POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE.

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1 POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

2 Postulat 1 : Description d un système physique A un instant t 0 fixé, l état d un système physique est défini par a la structure d un espace vectoriel D où principe de superposition : et donc Postulat 2 : Description d une grandeur physique A toute grandeur physique mesurable est associé un opérateur hermitique agissant dans ; cet opérateur est une observable Remarque : une grandeur physique et un état sont différents

3 Postulat 3 La mesure d une grandeur physique ne peut donner comme résultat qu une des valeurs propres de l observable (qui est un opérateur hermitique) Conséquences : Une mesure de donnera toujours une valeur réelle puisque est hermitique Si le spectre de est discret (nbre de val. prop. discret), les résultats de la mesure de sont quantifiés Une des val. prop. signifie plusieurs résultats possibles pour la mesure : probabiliste Le résultat des mesures possibles est indépendant de l état du système. 2 situations : Spectre discret non dégénéré Spectre discret dégénéré Base u 1 u 1

4 Postulat 4 La probabilité avec laquelle on peut trouver a n comme résultat de la mesure de, noté, dépend de l état du système physique.l état du système physique après la mesure est la projection normée de sur normé < ψ 1 Spectre des valeurs propres discret et non dégénéré < 2 < = < < 2 2 Spectre des valeurs propres discret cas général : et < 2 1si normé 2

5 Valeur moyenne de ces mesures : <> ψ Δ <2 > <> 2 2

6 Valeur moyenne de ces mesures : Base discrète Etat du système : < 2 Avec 1 Base continue orthonormée : x < 2 < 2 1 2

7 Postulat 5 Si la mesure de la grandeur physique sur le système dans l état donne le résultat a n, l état du système après la mesure est la projection normée : P P de sur le sous espace propre associé à an P si a n est non dégénéré L état du système aussitôt après la mesure est donc toujours un vecteur propre de de valeur propre a n. Pas n importe quel vecteur propre : La mesure perturbe le système physique Cas discret non dégénéré : P c n Cas discret dégénéré : Même calcul

8 Conséquence Postulat 5 : La mesure perturbe le système physique Après la mesure on est tjrs dans un état propre associé à la val. prop. a n Si on refait la mesure, on trouve a n avec certitude (réduction du paquet d onde)

9 Postulat 6 : Evolution de ħ Remarques : Vient de Schrödinger dépendant du temps Energie totale Opérateur hermitique nommé Hamiltonien H(t) si V(r,t) Conséquences du 6éme postulat : 1) La norme se conserve : N ħ et ħ / φ(t) =cste 1 ħ 1 ħ

10 b) Evolution de la fonction d onde en t et c n (t)? ħ ħ ħ ħ ħ ħ ħ ħ ħ

11 c) Théorème d Ehrenfest

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13 EXERCICES I) Systèmes à 2 niveaux < < 1 1) avec par normalisation 0 d où 0 2) est normé. Il n est pas état propre de H car nous ne pouvons écrire : On a : E( Il est état propre si E1=E2

14 3) Sol. 1 : /2 1 2 Sol. 2 : Potulat sur la mesure /2 1 2 Sol. 3 : Sous forme matricielle Δ 2 2 > 2 E 1 E 2 = Δ )= 1 0 )=1/

15 C 2 ) = ( 1 2 0

16 III) Postulat sur la mesure / Evolution d un système physique ħ ħ 1 2ħ (dégénéré 2x) 2 ou 3 (ou toute autre combinaison linéaire) Recherche valeurs propres : (donc v.p. ±a) D après l exercice précédent : 1 et

17 Recherche valeurs propres : (donc v.p. ±a) D après l exercice précédent : 3 et

18 A)) Mesure à t=0, on mesure l énergie On trouve donc les val. prop. de H 1) 0 est il normé? : φ Comme combinaison d états propres de H, (0) n est pas un état propre de H : ħ 1 2ħ 2 2 2ħ 2 3 ħ ħ ) a) On trouve le système avec l énergie : ħ avec la probabilité ħ /2 2ħ avec la probabilité 2ħ /2 Ou 2ħ =1 ħ =1/2

19 b) On trouve le système immédiatement après la mesure dans l état : ħ 1 2ħ À normer 2ħ = 2 3 c) La valeur moyenne de H vaut : * < ħ ħ 2ħ ħ * ħ ħ 1 2ħ 2 2ħ 3 ħ * =( )ħ = ħ

20 3) Soit l opérateur A : (rappel) Recherche valeurs propres : (donc v.p. ±a) D après l exercice précédent : 1 et a) a avec la proba et a proba 2 3 0> 2 = =1 =1 En fait est une combinaison linéaire d états propres associés à la même valeur propre a, c est donc un état propre de A. Donc la probabilité de trouver la valeur propre associée (a) est de 1. b) Le vecteur état après la mesure est le vecteur propre 0

21 c) 0 B)) Mesure à un instant t quelconque : D après le cours : ħ ħ ħ 1 ħ ħ 2 3 est toujours normé car : ħ 2 = 2 =1 si 0 est normé D après le théorème d Ehrenfest : ħ, Si ne dépend pas de t et en prenant = = φ φ, 0 φ 0 Donc la norme de φ(t) est constante

22 2) Mesure de l énergie : ħ avec la probabilité ħ = 2 φ ħ 1 ħ 1 2 1/2 2 La probabilité reste inchangée. Le théorème d Ehrenfest est vérifié : Si ne dépend pas de t et en prenant = =, 0 0 donc =cste Donc l énergie est une constante du mouvement. 3) Mesure de A φ =a (φ est vect. prop de A avec «a» comme v.p.) * Théorème d Ehrenfest :, 0 car les deux opérateurs ont des vecteurs propres communs 0 0

23 3) Mesure de B 1/2 1/ = +1/4 cos 1/4 Évident car, 0 =