Mécanique - Chapitre 2. La dynamique MPSI

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1 La dynamique Introduction...2 I Les forces La force de pesanteur La poussée d Archimède La force de frottement fluide La force de frottement solide (vu en spé) La force de rappel d un ressort La force électromagnétique de Lorentz (applications au chapitre 4)...5 II Le principe des actions réciproques (3 e loi de Newton) Énoncé Exemples...5 III Principe d inertie (1 ère loi de Newton) et référentiels galiléens L inertie Le principe de relativité Principe d inertie (ou première loi de Newton) et référentiel galiléen...6 IV La quantité de mouvement Définition Quantité de mouvement d un système de points...7 V Le principe fondamentale de la dynamique (2 e loi de Newton) Enoncé de la loi de la quantité de mouvement Le principe fondamental de la dynamique pour un système fermé Interprétation...7 VI Applications Cas du mouvement uniformément accéléré Equations horaires de la chute libre avec et sans vitesse initiale Tajectoire de la chute libre avec vitesse initiale - parabole de sûreté Chute libre avec frottements fluide Le pendule simple oscillations et portrait de phase...7 VII Exercices...8 Lycée Laperouse - Kerichen 1 / 11

2 Introduction La dynamique (du grec qui signifie ) est la partie de la mécanique qui décrit les relations liant la nature du mouvement à ses causes, les forces. En mécanique classique, les forces auxquelles est soumis le système à chaque instant fournissent une équation différentielle valable à chaque instant ; les conditions initiales permettent de trouver les constantes d'intégration. Le mouvement est alors parfaitement déterminé. Dans ce chapitre les lois qui vont être énoncées doivent être considérées comme des axiomes appelés principes, affirmées mais non démontrées, justifiées simplement par la validité de leurs conséquences. Toutes les interactions connues sont aujourd hui ramenées à 4 grands types fondamentaux : L interaction gravitationnelle : m1m2 C'est l'interaction entre particules massiques. Pour deux particules massiques : fg G u r A l échelle atomique, f g / f e donc l'interaction électromagnétique est dominante à l'échelle microscopique. A l échelle des planètes, la matière est globalement neutre, seule subsiste l interaction gravitationnelle. La comète de Halley revient vers soleil tous les 76 ans, s en éloigne de 5 milliards de km, mais l'interaction gravitationnelle y est encore non négligeable (puisqu'elle revient quand même). L interaction électromagnétique C'est l'interaction entre particules chargées. Pour deux particules chargées immobiles : 1 q1q 2 fe u Pour une particule chargée en mouvement : voir la force de Lorentz (I6). 4 r 0 12 L interaction forte : S'il existait seulement les interactions électromagnétique et gravitationnelle, les protons des noyaux devraient se repousser violemment, et aucun noyau ne pourrait être stable. L'interaction forte modélise l'interaction attractive entre nucléons (protons et neutrons) d'un noyau et explique donc la cohésion des noyaux. Elle est 100 fois supérieure à l'interaction électromagnétique si la distance entre nucléons est inférieure à m ; elle est négligeable si cette distance est de l'ordre de la taille d'un atome. Sa modélisation n'utilise pas de vecteur force car on ne peut la prendre en compte que dans le cadre de la mécanique quantique où toute la physique est modélisée de façon différente. 12 L interaction faible : Elle se manifeste dans certaines désintégrations nucléaires. Portée : inférieure à celle de l interaction électromagnétique. m ; son intensité est Puisque l'on vient de dire que n importe quelle interaction rencontrée dans la nature est obligatoirement d un des 4 types précédemment décrits, on peut se demander ce que sont, par exemple : la force de rappel élastique d'un ressort, la réaction du sol sur nos pieds, les forces de frottements... Et bien, la plupart du temps, c'est la manifestation macroscopique de l'interaction électromagnétique! Prenons par exemple la réaction du sol sur nos pieds : elle est due à l'interaction électromagnétique qui empêche l'interpénétration des atomes de nos chaussures avec ceux du sol. De même pour un ressort : la déformation du métal éloigne ou rapproche les atomes, formés de particules chargées. Les atomes s éloignent donc de leur position d équilibre et tendent à y revenir spontanément Ce phénomène peut être modélisé macroscopiquement par une force de rappel du type F k x, qui est toujours dirigée vers la position d équilibre. En mécanique classique, on est donc amené à modéliser de façon empirique certaines interactions macroscopiques (sinon l'expression de ces forces serait trop compliquée). Lycée Laperouse - Kerichen 2 / 11

3 I Les forces En mécanique classique, les interactions peuvent être décrites par des vecteurs-forces (caractérisés par un point d application, une direction, un sens, une intensité = la norme du vecteur) 1 N = 1 kg.m.s -2 Un système est dit isolé s il n est soumis à aucune interaction (ce qui n est possible que s il est loin de tout). Un système est dit pseudo-isolé si les interactions auxquelles il est soumis se compensent. 1 La force de pesanteur S 2 La poussée d Archimède 3 La force de frottement fluide Lycée Laperouse - Kerichen 3 / 11

4 4 La force de frottement solide (vu en spé) La composante normale R n : La composante tangentielle R t : Condition de décollement : Condition de non décollement : Sur les schémas ci-dessous, un solide est posé sur un support : il est soumis à une force horizontale F, ainsi qu à des frottements. Plus l intensité de la force F augmente, plus l intensité de la force de frottement augmente jusqu à un certain seuil, au-delà duquel le solide se met en mouvement (l accélération devient non nulle) ; la force de frottement, de statique devient dynamique. S il n y a pas de frottement Application : voir exercice 4 S il y a des frottements solides - dans le cas où le système est immobile - dans le cas où le système est en mouvement Lycée Laperouse - Kerichen 4 / 11

5 5 La force de rappel d un ressort 6 La force électromagnétique de Lorentz (applications au chapitre 4) Lorsqu une particule ponctuelle de charge q se déplace à la vitesse v dans un champ électrique E et un champ magnétique B (champ électromagnétique), alors elle est soumise à la force électromagnétique de Lorentz : Et si v 0 alors II Le principe des actions réciproques (3 e loi de Newton) 1 Énoncé 2 Exemples Pourquoi une fusée avance-t-elle? Quelles sont les forces à prendre en compte pour expliquer son mouvement? Pourquoi est-ce la Lune qui tourne autour de la Terre dans le référentiel héliocentrique? Lycée Laperouse - Kerichen 5 / 11

6 III Principe d inertie (1 ère loi de Newton) et référentiels galiléens 1 L inertie Lors de la mise en mouvement d un système sous l action de certaines forces qui lui sont appliquées, on constate toujours une certaine résistance à la mise en mouvement :... 2 Le principe de relativité La mécanique classique repose sur le principe de relativité dit de Galilée : les équations de la mécanique ont la même formulation dans tous les référentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Dans le référentiel lié au bateau, la trajectoire de l objet en chute libre est. Dans le référentiel lié au quai, la trajectoire de l objet en chute libre est. Dans les deux cas l objet n est soumis qu à son poids et suit la 2 e loi de Newton : Le seul paramètre qui différencie les 2 cas est Remarque : le principe de relativité d Einstein s appuie sur l extension de ce principe à tous les phénomènes physiques, pas seulement mécaniques (et à la propagation de la lumière en particulier). 3 Principe d inertie (ou première loi de Newton) et référentiel galiléen Au XVI e siècle Galilée affirme que, contrairement à ce que l on peut parfois penser, le mouvement ne nécessite pas l exercice d une action (une force) mais c est la modification du mouvement qui résulte d une action. Exemple de référentiel qui ne vérifie pas cette propriété : Définition et propriété des référentiels galiléens : Lycée Laperouse - Kerichen 6 / 11

7 IV La quantité de mouvement 1 Définition 2 Quantité de mouvement d un système de points V Le principe fondamentale de la dynamique (2 e loi de Newton) 1 Enoncé de la loi de la quantité de mouvement Voir exercice 2 2 Le principe fondamental de la dynamique pour un système fermé 3 Interprétation Voir exercice 1 VI Applications 1 Cas du mouvement uniformément accéléré 2 Equations horaires de la chute libre avec et sans vitesse initiale Voir TP 1 de mécanique 3 Tajectoire de la chute libre avec vitesse initiale - parabole de sûreté Voir exercice 4 et le TP «résolution numérique» 4 Chute libre avec frottements fluide 4.1 Chute libre sans vitesse initiale dans le cas d une force de frottement en kv 4.2 Chute libre dans le cas d une force de frottement en kv 2 Voir le TP «résolution numérique» 5 Le pendule simple oscillations et portrait de phase 5.1 Cas des oscillations de petite amplitude Voir exercice 5 et le TP «résolution numérique» 5.2 Cas des oscillations d amplitude importante Voir le TP «résolution numérique» Lycée Laperouse - Kerichen 7 / 11

8 VII Exercices 1 Exercice d application Les schémas ci-dessous représentent des portions de trajectoires planes (T) d'un point matériel M sur lesquelles on a porté les vecteurs vitesse et accélération. Indiquer si chaque schéma correspond à une situation possible. - si non, justifier - si oui, indiquer le sens et la nature du mouvement de M. A B C D E F 2 Théorème de la quantité de mouvement appliqué à un système pseudo isolé Les 2 enfants ayant la même masse et en négligeant les frottements, prévoir lequel des deux enfants arrivera au point J lorsque l enfant de droite tire sur la corde mais pas celui de gauche. Justifier. Que se passe-t-il si les 2 enfants tirent sur la corde? Si l enfant de droite est plus lourd? J Lycée Laperouse - Kerichen 8 / 11

9 3 Résolution de problème : étude d un amortisseur de voiture Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M, reposant sur une roue par l intermédiaire de la suspension dont l axe OG reste toujours vertical. L ensemble est animé d une vitesse horizontale v vu x La suspension, quant à elle, est modélisée par un ressort de raideur constante k = 1, N.m -l (de longueur à vide l 0 ) et un amortisseur fluide de constante d'amortissement constante λ = 4, U.S.I. La masse de l ensemble est m = 1000 kg. La position verticale du véhicule est repérée par z G dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route. L amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l amortisseur dzg dzo sur M, qui s écrit : F ( ) uz dt dt Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L ondulation est assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d amplitude A. z O peut alors s écrire z O = R + A.cos(ωt). On étudie le mouvement par rapport à la position d équilibre : on pose à nouveau : z = z G z Geq Par application du principe fondamental de la dynamique, on prouve que l équation différentielle vérifiée par z(t) est : z 0 z 0 Acos( t 2 k 1 z ) avec 0 et Q mk Q m Démontrer s il est préférable de rouler à faible ou à grande vitesse pour ressentir le moins possible les oscillations de la route. Y a-t-il une vitesse particulière à éviter? Aide : faire le lien entre la vitesse V de la voiture et 4 Condition de démarrage et mouvement sur un plan incliné Un objet de masse m est posé sur un plan incliné. La force de frottement statique est au maximum égale à f. 1. Déterminer l angle maximum α max à ne pas dépasser afin que l objet reste immobile. 2. Sachant que la force de frottement dynamique est constante et égale à f d f, décrire le mouvement de l objet après le démarrage. α Lycée Laperouse - Kerichen 9 / 11

10 5 Tir d un projectile en chute libre Un projectile ponctuel est lancé d'un point O à l'instant t = 0. On choisit un référentiel de base ( i, j), d'origine O, l'axe Ox étant horizontal et Oy vertical. La vitesse initiale v 0 du mobile fait un angle α avec l'horizontale. On négligera tout frottement. 1. Appliquer le PFD dans la base cartésienne. Décrire les mouvements horizontal et vertical. 2. Établir les équations horaires du mouvement puis l'équation de la trajectoire. 3. Déterminer les coordonnées du sommet S de la trajectoire. 4. On appelle B le point où le projectile touche le sol. Calculer la portée OB du tir. 5. Déterminer l équation de la trajectoire y S (x) délimitant la zone des points que peut atteindre le projectile lancé de O avec une vitesse v 0 donnée, de norme constante et de direction α (entre 0 et π/2). Aide : remarquer que 1/(cosα) 2 = 1 + (tanα) 2 afin de transformer l équation de la trajectoire en une équation du second degré en tanα 6 Pendule simple étudié dans une base polaire Un pendule simple est constitué d'une boule sphérique de rayon r, de masse m, suspendue par un fil de masse négligeable, de longueur L ; l'autre extrémité du fil est accrochée à un point fixe O. On prendra L très supérieure à r de telle sorte que la boule pourra être assimilée à un point matériel. Le système est dans le champ de pesanteur terrestre, on néglige tout frottement. 1- Faire le bilan des forces appliquées à la boule. 2- Établir l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique projeté dans la base polaire, e ). ( e r 3- Déterminer la période T 0 des petites oscillations ( 1 donc sin( ) au premier ordre en ). 7 Mouvement d'un point sur une sphère On lâche sans vitesse initiale à l'instant t = 0 un point matériel de masse m en un point Mo (angle 0) de la face convexe d'une sphère de centre O et de rayon a sur laquelle il est susceptible de glisser sans frottement. Déterminer la réaction R du support (en fonction de θ, m et g) en n'appliquant que la relation fondamentale de la dynamique projetée dans la base adaptée à l étude du problème étudié. Aide : il faudra intégrer l équation obtenue par projection sur e en utilisant le fait que : (sin ) dt (sin )d cos et que 2 (t) (t)dt / 2 Lycée Laperouse - Kerichen 10 / 11

11 8 Etude d un manège Données : g = 9,8 m.s -2 ; L = 3 m et R = 7 m 9 Anneau sur une tige en rotation uniforme On étudie le mouvement d une balancelle assimilée à un point matériel G de masse m reliée au manège (qui tourne autour de l axe vertical (O,z) à la vitesse angulaire constante Ω ) par l intermédiaire d un câble de masse négligeable, dont l action est modélisée par une tension de G vers B, appliquée en G. L angle d inclinaison est noté φ et est maintenu constant au cours de la rotation. On utilisera la base cylindrique e,e,e ) ( r z. 1. G est caractérisé par sa coordonnée cylindrique r. Exprimer r en fonction de R, L et φ. 2. Projeter le principe fondamental de la dynamique dans la base cylindrique (voir schéma) sachant que la nacelle est immobile dans le référentiel tournant avec le manège. 3. En déduire une relation entre φ, Ω, L et R. 4. A l aide d une calculatrice graphique, tracer (et recopier approximativement) la courbe donnant Ω en fonction de φ, pour φ compris entre 0 et π/2. 5. Sachant que la vitesse angulaire peut être modifiée au cours du mouvement, déterminer dans quel domaine de la courbe il serait intéressant de se placer pour provoquer un maximum de sensations en faisant varier Ω? Justifier. Une tige OP rigide est soudée sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante autour de l axe (Oz). Cette tige forme un angle constant avec l axe vertical (Oz) = (Δ) Un anneau de masse m pouvant glisser sans frottement est en équilibre relatif sur la tige (c'est-à-dire immobile dans le référentiel lié à la tige). On notera x e sa position sur l axe (Ox). 1. Identifier la nature de la base ( e 1, e2, e3) 2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre lié au lieu considéré et projeter-le dans la base e, e, ). Dans cette base, les composantes de la ( 1 2 e3 réaction de la tige sur le point matériel sont notées R. 1, R2 et R3 3. Déterminer la relation obtenue par projection du principe fondamental de la dynamique sur l axe (Ox) sachant que l on néglige les frottements. 4. En déduire la position x e de l équilibre relatif en fonction de. 5. Déterminer les expressions des composantes R 1, R 2 et R 3 Lycée Laperouse - Kerichen 11 / 11