EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

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1 EABJM Bac Blanc Novembre 009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Le présent sujet devra être remis à l intérieur de la copie à la fin de la composition. Les élèves suivant l enseignement de spécialité doivent traiter l exercice situé page ; cet exercice doit être rédigé sur une feuille séparée. Les élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité doivent traiter l exercice situé page 4. Les élèves ne sont pas autorisés à quitter la salle durant la première heure ni les 5 dernières minutes précédant la fin de l épreuve. NOM :... Prénom :... Classe :... TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page /7

2 Exercice. À traiter par tous les candidats. [6,5 points] On considère la fonction numérique f définie sur R par f(x) = x e x x. Le graphique ci-dessous représente cette fonction telle que l affiche une calculatrice dans un repère orthonormé. Conjectures À l observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :. Le sens de variations de f sur [ ; ]?. La position de la courbe par rapport à l axe (x x)? A. Contrôle de la première conjecture. Calculer f (x) pour tout réel x et l exprimer à l aide de l expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x) = (x + )e x.. Étude du signe de g(x) pour x réel. (a) Calculer les limites de g(x) quans x tend vers +, puis quand x tend vers. (b) Calculer g (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x. (c) En déduire le sens de variations de la fonction g, puis dresser son tableau de variations. (d) Montrer que l équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0, 0 < α < 0,. (e) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.. Sens de variations de la fonction f sur R. (a) Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f (x). (b) En déduire le sens de variations de la fonction f. (c) Que pensez-vous de votre première conjoncture? B. Contrôle de la deuxième conjoncture On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O; i, j ). On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l axe (x x).. Montrer que f(α) = α et déterminer le signe de f(α). (α + ). Que pensez-vous de votre deuxième conjecture? TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page /7

3 Exercice. A traiter par les candidats suivant l enseignement de spécialité. Cette exercice est à rédiger sur une feuille séparée. [5 points] Un astronome observe au jour J 0 le corps céleste A qui apparaît périodiquement tous les 05 jours. Six jours plus tard (J 0 + 6), il observe le corps B dont la période d apparition est de 8 jours. On appelle J le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l astronome. Le but de l exercice est de déterminer la date de ce jour J.. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J 0 et J. Montrer que le couple (u; v) est solution de l équation (E ) : 5x 7y =.. (a) Déterminer un couple d entiers relatifs (x 0 ; y 0 ) solution particulière de l équation (E ) : 5x 7y =. (b) En déduire une solution particulière (u 0 ; v 0 ) de l équation (E ). (c) Déterminer toutes les solutions de l équation (E ). (d) Déterminer la solution (u; v) permettant de déterminer J.. (a) Combien de jours s écoulent entre J 0 et J? (b) Le jour J 0 était le 7 décembre 999; quelle est la date exacte du jour J? (L année 000 était bissextile). (c) Si l astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu à la prochaine conjonction des deux astres? TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page /7

4 Exercice. [5 points] À traiter par les candidats ne suivant pas l enseignement de spécialité. Pour cet exercice, une annexe est à compléter et à rendre avec la copie. Elle se situe page 7. On étudie une suite selon deux méthodes différentes. On considère la fonction f définie sur ] ; 6[ par f(x) = 9 { 6 x. U On définit pour tout entier n 0 la suite (U n ) par 0 = U n+ = f(u n ). La courbe représentant la fonction f est donnée en annexe, page 7, accompagnée de la droite d équation y = x. Construire sur cette feuille annexe les points M 0 (U 0 ; 0), M (U ; 0), M (U ; 0), M (U ; 0) et M 4 (U 4 ; 0) en laissant apparents les traits de construction. Quelle conjecture peut-on formuler concernant le sens de variation et la convergence de la suite (U n )?. (a) Démontrer que pour tout entier n, 0 U n U n+. (b) En déduire que (U n ) converge et déterminer sa limite.. Soit la suite (V n ) définie pour tout entier n par V n = U n. (a) Prouver que la suite (V n ) est arithmétique de raison. (b) Exprimer, pour tout entier n 0, V n puis U n en fonction de n. (c) Retrouver la limite de la suite (U n ). TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page 4/7

5 Exercice. À traiter par tous les candidats. [5,5 points] A. Question de cours e x L objectif de cette question est de démontrer que lim x + x = +. Pré-requis On suppose connu le résultat suivant : pour tout réel x, e x > x. On considère la fonction g définie sur [0; + [ par g(x) = e x x.. Montrer que pour tout x > 0, g(x) > 0.. Conclure. B. Détermination graphique A C f a et b désignant deux réels fixés, la courbe C f donnée ci-contre représente la fonction f définie sur R par f(x) = (ax + b)e x. Cette courbe passe par A(0; ) et la droite est la tangente à C f en A Déterminer b en détaillant les calculs.. Lire graphiquement le nombre dérivé de f en 0 en indiquant la démarche utilisée.. (a) Calculer en fonction de a le nombre f (x). (b) Calculer a, puis donner l expression de f(x). 4. Déterminer graphiquement les limites de f en + et. Retrouver ces limites par le calcul. TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page 5/7

6 Exercice 4. [ points] Q.C.M. à traiter par tous les candidats. Pour chaque question, un seule des 4 propositions est exacte. Vous noterez sur votre copie la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,5 point; chaque mauvaise réponse en ôte 0,5. Une question sans réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points obtenus est négatif, il est ramené à 0.. On considère une suite (u n ) telle que pour tout n N, u n+ = u n+ + u n telle que pour tout entier naturel n, v n = u n+ + u n. La suite (v n ) est : et la suite (v n ) (a) arithmétique (b) géométrique (c) constante (d) aucune de ces réponses. On considère la suite (t n ) définie pour tout entier n par t n = n 5n+. Cette suite admet pour limite : (a) 0 (b) + (c) 5. Soit la suite (s n ) géométrique de premier terme s 0 = et de raison e. La somme s 0 + s + s s n est égale à : (a) e n (b) e e n e e (c) (n + ) + e n (d) 5 (d) aucune de ces réponses 4. Soit la suite (x n ) arithmétique de premier terme x = et de raison 4. On définit la suite (y n ) par y n = exp(x n ). Le produit y y... y n vaut : (a) e n+n (b) e ( 4n ) (c) e n (d) aucune de ces réponses 5. Laquelle des propositions suivantes est correcte? (a) Une suite tendant vers + est croissante. (b) Une suite qui n est pas majorée tend vers +. (c) Une suite qui est bornée est convergente. (d) Une suite qui tend vers est majorée. 6. Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles. (a) Si (a n + b n ) converge, alors (a n ) et (b n ) convergent. (b) Si (a n b n ) converge, alors (a n ) et (b n ) convergent. (c) Si (a n b n ) converge vers 0, alors (a n ) converge vers 0 ou (b n ) converge vers 0. (d) Aucune de ces réponses. TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page 6/7

7 Exercice (Candidats ne suivant pas l enseignement de spécialité) ANNEXE NOM : 4 y = f(x) y = x FIN TS - TS Bac Blanc Mathématiques Novembre 009 Page 7/7

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