Révisions sur les matrices

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1 BCPST Révisions sur les matrices I Dénition et structure A) Ensemble des matrices Soient n, p N des entiers xés On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coecients à K la donnée d'une famille d'éléments (a i,j ) 1 i n, souvent noté : a 1,1 a 1,p a n,1 a n,p a i,j est le terme d'indice (i, j) On note M n,p (K) l'ensemble de ces matrices Si n = p, on note plus simplement M n (K) B) Structure d'espace vectoriel On dénit une addition : Soient A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n On dénit une opération externe : Soient A = (a i,j ) 1 i n et λ K Ainsi (M n,p (K), +, ) est un K espace vectoriel A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n λa = (λa i,j ) 1 i n C) Produit Soient A M n,p (K), B M p,q (K) Le produit AB = C est déni par : En particulier : AB M n,q (K) 1 i n, 1 j q, c i,j = p a i,k b k,j k= C Courant page 1

2 Mise en pratique B p lignes q colonnes b 11 b 1j b 1q p c ij = a ik b kj k=1 b 21 b 2j b 2q a 11 a 12 a 1p b p1 b pj b pq a i1 a i2 a ip c ij a n1 a n2 a np A n lignes p colonnes C = A B n lignes q colonnes Proposition : A M n,p (K), B, C M p,q (K), B, C M n,p (K), A M p,q (K), A M n,p (K), B M p,q (K), λ K, A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), Remarque: Cas des matrices carrées Soit n N A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA (λa)b = A(λB) = λ(ab) A(BC) = (AB)C = ABC A, B M n (K), AB M n (K) La matrice notée I n = 0 0 est appelée matrice identité de M n(k) Elle vérie : M M n (K), I n M = MI n = M Remarque: Formule du Binôme pour les matrices carrées Soit p N et n N Soient A, B M p (K) On a : où A 0 = I p par convention AB = BA = (A + B) n = n i=0 ( ) n A i B n i i D) Inverse pour les matrices carrées Soit n N Soit A M n (K) On dit que A est inversible si et seulement si : B M n (K), AB = BA = I n Si A est inversible, la matrice B est unique, est appelée inverse de A et est notée A C Courant page 2

3 Recherche de l'inverse Soit n N Soit A M n (K) Soit X, Y M n,1 (K) A est inversible si et seulement si le système AX = Y admet une unique solution Dans ce cas, la solution est X = A 1 Y Mise en pratique Ecrire le système Y = AX en considérant X = Résoudre ce système x 1 x n comme les inconnues Si ce système admet une unique solution alors celle-ci s'écrit sous la forme X = A 1 Y Lire sur X les coecients de A 1 Proposition : Cas des matrices de M 2 (K) ( ) a b Soit A = M c d 2 (K) On note det(a) = ad bc A est inversible si et seulement si det(a) 0 ( ) Si A est inversible, alors A 1 1 d b = det(a) c a Application{ à la résolution de système ax + by = e Soit un système linéaire d'inconnues (x, y) R cx + dy = f 2 Dans le cas où ad bc 0, le système est de cramer : il admet une unique solution : e f x = a c b d b = d ed fb ad bc a c y = a c e f b = d af ce ad bc E) Transposition Soit A = (a i,j ) 1 i n M n,p (K) On appelle transposée de A et on note : t A = On a "échangé" les lignes et les colonnes a 1,1 a n,1 M p,n (K) a 1,p a n,p Ainsi le coecient d'indice i, j (pour 1 i p, 1 j n) est a j,i Proposition : A M n,p (K), t ( t A) = A A, B M n,p (K), λ K, t (A + λb) = t A + λ t B A M n,p (K), B M p,q (K), t (AB) = t B t A Pour toute A M n (K), si A est inversible alors t A est t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ) C Courant page 3

4 II Matrices particulières A) Matrices diagonales Soit A M n (K) On dit que A est diagonale si et seulement si On note A = Diag(a 1,1,, a n,n ) 1 i, j n, i j = a i,j = 0 On note D n (K) l'ensemble des matrices diagonales de M n (K) Proposition : A, B D n (K), λ K, A + λb D n (K) AB D n (K) I n D n (K) D n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) A, B D n (K), AB D n (K) et AB = BA Soit A D n (K), A est inversible si et seulement si 1 i n, a i,i 0 Dans ce cas, A 1 = Diag(a 1 1,1,, a 1 n,n) B) Matrices triangulaires Soit A M n (K) On dit que A est triangulaire supérieure si et seulement si 1 i, j n, i > j = a i,j = 0 On dit que A est triangulaire inférieure si et seulement si 1 i, j n, i < j = a i,j = 0 On note T n,s (K) et T n,i (K) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures et triangulaires inférieures de M n (K) Proposition : A, B T n,s (K), λ K, T n,s (K) est un sous-espace vectoriel A, B T n,s (K), AB T n,s (K) A + λb T n,s (K) AB T n,s (K) I n T n,s (K) Soit A T n,s (K), A est inversible si et seulement si 1 i n, a i,i 0 Dans ce cas, A 1 T n,s (K) Propriétés similaires pour T n,i (K) C Courant page 4

5 C) Matrices symétriques et antisymétriques Soit A M n (K) On dit que A est symétrique si et seulement si A = t A 1 i, j n, a i,j = a j,i On note S n (K) l'ensemble des matrices symétriques de M n (K) On dit que A est antisymétrique si et seulement si A = t A 1 i, j n, a i,j = a j,i On note A n (K) l'ensemble des matrices antisymétriques de M n (K) Remarque: A, B S n (K), AB S n (K) AB = BA Soit A S n (K) Si A est inversible alors A 1 S n (K) C Courant page 5

6 III Manipulations de lignes et colonnes, applications A) Dénition et codage des opérations élémentaires Soit A M n,p (K) Echange de 2 colonnes Echanger 2 colonnes de la matrice A (notation C i C j ) revient à multiplier A à droite par la matrice : P i,j = i j M p(k) Multiplication d'une colonne par un scalaire non nul On remplace la colonne C i de la matrice A par αc i (notation : αc i C i ) revient à multiplier A à droite par la matrice : D i,α = α i M p(k) Combinaison linéaire de colonnes On remplace la colonne C i de la matrice A par C i +αc j (notation : C i +αc j C i ) revient à multiplier A à droite par la matrice : i T i,j,α = M p (K) j α Remarque: Les manipulations sur les lignes correspondent à des multiplications à gauche par des matrices de M n (K) On dit qu'une matrice A se déduit d'une matrice B par manipulations sur les lignes et les colonnes si on peut passer de B à A par manipulations du type précédent, c'est-à-dire : A = QBP où Q et P sont des produits de matrices du type précédent, et sont en particulier inversibles Remarque: Les manipulations élémentaires sur les lignes et les colonnes s'écrivent comme des produits par certaines matrices élémentaires Ces matrices élémentaires sont toutes inversibles Ceci permet d'obtenir les résultats théoriques En pratique, on ne fait pas de produit matriciel mais on eectue les manipulations de lignes et/ou colonnes C Courant page 6

7 B) Application au calcul du rang Soit A M n,p (K) On pose r = rg(a) On peut manipuler les lignes et les colonnes de A jusqu'à se ramener à une matrice ( ) Ir O J r = O O Le rang est inchangé tout au long du calcul On peut donc faire les manipulations et s'arrêter dès que le calcul du rang devient immédiat En pratique, on va "échelonner" la matrice, c'est-à-dire se ramener par manipulation des lignes ou des colonnes à une matrice dont les lignes commencent par un nombre strictement croissant de zéros (avec éventuellement plusieurs lignes nulles à la n) On appelle alors pivots les premiers coecients non nuls des lignes de A Le rang d'une matrice est le nombre de pivots C) Application au calcul de l'inverse Soit A M n (K) On manipule les colonnes uniquement jusqu'à obtenir la matrice I n On réalise les mêmes opérations sur la matrice I n en parallèle A la n du calcul, on a obtenu la matrice A 1 Remarque: Si A n'est pas inversible, on s'en aperçoit en cours de route! Remarque: On peut aussi manipuler uniquement les lignes Ne jamais manipuler lignes ET colonnes D) Résolution d'un système linéaire Soit le système linéaire : AX = Y où A M n,p (K), X M n,1 (K) et Y M p,1 (K) On manipule les lignes uniquement an de résoudre le système (pivot de Gauss) E) En résumé Pour le rang : on peut manipuler lignes et colonnes Pour les systèmes : on manipule les lignes uniquement Pour calculer l'inverse : On manipule lignes OU colonnes (choix exclusif) C Courant page 7

8 BCPST Matrices Les mathématiques sont une sorte de jouet que la nature nous a lancé pour nous consoler et nous divertir dans cette vallée de larmes - Jean-Baptiste le Rond d'alembert Exercice 1: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices14tex ( ) ( ) Soient A =, B =, C = Calculer, lorsque c'est possible, les produits matriciels suivant : AB, BA, AC, CA, BC, CB Exercice 2: a Soient a R, D = 0 a 0, N = 0 0 1, A = D + N 0 0 a /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices04tex Vérier : N 3 = 0, DN = ND En déduire A n pour n N On choisit a 0 Montrer que A est inversible Calculer (D + N)(D 2 DN + N 2 ) et en déduire l'inverse de A Exercice 3: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices06tex Calculer l'inverse de la matrice A, quand il existe : λ ) A = ) A = 1 λ λ α β γ 2α 2α 2 ) A = 1 m 1 4 ) A = 2β β α γ 2β γ 2γ γ α β Exercice 4: 1 ) /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices05tex Déterminer le rang des matrices suivantes : a 1 b b + c c + a a + b 2 bc ca ab ) a 1 b 1 1 b 1 a b 1 a C Courant Exercices : I

9 BCPST 952 Exercices : Matrices Lycée du parc Exercice 5: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices08tex a b c On considère C l'ensemble des matrices M(a, b, c) = c a b avec (a, b, c) réels b c a On note I = et J = ) Calculer J 2 et J 3 Justier que J est inversible et déterminer J 1 2 ) Montrer que C est sous-espace vectoriel de M 3 (R) 3 ) Soit a, b, c, a, b, c R Calculer M(a, b, c)m(a, b, c ) et montrer que C est stable par produit 4 ) Soit a, b, c R et M = M(a, b, c) a) A quelle condition, M est-elle inversible? b) On suppose cette condition remplie Soit N = M(x, y, z) C Traduire la condition MN = I sous la forme d'un système linéaire en (x, y, z) c) Résoudre ce système Exercice 6: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices09tex On note M p (R) l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre p N Soit A M p (R) On dit que A une matrice nilpotente d'ordre 3 si et seulement si elle vérie A 2 0 et A 3 = 0 Pour tout réel t, on note E(t) la matrice E(t) = I + ta + t2 2 A2 où I est la matrice identité d'ordre p 1 ) Vérier la relation : (s, t) R 2, E(s)E(t) = E(s + t) 2 ) En déduire E(t) n pout tout n N 3 ) Montrer que la matrice E(t) est inversible Quel est son inverse? 4 ) Soit (λ 0, λ 1, λ 2 ) R 3 Montrer : λ 0 I + λ 1 A + λ 2 A 2 = 0 λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0 5 ) En déduire que l'application E : t E(t) de R vers M p (R) est injective ) Dans cette question, p = 3 et A = Vérier que A est nilpotente d'ordre 3 et expliciter E(t) pour tout réel t Exercice 7: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices10tex Résoudre le système suivant d'inconnues x, y, z R et de paramètre m R x my + m 2 z = m mx m 2 y + mz = 1 mx + y m 3 z = C Courant Exercices : II

10 BCPST 952 Exercices : Matrices Lycée du parc Exercice 8: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices11tex Résoudre le système suivant où m est un paramètre complexe x + my + m 2 z + m 3 t = m mx + m 2 y + m 3 z + t = m 2 m 2 x + m 3 y + z + mt = m 3 m 3 x + y + m 2 z + m 3 t = m 4 x y + z t = 2 Exercice 9: On pose : A = et P = /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices27tex 1 ) Montrer que P est inversible et déterminer P 1 2 ) On pose : T = P 1 AP Calculer T et T 2 puis T n pour n N 3 ) Calculer A n pour tout n N Exercice 10: On posea = ) Calculer (A 2I)(A 4I) /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices22tex 2 ) En déduire que A est inversible et donner A 1 3 ) Montrer qu'il existe deux suites (a n ) n N et (b n ) n N telles que, pour tout n N, A n = a n A+b n I 4 ) Déterminer A n Exercice 11: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices12tex Résoudre le système suivant où m est un paramètre réel x + my z = 2m (m + 1)x y + z = 2m (m + 3)x + (m + 1)y z = 3m C Courant Exercices : III

11 BCPST 952 Exercices : Matrices Lycée du parc Exercice 12: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices13tex Résoudre le système suivant en fonction du paramètre réel m : x + 2y + 4z = 1 x + y + z = 0 x + my + m 2 z = 1 Exercice 13: /home/carine/dropbox/952maths/basexo/algebre/matrices/matrices03tex On dit que A est nilpotente s'il existe p N tel que A p = 0 Soit n N Pour A M n (K) nilpotente, on note e(a) = A (La somme est nie) + k=0 1 k! Ak, appelée exponentielle de 1 ) Montrer que si A et B sont nilpotentes et commutent, alors A + B est nilpotente et e(a + B) = e(a)e(b) 2 ) En déduire que pour toute matrice A nilpotente, e(a) est inversible et calculer e(a) ) Calculer e(a) pour A = C Courant Exercices : IV