Trigonométrie (Méthodes et objectifs)
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- Céline Jean
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1 Trigonométrie (Méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 28 janvier 2009 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
2 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
3 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
4 énoncé Placer les points M,N,P,Q et R repérés respectivement sur le cercle trigonométrique par π 3 ; 5π 6 ; 11π 4 ; 7π 2 et 17π 3 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
5 corrigé G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
6 énoncé Sur le cercle ( trigonométrique, colorier l arc décrit par le point M lorqu une #»i #» ) mesure x de ; OM décrit l intervalle indiqué. [ 1 π 4 ; 5π ] 4 [ 4π 2 3 ; 13π ] 6 [ 3 7π 6 ; 5π ] 6 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
7 corrigé G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
8 énoncé Sur le cercle trigonométrique, placer les points M repérés par x tels que : 1 3x = π 2 + 2kπ, k Z 2 4x = π 2 + 2kπ, k Z 3 2x = 2π 3 + 2kπ, k Z G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
9 corrigé 1/2 1 3x = π 2 + 2kπ x = π 6 + 2kπ 3 k et k + 3 donnent le même point sur le cercle, il suffit donc de prendre k { 1; 0; 1} pour obtenir les points M solutions. Les 3 points solutions sont les sommets d un triangle équilatéral. 2 4x = π 2 + 2kπ x = π 8 + kπ 2 k et k + 4 donnent le même point, il suffit donc de prendre k { 2; 1; 0; 1} pour obtenir les points M solutions. Les 4 points solutions sont les sommets d un carré. 3 2x = 2π 3 + 2kπ x = π 3 + kπ k et k + 2 donnent le même point sur le cercle, il suffit donc de prendre k = 1 ou k = 0. Les 2 points solutions sont diamétralement opposés. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
10 corrigé 2/2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
11 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
12 énoncé Dans chaque cas, trouver la mesure principale de l angle orienté de mesure α donné 1 α = 7π 2 2 α = 4π 3 3 α = 35π 6 4 α = 21π 4 5 α = 202π 3 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
13 corrigé 1 α = 7π 2 = 8π 2 π 2 = π 2 + 4π 2 α = 4π 3 = 4π 3 + 2π 3 = 2π 3 2π 3 α = 35π 6 = 36π 6 π 6 = π 6 + 6π 4 α = 21π 4 = 24π 4 + 3π 4 = 3π 4 6π 5 α = 202π 3 = 204π 3 2π 3 = 2π π G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
14 énoncé 1 ABCDE est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle trigonométrique ( de centre O. Indiquer la mesure principale de #» OA; OB #» ) ( #», OA; OC #» ) ( #», OA; OD #» ) ( #», OA; OE #» ). 2 ABCDEF est un hexagone régulier direct inscrit dans le cercle trigonométrique ( de centre O. Indiquer la mesure principale de #» OA; OB #» ) ( #», AB; AO #» ) ( #», AB; AF #» ) ( #», AE; AF #» ) ( #», AB; DE #» ), ( #» OA; OE #» ) ( #», AB; DC #» ) ( #», AB; CD #» ) G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
15 corrigé 1/4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
16 corrigé 2/4 ( #» OA, OB #» ) = 2π 5 [2π] ( #» OA, OC #» ) = 4π 5 [2π] ( #» OA, OD #» ) = 4π 5 [2π] ( #» OA, OE #» ) = 2π 5 [2π] G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
17 corrigé 3/4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
18 corrigé 4/4 ( #» OA, OB #» ) = π 3 [2π] ( #» AB, AO #» ) = π 3 [2π] ( #» AB, AF #» ) = 2π 3 [2π] ( #» AE, AF #» ) = π 6 [2π] ( #» AB, DE #» ) = π[2π] ( #» OA, OE #» ) = 2π 3 [2π] ( #» AB, CD #» ) = 2π 3 [2π] G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
19 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
20 énoncé La mesure principale de ( #» u ; #» v ) est π. Donner la mesure principale des 6 angles orientés suivants : 1 ( #» u ; #» v ) 2 ( #» u ; #» v ) 3 ( #» v ; #» u ) 4 ( #» v ; #» u ) 5 ( #» v ; #» u ) 6 (3 #» u ; 2 #» v ) G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
21 corrigé 1 ( #» u ; #» v ) = 5π 6 [2π] 2 ( #» u ; #» v ) = π 6 [2π] 3 ( #» v ; #» u ) = π 6 [2π] 4 ( #» v ; #» u ) = 5π 6 [2π] 5 ( #» v ; #» u ) = π 6 [2π] 6 (3 #» u ; 2 #» v ) = 5π 6 [2π] G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
22 énoncé ( #» ABC est un triangle rectangle en A tel que CA; CB #» ) = π ( 5 #» Calculer la mesure principale de BA; CB #» ) G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
23 corrigé ( #» BA; CB #» ) = = ( #» BA; CA #» ) ( #» + CA; CB #» ) [2π] ( #» AB; AC #» ) ( #» + CA; CB #» ) [2π] = π 2 + π 5 [2π] = 7π 10 [2π] G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
24 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
25 énoncé Déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels donnés 13π π π 3 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
26 corrigé π 6 = 2π + π 6 83π 4 = 20π + 3π 4 56π 3 = 18π + 2π 3 13π 3 donc cos 6 = 2 donc cos 83π 4 = donc cos 56π 3 = π et sin 6 = π 2 et sin 2 4 = 2 56π 3 et sin 3 = 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
27 énoncé 1 Déterminer tous les réels x de ] π; π] tel que sin x = Déterminer tous les réels x de ] π; π] tel que sin x < Déterminer tous les réels x de [0; 2π[ tel que sin x < 1 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
28 corrigé { π 1 S = 6 ; 5π } 6 ] 2 S = π; π [ 6 [ 3 S = 0; π [ 6 ] 5π ] 6 ; π [ ] 5π 6 ; 2π G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
29 énoncé Soit x [ π ] 2 ; 0 tel que cos x = 3 ( 5. π ) ( π ) Calculer sin x, sin 2 x, cos(π x), sin(π + x), cos 2 + x G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
30 corrigé sin 2 x = 1 cos 2 x = = x [ π ] 2 ; 0 donc sin x < 0, donc sin x = 4 ( 5 π ) sin 2 x = cos x = 3 5 cos(π x) = cos x = 3 5 sin(π + x) = sin x = 4 ( 5 π ) cos 2 + x = sin x = 4 5 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
31 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
32 énoncé 1 Résoudre sur [0; 2π[, 2 sin x + 1 = 0 2 Résoudre sur [0; 2π[, 2 sin x + 1 < 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
33 corrigé 1 2 sin x + 1 = 0 sin x = 1 { 7π 2, donc S = 6 ; 11π } sin x + 1 < 0 sin x < 1 ] 7π 2, donc S = 6 ; 11π [ 6 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
34 énoncé 1 Résoudre sur ] π; π], 2 sin x 3 = 0 2 Résoudre sur ] π; π], 2 sin x 3 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
35 corrigé 1 2 sin x { 3 π 3 = 0 sin x = 2, donc S = 3 ; 2π } sin x sin x < ] π; 2, donc S = π ] [ ] 2π 3 3 ; π G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
36 énoncé 1 Résoudre sur ] π; π], 2 cos 2 x + cos x 1 = 0 2 Résoudre sur ] π; π], 2 cos 2 x + cos x 1 < 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
37 corrigé 1 On pose X = cos x et on résout l équation 2X 2 + X 1 = 0(E) = ( 1) 2 = 9 > 0, donc l équation (E) équivaut à X = = 1 2 ou X = = 1 donc 2 cos 2 x + cos x 1 = 0 cos x = 1 ou cos x = 1, 2 donc S = { π 3 ; π } 3 ; π ( 2 2X 2 + X 1 = 2 X 1 ) (X + 1) donc ( 2 2 cos 2 x + cos x 1 = 2 cos x 1 ) (cos x + 1) 2 x π π π π 3 3 cos x cos x cos 2 x + cos ] donc S = π; π [ ] π [ 3 3 ; π G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
38 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
39 énoncé (O, #» ı, #» j ) est un repère orthonomé direct. 1 Donner les coordonnées cartésiennes des points de coodonnées polaires A[2; 5π 6 ], B[ 2; π 4 ], C[1; π 2 ] 2 Donner les cordonnées ( polaires des points de coordonnées cartésiennes N 1 ) 3 ( 2 ;, P 2; ) 2 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
40 corrigé 1 A(2 cos 5π 6 ; 2 sin 5π ( 6 ) = ) 3; 1 B( 2 cos π 4 ; 2 sin π ) = (1; 1) ( ( 4 C cos π ) ( ; sin π )) = (0; 1) 2 2 ( ( 2 ON = 2) 1 2 ) 2 3 cos θ = 1 + = 1 et sin θ = 2 donc θ = 2π [ 3 [2π] et N 1; 2π ] 3 ( OP = ) 2 ( 2 ) 2 2 cos θ = 2 + = 2 et 2 2 sin θ = 2 donc θ = 3π [ 4 [2π] et N 2; 3π ] 4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
41 1 Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique 2 Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs 3 Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs 4 Déterminer le sinus et le cosinus d un angle 5 Résoudre des équations et des inéquations 6 Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires 7 Utiliser les formules de trigonométrie G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
42 énoncé 1 Calculer les valeurs exactes de cos 11π 12 et sin 11π 12 2 Calculer les valeurs exactes de cos π 8 et sin π 8 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
43 corrigé 1 11π 12 = 2π 3 + π 4 cos 11π ( 2π = cos π ) = cos 2π 4 3 cos π 4 sin 2π 3 sin π 4 = = 4 4 sin 11π ( 2π = sin π ) = sin 2π 4 3 cos π 4 + sin π 4 cos 2π = = cos π 4 = 2 π cos2 8 1 = 1 2 π sin2 8 donc cos 2 π cos π 8 = = 2 4 et sin 2 π 8 = 1 cos π 4 2 = et cos π 8 = et sin π 8 = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
44 énoncé Résoudre sur ] π; π], sin 2x + cos 2x = 1 (développer sin ( 2x + π ) ) 4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
45 corrigé ( sin 2x + π ) = sin 2x cos π sin π 2 4 cos 2x = (sin 2x + cos 2x) 2 ( L équation est donc équivalente à sin 2x + π ) 2 = 4 2 à 2x + π 4 = π 4 + k2π ou 2x + π 4 = 3π 4 + k2π, k Z à x = kπ ou x = π 4 + kπ, k Z Sur ] π; π], S = { 0; π; π 4 ; 3π 4 } G. Petitjean (Lycée de Toucy) Trigonométrie (Méthodes et objectifs) 28 janvier / 45
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