n] Algorithme Partie C : théorème de Wolstenholme http ://wwwmaths-francefr 8 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés

9 Variables s et t sont des entiers naturels non nuls n est un entier naturel non nul d est un entier naturel non nul Initialisation Affecter à s la valeur Affecter à t la valeur Traitement Pour n allant de à 9 Affecter à s la valeur n+ s+t Affecter à t la valeur n+t Affecter à d la valeur PGCDs,t Affecter à s la valeur s/d Affecter à t la valeur t/d Afficher à s Afficher t Fin du Tant que Fin H H 6 H s s 6 est donc divisible par 7 Puisque PGCD,, on a s 4 s 4 est donc divisible par Puisque PGCD49,, on a H H est premier car n est divisible par aucun des 7 nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée à savoir, 3, et 7 Puisque PGCD 6, 3 3 7, on a s s est donc divisible par j k j, j k 3 Après réduction au même dénominateur, on obtient H! Le coefficient de x dans le développement de fx x+k est donc k H a p! k j, j k Ce coefficient est aussi a p et 4 Pour tout réel x, fx a x + a x p + + a p x + a x + a x p + + a p x + p! Donc, f p p a p p ++a p 3 p a p p+! car est pair, est impair Mais d autre part, f p p+ p+ p+p p+!! car est pair Donc,p a p p ++a p 3 p a p p+!! puispa p p a p p ++a p 3 p et finalement, a p p p a p p 3 ++a p 3 p a p p p p 3 a p p 4 ++a p 3 Puisque p, chacun des termes de la somme dans la parenthèse est divisible par p d après la question 36 de la partie A et donc le nombre entre parenthèses est divisible par p puis a p est divisible par p L égalité H a p! s écrit encore s! a p t p divise a p et donc p divise a p t s! Mais p est premier et donc p est premier avec! d après le théorème de Wilson On en déduit que p est premier avec! et que p divise s! D après le théorème de Gauss, p divise! http ://wwwmaths-francefr 9 c Jean-Louis Rouget, 4 Tous droits réservés